Счастливое число

Дерево, показывающее все счастливые числа до 100.

В теории чисел — счастливое число это число, которое в конечном итоге достигает 1, если его заменить суммой квадратов каждой цифры. Например, 13 — счастливое число, потому что $1^{2}+3^{2}=10$ , и $1^{2}+0^{2}=1$ . С другой стороны, 4 не является счастливым числом, поскольку последовательность, начинающаяся с $4^{2}=16$ и $1^{2}+6^{2}=37$ в конце концов достигает $2^{2}+0^{2}=4$ , число, с которого началась последовательность, и поэтому процесс продолжается в бесконечном цикле, никогда не достигая 1. Число, которое не является счастливым, называется грустным или несчастливым .

В более общем смысле, $b$ - счастливое число — натуральное число в заданной системе счисления $b$ которая в конечном итоге достигает 1 при повторении идеальной цифровой инвариантной функции для $p=2$ . ^[1]

Происхождение счастливых чисел неясно. Счастливые числа были доведены до сведения Реджа Алленби (британского писателя и старшего преподавателя чистой математики в Университете Лидса ) его дочерью, которая узнала о них в школе. Однако они «могли возникнуть в России» ( Guy 2004 :§E34).

Счастливые числа и совершенные цифровые инварианты

Формально пусть $n$ быть натуральным числом. Учитывая идеальную цифровую инвариантную функцию

F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }{\left({\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}\right)}^{p}

.

для базы $b>1$ , число $n$ является $b$ -счастлив, если существует $j$ такой, что $F_{2,b}^{j}(n)=1$ , где $F_{2,b}^{j}$ представляет собой $j$ -я итерация $F_{2,b}$ , и $b$ - иначе несчастен. Если число является нетривиальным совершенным цифровым инвариантом $F_{2,b}$ , тогда это $b$ -несчастный.

Например, 19 – это 10-счастливо, так как

F_{2,10}(19)=1^{2}+9^{2}=82

F_{2,10}^{2}(19)=F_{2,10}(82)=8^{2}+2^{2}=68

F_{2,10}^{3}(19)=F_{2,10}(68)=6^{2}+8^{2}=100

F_{2,10}^{4}(19)=F_{2,10}(100)=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1

Например, число 347 означает 6-счастливое число, так как

F_{2,6}(347)=F_{2,6}(1335_{6})=1^{2}+3^{2}+3^{2}+5^{2}=44

F_{2,6}^{2}(347)=F_{2,6}(44)=F_{2,6}(112_{6})=1^{2}+1^{2}+2^{2}=6

F_{2,6}^{3}(347)=F_{2,6}(6)=F_{2,6}(10_{6})=1^{2}+0^{2}=1

Их бесконечно много $b$ -счастливые числа, так как 1 – это $b$ -счастливое число, и для каждого $n$ , $b^{n}$ ( $10^{n}$ в базе $b$ ) является $b$ -счастлив, так как его сумма равна 1. Счастье числа сохраняется за счет удаления или вставки нулей по желанию, поскольку они не способствуют перекрестной сумме.

Естественная плотность b -счастливых чисел

При рассмотрении первого миллиона или около того 10-счастливых чисел выясняется, что их естественная плотность составляет около 0,15. Возможно, это удивительно, но числа «10-счастливых» не имеют асимптотической плотности. Верхняя плотность счастливых чисел больше 0,18577, а нижняя плотность меньше 0,1138. ^[2]

Счастливые базы

Нерешенная задача по математике :

Являются ли основания 2 и 4 единственными счастливыми основаниями?

(еще нерешенные задачи по математике)

Счастливая база — это числовая база $b$ где каждое число $b$ -счастливый. Единственные счастливые целочисленные основания меньше 5 × 10 ⁸ это основание 2 и основание 4 . ^[3]

Конкретные b -счастливые числа

4-счастливые числа

Для $b=4$ , единственный положительный совершенный цифровой инвариант для $F_{2,b}$ — тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, и других циклов нет. Поскольку все числа являются предпериодическими точками для $F_{2,b}$ , все числа ведут к 1 и счастливы. В результате основание 4 является счастливым основанием.

6-счастливые числа

Для $b=6$ , единственный положительный совершенный цифровой инвариант для $F_{2,b}$ — это тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, а единственный цикл — это восьмизначный цикл.

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

и поскольку все числа являются предпериодическими точками для $F_{2,b}$ , все числа либо ведут к 1 и являются счастливыми, либо приводят к циклу и несчастливыми. Поскольку у основания 6 нет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, ни одно положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов собственных цифр.

В десятичной системе 74 счастливых числа с 6 до 1296 = 6. ⁴ (записаны в системе счисления 10):

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295

10-счастливые числа

Для $b=10$ , единственный положительный совершенный цифровой инвариант для $F_{2,b}$ — это тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, а единственный цикл — это восьмизначный цикл.

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

и поскольку все числа являются предпериодическими точками для $F_{2,b}$ , все числа либо ведут к 1 и являются счастливыми, либо приводят к циклу и несчастливыми. Поскольку у основания 10 нет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, ни одно положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов собственных цифр.

В десятичной системе 143 счастливых числа до 1000:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 0, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 0, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 4, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 1, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (последовательность A007770 в OEIS ).

Отличительными комбинациями цифр, образующими 10-счастливые числа ниже 1000, являются (остальные — просто перестановки и/или вставки нулевых цифр):

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (последовательность A124095 в OEIS ).

Первая пара последовательных 10-счастливых чисел — 31 и 32. ^[4] Первая серия из трёх последовательных матчей — 1880, 1881 и 1882 годы. ^[5] Доказано, что существуют последовательности последовательных счастливых чисел любой длины натурального числа. ^[6] Начало первого набора по крайней мере n последовательных 10-счастливых чисел для n = 1, 2, 3,... есть ^[7]

1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, ...

Как выразился Роберт Стайер в своей статье, вычисляющей этот ряд: «Удивительно, но одно и то же значение N, которое начинает наименьшую последовательность из шести последовательных счастливых чисел, также начинает наименьшую последовательность из семи последовательных счастливых чисел». ^[8]

Количество 10-счастливых чисел до 10 ^н для 1 ≤ n ≤ 20 ^[9]

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

Счастливые простые числа

А $b$ -счастливое простое число — это число, которое одновременно $b$ -счастливый и главный . В отличие от счастливых чисел, перестановка цифр $b$ -Счастливый расцвет не обязательно приведет к еще одному счастливому расцвету. Например, хотя 19 — простое число, счастливое 10, 91 = 13 × 7 не является простым (но все равно является счастливым 10).

Все простые числа являются 2-счастливыми и 4-счастливыми простыми числами, поскольку основания 2 и 4 являются счастливыми основаниями.

6-счастливых простых чисел

В базе 6 6-счастливые простые числа ниже 1296 = 6. ⁴ являются

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10-счастливых простых чисел

В базе 10 счастливые простые числа ниже 500 равны 10.

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (последовательность А035497 в ОЭИС ).

Палиндромное простое число 10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7 426 247 × 10 ^{75 000} + 1 — простое число с числом 10 и 150 007 цифр, поскольку множество нулей не вносят вклад в сумму квадратов цифр, а 1 ² + 7 ² + 4 ² + 2 ² + 6 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 1 ² = 176, что является счастливым числом 10. Пол Джоблинг открыл простое число в 2005 году. ^[10]

По состоянию на 2010 год ^[update], самое большое известное 10-счастливое простое число равно 2 ^42643801 − 1 (в простом Мерсенне ). ^{[ сомнительно – обсудить ]} Его десятичное представление имеет 12 837 064 цифры. ^[11]

12-счастливых простых чисел

В базе 12 нет 12-счастливых простых чисел меньше 10000, это первые 12-счастливые простые числа (буквы X и E обозначают десятичные числа 10 и 11 соответственно)

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, Х5, 31011, 31101, 3123Е, 3132Е, 31677, 33Е21, 35295, 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606 ЭЭ, 63575, 63771, 66Е0Е, 67317, 67371, 67535, 6Е60Е, 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, 84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 5, 8E847, 92355, 93255, 93525, 95235, X1X87, X258E, X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...

Пример программирования

В приведенных ниже примерах реализована идеальная цифровая инвариантная функция для $p=2$ и база по умолчанию $b=10$ описанное в определении счастья, неоднократно приведенном в начале этой статьи; после каждого раза они проверяют оба условия остановки: достижение 1 и повторение числа .

Простой тест на Python, чтобы проверить, является ли число счастливым:

def pdi_function(number, base: int = 10):
    """Perfect digital invariant function."""
    total = 0
    while number > 0:
        total += pow(number % base, 2)
        number = number // base
    return total

def is_happy(number: int) -> bool:
    """Determine if the specified number is a happy number."""
    seen_numbers = set()
    while number > 1 and number not in seen_numbers:
        seen_numbers.add(number)
        number = pdi_function(number)
    return number == 1

См. также

Ссылки

^ «Грустный номер» . Вольфрам Рисерч, Инк . Проверено 16 сентября 2009 г.
^ Гилмер, Джастин (2013). «О плотности счастливых чисел». Целые числа . 13 (2): 2. arXiv : 1110.3836 . Бибкод : 2011arXiv1110.3836G .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161872 (Наименьшее несчастливое число по основанию n)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A035502 (меньшее из пары последовательных счастливых чисел)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2011 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072494 (первая из троек последовательных счастливых чисел)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2011 г.
^ Пан, Хао (2006). «Последовательные счастливые числа». arXiv : математика/0607213 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055629 (Начало первого запуска не менее n последовательных счастливых номеров)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Стайер, Роберт (2010). «Наименьшие примеры строк последовательных счастливых чисел» . Журнал целочисленных последовательностей . 13 :5. 10.6.3 — через Университет Ватерлоо . Цитируется в Слоане «A055629» .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A068571 (Количество счастливых чисел <= 10^n)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Крис К. Колдуэлл. «База данных Прайм: 10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247 · 10 ⁷⁵⁰⁰⁰ + 1" . utm.edu .
^ Крис К. Колдуэлл. «База данных Прайм: 2 ^42643801 − 1" . utm.edu .

Литература

Гай, Ричард (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-20860-7 .

Внешние ссылки

Шнайдер, Уолтер: Мэтьюз: Счастливые числа.
Вайсштейн, Эрик В. «Счастливое число» . Математический мир .
рассчитать, счастливо ли число. Архивировано 25 января 2019 года на Wayback Machine.
Счастливые числа на математическом форуме.
145 и Меланкойл в Нумерфиле.
Саймондс, Риа. «7 и счастливые числа» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 15 января 2018 года . Проверено 2 апреля 2013 г.

[1] «Грустный номер» . Вольфрам Рисерч, Инк . Проверено 16 сентября 2009 г.

[2] Гилмер, Джастин (2013). «О плотности счастливых чисел». Целые числа . 13 (2): 2. arXiv : 1110.3836 . Бибкод : 2011arXiv1110.3836G .

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161872 (Наименьшее несчастливое число по основанию n)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A035502 (меньшее из пары последовательных счастливых чисел)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2011 г.

[5] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072494 (первая из троек последовательных счастливых чисел)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2011 г.

[6] Пан, Хао (2006). «Последовательные счастливые числа». arXiv : математика/0607213 .

[Sloane-A055629-7] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055629 (Начало первого запуска не менее n последовательных счастливых номеров)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[8] Стайер, Роберт (2010). «Наименьшие примеры строк последовательных счастливых чисел» . Журнал целочисленных последовательностей . 13 :5. 10.6.3 — через Университет Ватерлоо . Цитируется в Слоане «A055629» .

[9] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A068571 (Количество счастливых чисел <= 10^n)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[10] Крис К. Колдуэлл. «База данных Прайм: 10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247 · 10 ⁷⁵⁰⁰⁰ + 1" . utm.edu .

[11] Крис К. Колдуэлл. «База данных Прайм: 2 ^42643801 − 1" . utm.edu .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers