Двойное число Мерсенна

Двойные бонусы Мерсенна
Количество известных терминов	4
Предполагаемый нет. терминов	4
Первые сроки	7, 127, 2147483647
Самый большой известный термин	170141183460469231731687303715884105727
ОЭИС Индекс	А077586 ; а( п ) знак равно 2 ^ (2 ^ простое ( п ) - 1) - 1 ;

В математике двойное число Мерсенна — это число Мерсенна вида

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

где p — простое число .

Примеры

Первые четыре члена последовательности двойных чисел Мерсенна равны ^[1] (последовательность A077586 в OEIS ):

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

Двойные бонусы Мерсенна

число Мерсенна Двойное простое называется двойным простым числом Мерсенна . Поскольку число Мерсенна M _p может быть простым, только если p простое ( см. в разделе «Простое число Мерсенна »), двойное число Мерсенна доказательство $M_{M_{p}}$ может быть простым, только если M _p само является простым числом Мерсенна. Для первых значений p, для которых M _p является простым, $M_{M_{p}}$ известно, что оно простое для p = 2, 3, 5, 7, а явные множители $M_{M_{p}}$ были найдены для p = 13, 17, 19 и 31.

$p$	$M_{p}=2^{p}-1$	$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$	факторизация $M_{M_{p}}$
2	3	основной	7
3	7	основной	127
5	31	основной	2147483647
7	127	основной	170141183460469231731687303715884105727
11	не премьер	не премьер	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13	8191	не премьер	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17	131071	не премьер	231733529 × 64296354767 × ...
19	524287	не премьер	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23	не премьер	не премьер	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29	не премьер	не премьер	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31	2147483647	не премьер	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37	не премьер	не премьер
41	не премьер	не премьер
43	не премьер	не премьер
47	не премьер	не премьер
53	не премьер	не премьер
59	не премьер	не премьер
61	2305843009213693951	неизвестный

Таким образом, наименьший кандидат на следующее двойное простое число Мерсенна равен $M_{M_{61}}$ , или 2 ^{2305843009213693951} − 1.Будучи примерно 1,695 × 10 ^{694127911065419641},это число слишком велико для любого известного в настоящее время теста на простоту . У него нет простого множителя ниже 1 × 10. ³⁶. ^[2]Вероятно, не существует других двойных простых чисел Мерсенна, кроме четырех известных. ^[1]^[3]

Наименьший простой фактор $M_{M_{p}}$ (где p — - е n простое число)

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 2952575266 26031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (следующий член > 1 × 10 ³⁶) (последовательность A309130 в OEIS )

Гипотеза Каталана – Мерсенна о числах

последовательность Рекурсивно определенная

c_{0}=2

c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}

называется последовательностью чисел Каталана–Мерсенна . ^[4] Первые члены последовательности (последовательность A007013 в OEIS ):

c_{0}=2

c_{1}=2^{2}-1=3

c_{2}=2^{3}-1=7

c_{3}=2^{7}-1=127

c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727

c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}

Каталонец открыл эту последовательность после открытия первичности $M_{127}=c_{4}$ Лукасом . в 1876 году ^[1]^[5] Каталонец предположил , что они простые «до определенного предела». Хотя первые пять членов являются простыми, никакие известные методы не могут доказать, что любые дальнейшие члены являются простыми (за любое разумное время) просто потому, что они слишком велики. Однако, если $c_{5}$ не является простым, есть шанс обнаружить это путем вычислений $c_{5}$ по модулю небольшого простого числа $p$ (с использованием рекурсивного модульного возведения в степень ). Если полученный остаток равен нулю, $p$ представляет собой фактор $c_{5}$ и тем самым опровергло бы его первичность. С $c_{5}$ это число Мерсенна , такой простой делитель $p$ должно было бы иметь вид $2kc_{4}+1$ . Кроме того, поскольку $2^{n}-1$ является составным , когда $n$ является составным, то обнаружение составного члена в последовательности исключит возможность появления каких-либо дальнейших простых чисел в последовательности.

В популярной культуре

В Футурама фильме «Чудовище с миллиардом спин» двойное число Мерсенна. $M_{M_{7}}$ кратко рассматривается в «элементарном доказательстве гипотезы Гольдбаха ». В фильме это число известно как «марсианское простое число».

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Крис Колдуэлл, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки на главных страницах .
^ «Двойной факторинговый статус Мерсенна 61» . www.doublemersennes.org . Проверено 31 марта 2022 г.
^ Эй Джей Хорошо. Гипотезы о числах Мерсенна. Математика вычислений, том. 9 (1955) с. 120-121 [получено 19 октября 2012 г.]
^ Вайсштейн, Эрик В. «Каталонское число-Мерсенна» . Математический мир .
^ «Предлагаемые вопросы» . Новая математическая переписка . 2 : 94–96. 1876 г. (вероятно, собрано редактором). Почти все вопросы подписаны Эдуардом Лукасом, как и номер 92:
Докажите, что 2 ⁶¹ − 1 и 2 ¹²⁷ − 1 — простые числа. (Э. Л.) (*).
Сноска (отмечена звездочкой), написанная редактором Эженом Каталаном, выглядит следующим образом:
(*) Если мы допустим эти два предложения и заметим, что 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 также являются простыми числами, мы имеем следующую эмпирическую теорему: до определенного предела, если 2 ^н − 1 — простое число p , 2 ^п − 1 — простое число p ', 2 ^{п '} − 1 — простое число p" и т. д. Это предложение имеет некоторую аналогию со следующей теоремой, сформулированной Ферма и неточность которой показал Эйлер: Если n — степень 2, 2 ^н +1 — простое число. (ЕС)

Дальнейшее чтение

Диксон, Л.Э. (1971) [1919], История теории чисел , Нью-Йорк: Chelsea Publishing .

Внешние ссылки

[Caldwell-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Крис Колдуэлл, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки на главных страницах .

[2] «Двойной факторинговый статус Мерсенна 61» . www.doublemersennes.org . Проверено 31 марта 2022 г.

[3] Эй Джей Хорошо. Гипотезы о числах Мерсенна. Математика вычислений, том. 9 (1955) с. 120-121 [получено 19 октября 2012 г.]

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Каталонское число-Мерсенна» . Математический мир .

[5] «Предлагаемые вопросы» . Новая математическая переписка . 2 : 94–96. 1876 г. (вероятно, собрано редактором). Почти все вопросы подписаны Эдуардом Лукасом, как и номер 92:
Докажите, что 2 ⁶¹ − 1 и 2 ¹²⁷ − 1 — простые числа. (Э. Л.) (*).
Сноска (отмечена звездочкой), написанная редактором Эженом Каталаном, выглядит следующим образом:
(*) Если мы допустим эти два предложения и заметим, что 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 также являются простыми числами, мы имеем следующую эмпирическую теорему: до определенного предела, если 2 ^н − 1 — простое число p , 2 ^п − 1 — простое число p ', 2 ^{п '} − 1 — простое число p" и т. д. Это предложение имеет некоторую аналогию со следующей теоремой, сформулированной Ферма и неточность которой показал Эйлер: Если n — степень 2, 2 ^н +1 — простое число. (ЕС)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers