Теория Флоке

Теория Флоке — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений , относящийся к классу решений периодических линейных дифференциальных уравнений вида

${\dot {x}}=A(t)x,$

с $x\in {R^{n}}$ и $\displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}$ являющаяся кусочно-непрерывной периодической функцией с периодом $T$ и определяет состояние устойчивости решений.

Основная теорема теории Флоке, теорема Флоке , принадлежащая Гастону Флоке ( 1883 ), дает каноническую форму для каждого фундаментального матричного решения этой общей линейной системы . Это дает изменение координат $\displaystyle y=Q^{-1}(t)x$ с $\displaystyle Q(t+2T)=Q(t)$ который преобразует периодическую систему в традиционную линейную систему с постоянными действительными коэффициентами .

Применительно к физическим системам с периодическими потенциалами, таким как кристаллы в физике конденсированного состояния , результат известен как теорема Блоха .

Обратите внимание, что решения линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. Матрица $\phi \,(t)$ называется фундаментальным матричным решением, если столбцы составляют основу множества решений. Матрица $\Phi (t)$ называется решением главной фундаментальной матрицы, если все столбцы являются линейно независимыми решениями и существует $t_{0}$ такой, что $\Phi (t_{0})$ это личность. Основная фундаментальная матрица может быть построена из фундаментальной матрицы с помощью $\Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})$. Решение линейного дифференциального уравнения с начальным условием $x(0)=x_{0}$ является $x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}$ где $\phi \,(t)$ – любое фундаментальное матричное решение.

Теория Флоке

Позволять ${\dot {x}}=A(t)x$ быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка,где $x(t)$ — вектор-столбец длины $n$ и $A(t)$ а $n\times n$ периодическая матрица с периодом $T$ (то есть $A(t+T)=A(t)$ для всех действительных значений $t$). Позволять $\phi \,(t)$ быть фундаментальным матричным решением этого дифференциального уравнения. Тогда для всех $t\in \mathbb {R}$,

$\phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).$

Здесь

$\phi ^{-1}(0)\phi (T)$

известна как матрица монодромии .Кроме того, для каждой матрицы $B$ (возможно, комплексный) такой, что

$e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),$

существует периодический (период $T$) матричная функция $t\mapsto P(t)$ такой, что

$\phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .$

Также существует реальная матрица $R$ и действительный периодический (период- $2T$) матричная функция $t\mapsto Q(t)$ такой, что

$\phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .$

В приведенном выше $B$, $P$, $Q$ и $R$ являются $n\times n$ матрицы.

Последствия и применение

Это отображение $\phi \,(t)=Q(t)e^{tR}$ приводит к зависящему от времени изменению координат ( $y=Q^{-1}(t)x$), при котором наша исходная система становится линейной с вещественными постоянными коэффициентами ${\dot {y}}=Ry$. С $Q(t)$ является непрерывным и периодическим, оно должно быть ограничено. Таким образом, устойчивость нулевого решения для $y(t)$ и $x(t)$ определяется собственными значениями $R$.

Представительство $\phi \,(t)=P(t)e^{tB}$ называется нормальной формой Флоке фундаментальной матрицы $\phi \,(t)$.

Собственные значения ​ $e^{TB}$ называются характеристическими множителями системы. Они также являются собственными значениями (линейных) отображений Пуанкаре. $x(t)\to x(t+T)$. Показатель Флоке (иногда называемый характеристическим показателем) — это комплексный показатель. $\mu$ такой, что $e^{\mu T}$ является характеристическим множителем системы. Обратите внимание, что показатели Флоке не уникальны, поскольку $e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}$, где $k$ является целым числом. Действительные части показателей Флоке называются показателями Ляпунова . Нулевое решение асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова отрицательны, устойчиво по Ляпунову, если показатели Ляпунова неположительны, и неустойчиво в противном случае.

• Теория Флоке очень важна для изучения динамических систем , таких как уравнение Матье .
• Теория Флоке демонстрирует устойчивость дифференциального уравнения Хилла (введенного Джорджем Уильямом Хиллом ), аппроксимирующего движение Луны как гармонического осциллятора в периодическом гравитационном поле .
• Размягчение и упрочнение связей в интенсивных лазерных полях можно описать с помощью решений, полученных на основе теоремы Флоке.
• Динамику сильно управляемых квантовых систем часто исследуют с помощью теории Флоке. В сверхпроводящих схемах структура Флоке была использована, чтобы пролить свет на квантовую электродинамику многокубитных взаимодействий, индуцированных приводом.

Ссылки

• К. Чиконе. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999 г.
• MSP Eastham, «Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений», Тексты по математике, Scottish Academic Press, Эдинбург, 1973. ISBN   978-0-7011-1936-2 .
• Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Результаты по математике и смежным областям (3)]. Том 19. Берлин: Springer-Verlag. стр. х+247. ISBN  3-540-50613-6 . МР   1051888 .
• Флоке, Гастон (1883), «О линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033/asens.220
• Красносельский, М.А. (1968), Оператор трансляции по траекториям дифференциальных уравнений , Провиденс : Американское математическое общество , Перевод математических монографий, 19, 294 стр.
• В. Магнус, С. Винклер. Уравнение Хилла , Dover-Phoenix Editions, ISBN   0-486-49565-5 .
• Н. В. Маклахлан, Теория и применение функций Матье , Нью-Йорк: Дувр, 1964.
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Дэн, Чуньцин; Шен, Фейруо; Ашхаб, Сахель; Лупаску, Адриан (27 сентября 2016 г.). «Динамика двухуровневой системы при сильном воздействии: оптимизация квантовых вентилей на основе теории Флоке». Физический обзор А. 94 (3). arXiv : 1605.08826 . дои : 10.1103/PhysRevA.94.032323 . ISSN   2469-9926 .
• Хуан, Цзывэнь; Мундада, Пранав С.; Гиенис, Андраш; Шустер, Дэвид И.; Хоук, Эндрю А.; Кох, Йенс (22 марта 2021 г.). «Разработка динамических оптимальных зон для защиты кубитов от шума 1/f». Применена физическая проверка . 15 (3). arXiv : 2004.12458 . doi : 10.1103/PhysRevApplied.15.034065 . ISSN   2331-7019 .
• Нгуен, Л.Б.; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые гейзенберговские взаимодействия между кубитами Флоке» . Физика природы . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Бибкод : 2024NatPh..20..240N . дои : 10.1038/s41567-023-02326-7 .

Внешние ссылки

• «Теория Флоке» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]