Отражающая функция Мироненко

В прикладной математике отражающая функция $\,F(t,x)$ системы дифференциальной ${\dot {x}}=X(t,x)$ связывает прошлое состояние $\,x(-t)$ системы с будущим состоянием $\,x(t)$ системы по формуле $\,x(-t)=F(t,x(t)).$ Понятие отражающей функции ввел Владимир Иванович Мироненко .

Определение

Для дифференциальной системы ${\dot {x}}=X(t,x)$ с общим решением $\varphi (t;t_{0},x)$ в форме Коши отражающая функция системы определяется по формуле $F(t,x)=\varphi (-t;t,x).$

Приложение

Если вектор-функция $X(t,x)$ является $\,2\omega$ -периодический по отношению к $\,t$ , затем $\,F(-\omega ,x)$ это внутрипериодный период $\,[-\omega ;\omega ]$ преобразование ( отображение Пуанкаре ) дифференциальной системы ${\dot {x}}=X(t,x).$ Поэтому знание Отражающей функции дает нам возможность узнать начальные даты. $\,(\omega ,x_{0})$ периодических решений дифференциальной системы ${\dot {x}}=X(t,x)$ и исследовать устойчивость этих решений.

Для отражающей функции $\,F(t,x)$ системы ${\dot {x}}=X(t,x)$ основное отношение

\,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,\qquad F(0,x)=x.

держится.

Поэтому иногда у нас есть возможность найти отображение Пуанкаре неинтегрируемого в квадратурных системах даже в элементарных функциях .

Литература

Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений . — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Внешние ссылки