Теория множественности

В абстрактной алгебре теория множественности касается кратности модуля M в идеале I (часто максимальном идеале).

$\mathbf {e} _{I}(M).$

Понятие кратности модуля есть обобщение степени проективного многообразия . По формуле пересечения Серра оно связано с кратностью пересечений в теории пересечений .

Основное внимание теории уделяется обнаружению и измерению особой точки алгебраического многообразия (см. Разрешение особенностей ). Из-за этого аспекта теория оценки , алгебры Риса и интегральное замыкание тесно связаны с теорией множественности.

Кратность модуля

Пусть R — положительно градуированное кольцо такое, что конечно порождено как R ₀ -алгебра и R ₀ артиново R . Обратите внимание, что R имеет конечную размерность Крулля d . Пусть M — конечно порожденный R -модуль и F _M ( t ) — его ряд Гильберта–Пуанкаре . Этот ряд является рациональной функцией вида

${\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},$

где $P(t)$ является полиномом. По определению кратность M равна

$\mathbf {e} (M)=P(1).$

Серию можно переписать

$F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{d-i} \over (1-t)^{d}}+r(t).$

где r ( t ) — полином. Обратите внимание, что $a_{d-i}$ являются коэффициентами полинома Гильберта M, разложенного на биномиальные коэффициенты. У нас есть

$\mathbf {e} (M)=a_{0}.$

Поскольку ряды Гильберта – Пуанкаре аддитивны на точных последовательностях, кратность аддитивна на точных последовательностях модулей одной и той же размерности.

Следующая теорема Кристера Леха дает априорные оценки кратности.

Лех . Предположим, что R локально с максимальным идеалом. ${\mathfrak {m}}$. Если Я есть ${\mathfrak {m}}$-первичный идеал, то

$e(I)\leq d!\deg(R)\lambda (R/{\overline {I}}).$

См. также

• Теория размерности (алгебра)
• j-кратность
• Кратность Гильберта – Сэмюэля
• Функция Гильберта – Кунца
• Обычно плоское кольцо