Бифуркация Богданова – Такенса

Бифуркационные диаграммы с параметрами β ₁ , β ₂ = (слева сверху вниз справа): (−1,1), (1/4,−1), (1,0), (0,0), ( −6/25,−1), (0,1).

В теории бифуркаций , области математики , бифуркация Богданова-Такенса является хорошо изученным примером бифуркации с коразмерностью два, что означает, что для возникновения бифуркации необходимо изменить два параметра. Оно названо в честь Рифката Богданова и Флориса Такенса , которые независимо и одновременно описали это раздвоение.

Система y' = f ( y ) подвергается бифуркации Богданова – Такенса, если она имеет фиксированную точку и линеаризация f вокруг этой точки имеет двойное собственное значение в нуле (при условии, что выполняются некоторые технические условия невырожденности).

Рядом происходят три бифуркации коразмерности один: бифуркация седло-узел , бифуркация Андронова – Хопфа и гомоклиническая бифуркация . Все соответствующие бифуркационные кривые пересекаются в точке бифуркации Богданова – Такенса.

Нормальная форма бифуркации Богданова – Такенса:

${\begin{aligned}y_{1}'&=y_{2},\\y_{2}'&=\beta _{1}+\beta _{2}y_{1}+y_{1}^{2}\pm y_{1}y_{2}.\end{aligned}}$

Существуют две вырожденные бифуркации Такенса–Богданова коразмерности три, также известные как бифуркации Дюмортье–Руссари–Сотомайора .

Ссылки

• Богданов Р. «Бифуркации предельного цикла семейства векторных полей на плоскости». Выбор математики. Советский 1, 373–388, 1981.
• Кузнецов Ю.А. Элементы прикладной теории бифуркаций . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1995.
• Такенс, Ф. «Вынужденные колебания и бифуркации». Комм. Математика. Инст. Государственный университет Утрехт 2, 1–111, 1974.
• Дюмортье Ф., Руссари Р., Сотомайор Дж. и Золадек Х., Бифуркации плоских векторных полей , Конспекты лекций по математике. том. 1480, 1–164, Springer-Verlag (1991).

Внешние ссылки

• Гукенхаймер, Джон ; Юрий А. Кузнецов (2007). «Бифуркация Богданова–Такена» . Схоларпедия . 2 : 1854. doi : 10.4249/scholarpedia.1854 .