Четвертичная система счисления

Четвертичная система счисления / k w ə ˈ t ɜːr n ər i / — это система счисления, в лежит четыре которой основе . Он использует цифры 0, 1, 2 и 3 для обозначения любого действительного числа . Преобразование из двоичного кода является простым.

Четыре — самое большое число в пределах субтитизирующего диапазона и одно из двух чисел, которые одновременно являются квадратом и составным числом (второе — тридцать шесть), что делает четвертичный номер удобным выбором для основания в этом масштабе. Несмотря на то, что его размер в два раза больше, его базовая экономика равна экономике двоичной системы. Однако с локализацией простых чисел дела обстоят не лучше (наименьшим лучшим основанием является исходное основание шесть, девятеричное ).

Четвертичная система имеет много общих свойств со всеми системами счисления с фиксированным основанием , таких как способность представлять любое действительное число с помощью канонического представления (почти уникального) и характеристики представлений рациональных чисел и иррациональных чисел . См. десятичное и двоичное представление для обсуждения этих свойств.

Связь с другими позиционными системами счисления

**Числа от нуля до шестидесяти четырех в стандартной четверичной системе (от 0 до 1000).**
десятичный	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Двоичный	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Четвертичный период	0	1	2	3	10	11	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33
Восьмеричный	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Шестнадцатеричный	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	Б	С	Д	И	Ф
десятичный	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Двоичный	10000	10001	10010	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011	11100	11101	11110	11111
Четвертичный период	100	101	102	103	110	111	112	113	120	121	122	123	130	131	132	133
Восьмеричный	20	21	22	23	24	25	26	27	30	31	32	33	34	35	36	37
Шестнадцатеричный	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1Б	1С	1Д	1Е	1F
десятичный	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
Двоичный	100000	100001	100010	100011	100100	100101	100110	100111	101000	101001	101010	101011	101100	101101	101110	101111
Четвертичный период	200	201	202	203	210	211	212	213	220	221	222	223	230	231	232	233
Восьмеричный	40	41	42	43	44	45	46	47	50	51	52	53	54	55	56	57
Шестнадцатеричный	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2А	2Б	2С	2D	2Е	2F
десятичный	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63
Двоичный	110000	110001	110010	110011	110100	110101	110110	110111	111000	111001	111010	111011	111100	111101	111110	111111
Четвертичный период	300	301	302	303	310	311	312	313	320	321	322	323	330	331	332	333
Восьмеричный	60	61	62	63	64	65	66	67	70	71	72	73	74	75	76	77
Шестнадцатеричный	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	3А	3Б	3С	3D	3Е	3эт.
десятичный	64
Двоичный	1000000
Четвертичный период	1000
Восьмеричный	100
Шестнадцатеричный	40

Связь с двоичными и шестнадцатеричными числами.

таблица сложения
+	1	2	3
1	2	3	10
2	3	10	11
3	10	11	12

Как и восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, четверичная система счисления имеет особое отношение к двоичной системе счисления . Каждая система счисления четыре, восемь и шестнадцать представляет собой степень двойки , поэтому преобразование в двоичную систему и обратно осуществляется путем сопоставления каждой цифры с двумя, тремя или четырьмя двоичными цифрами или битами . Например, в четвертичном периоде

230210 ₄ = 10 11 00 10 01 00 ₂.

Поскольку шестнадцать — это степень четырех, преобразование между этими базами можно реализовать путем сопоставления каждой шестнадцатеричной цифры с двумя четверичными цифрами. В приведенном выше примере

23 02 10 ₄ = B24 ₁₆

таблица умножения
×	1	2	3
1	1	2	3
2	2	10	12
3	3	12	21

Хотя восьмеричная и шестнадцатеричная система широко используются в вычислительной технике и компьютерном программировании при обсуждении и анализе двоичной арифметики и логики, четверичная система не имеет такого же статуса.

Хотя четвертичная система имеет ограниченное практическое применение, она может быть полезна, если когда-нибудь понадобится выполнить шестнадцатеричную арифметику без калькулятора. Каждую шестнадцатеричную цифру можно превратить в пару четверичных цифр. Затем можно относительно легко выполнить арифметические действия перед преобразованием конечного результата обратно в шестнадцатеричный формат. Четвертичная система удобна для этой цели, поскольку числа имеют только половину разрядной длины по сравнению с двоичными, но при этом имеют очень простые таблицы умножения и сложения всего с тремя уникальными нетривиальными элементами.

По аналогии с байтом и полубайтом , четвертичную цифру иногда называют крошкой .

Фракции

Из-за того, что у многих четвертичных дробей есть только двойные дроби, они имеют повторяющиеся цифры, хотя они, как правило, довольно просты:

Десятичная база Простые множители основания: 2 , 5 Простые делители на единицу ниже основания: 3 Простые делители на единицу выше основания: 11. Другие простые множители: 7 13 17 19 23 29 31.			Четвертичная база Простые множители базы: 2 Простые делители на единицу ниже основания: 3 Простые делители на единицу выше основания: 5 (=11 ₄ ) Другие простые множители: 13 23 31 101 103 113 131 133
Фракция	Основные факторы знаменатель	Позиционный представительство	Позиционный представительство	Основные факторы знаменатель	Фракция
⁠ 1 / 2 ⁠	2	0.5	0.2	2	⁠ 1 / 2 ⁠
⁠ 1 / 3 ⁠	3	0. 3333... = 0. 3	0. 1111... = 0. 1	3	⁠ 1 / 3 ⁠
⁠ 1 / 4 ⁠	2	0.25	0.1	2	⁠ 1 / 10 ⁠
⁠ 1 / 5 ⁠	5	0.2	0. 03	11	⁠ 1 / 11 ⁠
⁠ 1 / 6 ⁠	2 , 3	0.1 6	0.0 2	2 , 3	⁠ 1 / 12 ⁠
⁠ 1 / 7 ⁠	7	0. 142857	0. 021	13	⁠ 1 / 13 ⁠
⁠ 1 / 8 ⁠	2	0.125	0.02	2	⁠ 1 / 20 ⁠
⁠ 1 / 9 ⁠	3	0. 1	0. 013	3	⁠ 1 / 21 ⁠
⁠ 1 / 10 ⁠	2 , 5	0.1	0.0 12	2 , 11	⁠ 1 / 22 ⁠
⁠ 1 / 11 ⁠	11	0. 09	0. 01131	23	⁠ 1 / 23 ⁠
⁠ 1 / 12 ⁠	2 , 3	0.08 3	0.0 1	2 , 3	⁠ 1 / 30 ⁠
⁠ 1 / 13 ⁠	13	0. 076923	0. 010323	31	⁠ 1 / 31 ⁠
⁠ 1 / 14 ⁠	2 , 7	0.0 714285	0.0 102	2 , 13	⁠ 1 / 32 ⁠
⁠ 1 / 15 ⁠	3 , 5	0.0 6	0. 01	3 , 11	⁠ 1 / 33 ⁠
⁠ 1 / 16 ⁠	2	0.0625	0.01	2	⁠ 1 / 100 ⁠
⁠ 1 / 17 ⁠	17	0. 0588235294117647	0. 0033	101	⁠ 1 / 101 ⁠
⁠ 1 / 18 ⁠	2 , 3	0.0 5	0.0 032	2 , 3	⁠ 1 / 102 ⁠
⁠ 1 / 19 ⁠	19	0. 052631578947368421	0. 003113211	103	⁠ 1 / 103 ⁠
⁠ 1 / 20 ⁠	2 , 5	0.05	0.0 03	2 , 11	⁠ 1 / 110 ⁠
⁠ 1 / 21 ⁠	3 , 7	0. 047619	0. 003	3 , 13	⁠ 1 / 111 ⁠
⁠ 1 / 22 ⁠	2 , 11	0.0 45	0.0 02322	2 , 23	⁠ 1 / 112 ⁠
⁠ 1 / 23 ⁠	23	0. 0434782608695652173913	0. 00230201121	113	⁠ 1 / 113 ⁠
⁠ 1 / 24 ⁠	2 , 3	0.041 6	0.00 2	2 , 3	⁠ 1 / 120 ⁠
⁠ 1 / 25 ⁠	5	0.04	0. 0022033113	11	⁠ 1 / 121 ⁠
⁠ 1 / 26 ⁠	2 , 13	0.0 384615	0.0 021312	2 , 31	⁠ 1 / 122 ⁠
⁠ 1 / 27 ⁠	3	0. 037	0. 002113231	3	⁠ 1 / 123 ⁠
⁠ 1 / 28 ⁠	2 , 7	0.03 571428	0.0 021	2 , 13	⁠ 1 / 130 ⁠
⁠ 1 / 29 ⁠	29	0. 0344827586206896551724137931	0. 00203103313023	131	⁠ 1 / 131 ⁠
⁠ 1 / 30 ⁠	2 , 3 , 5	0.0 3	0.0 02	2 , 3 , 11	⁠ 1 / 132 ⁠
⁠ 1 / 31 ⁠	31	0. 032258064516129	0. 00201	133	⁠ 1 / 133 ⁠
⁠ 1 / 32 ⁠	2	0.03125	0.002	2	⁠ 1 / 200 ⁠
⁠ 1 / 33 ⁠	3 , 11	0. 03	0. 00133	3 , 23	⁠ 1 / 201 ⁠
⁠ 1 / 34 ⁠	2 , 17	0.0 2941176470588235	0.0 0132	2 , 101	⁠ 1 / 202 ⁠
⁠ 1 / 35 ⁠	5 , 7	0.0 285714	0. 001311	11 , 13	⁠ 1 / 203 ⁠
⁠ 1 / 36 ⁠	2 , 3	0.02 7	0.0 013	2 , 3	⁠ 1 / 210 ⁠

Встречаемость в человеческих языках

Многие или все языки чумашан (на которых говорят коренные американцы чумаши ) первоначально использовали четверичную систему счисления, в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными четырем и шестнадцати, а не десяти. Сохранился список числовых слов языка Вентуреньо до тридцати двух, записанный испанским священником ок. 1819. ^[1]

Числа Харости (из языков племен Пакистана и Афганистана) имеют частичную четверичную систему счисления от одного до десяти.

Кривые Гильберта

Четвертичные числа используются в представлении двумерных кривых Гильберта . Здесь действительное число от 0 до 1 преобразуется в четверичную систему. Каждая отдельная цифра теперь указывает, в каком из четырех подквадрантов будет проецироваться число.

Генетика

Можно провести параллели между четвертичными числами и тем, как генетический код представлен ДНК . Четыре нуклеотида ДНК в алфавитном порядке , сокращенно A , C , G и T , можно использовать для обозначения четвертичных цифр в числовом порядке 0, 1, 2 и 3. При таком кодировании пары дополнительных цифр 0↔3, и 1↔2 (бинарные 00↔11 и 01↔10) соответствуют комплементации пар оснований : A↔T и C↔G и могут храниться как данные в последовательности ДНК. ^[2] Например, нуклеотидная последовательность GATTACA может быть представлена четвертичным числом 2033010 (= десятичное 9156 или двоичное 10 00 11 11 00 01 00). Геном человека имеет длину 3,2 миллиарда пар оснований. ^[3]

Передача данных

Четверичные линейные коды использовались для передачи от изобретения телеграфа до кода 2B1Q , используемого в современных ISDN цепях .

Стандарт GDDR6X, разработанный Nvidia и Micron , использует для передачи данных четверичные биты. ^[4]

Вычисление

Некоторые компьютеры использовали с плавающей запятой четверичную арифметику , включая Illinois ILLIAC II (1962). ^[5] и системы съемки местности с высоким разрешением Digital Field System DFS IV и DFS V. ^[6]

См. также

Преобразование между базами
Последовательность Мозера – де Брейна , числа, в основе которых лежат только 0 или 1.

Ссылки

^ Билер, Мэдисон С. (1986). «Чумашанские цифры». В Клоссе, Майкл П. (ред.). Индейская математика . ISBN 0-292-75531-7 .
^ «Устройство хранения и шифрования на основе бактерий» (PDF) . ИГЕМ 2010 . Китайский университет Гонконга . 2010. Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 года . Проверено 27 ноября 2010 г.
^ Чиал, Хайди (2008). «Технологии секвенирования ДНК – ключ к проекту генома человека» . Природное образование . 1 (1): 219.
^ «Графические процессоры NVIDIA GeForce RTX 30 серии на базе архитектуры Ampere» .
^ Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава H. Исторические архитектуры с плавающей запятой». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 948. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .
^ Паркинсон, Роджер (7 декабря 2000 г.). «Глава 2 – Цифровые системы съемки местности высокого разрешения – Глава 2.1 – Цифровые системы полевой регистрации» . Обследования объектов с высоким разрешением (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 24. ISBN 978-0-20318604-6 . Проверено 18 августа 2019 г. [...] Такие системы, как [Цифровая полевая система] DFS IV и DFS V, представляли собой четверичные системы с плавающей запятой и использовали шаг усиления 12 дБ. [...] (256 страниц)

Внешние ссылки

Четвертичное преобразование оснований , включая дробную часть, из Math Is Fun
Base42 Предлагает уникальные символы для четвертичных и шестнадцатеричных цифр.

[Beeler_1986-1] Билер, Мэдисон С. (1986). «Чумашанские цифры». В Клоссе, Майкл П. (ред.). Индейская математика . ISBN 0-292-75531-7 .

[CUHK_2010-2] «Устройство хранения и шифрования на основе бактерий» (PDF) . ИГЕМ 2010 . Китайский университет Гонконга . 2010. Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 года . Проверено 27 ноября 2010 г.

[chial08-3] Чиал, Хайди (2008). «Технологии секвенирования ДНК – ключ к проекту генома человека» . Природное образование . 1 (1): 219.

[4] «Графические процессоры NVIDIA GeForce RTX 30 серии на базе архитектуры Ampere» .

[Beebe_2017-5] Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава H. Исторические архитектуры с плавающей запятой». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 948. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .

[Parkinson_2000-6] Паркинсон, Роджер (7 декабря 2000 г.). «Глава 2 – Цифровые системы съемки местности высокого разрешения – Глава 2.1 – Цифровые системы полевой регистрации» . Обследования объектов с высоким разрешением (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 24. ISBN 978-0-20318604-6 . Проверено 18 августа 2019 г. [...] Такие системы, как [Цифровая полевая система] DFS IV и DFS V, представляли собой четверичные системы с плавающей запятой и использовали шаг усиления 12 дБ. [...] (256 страниц)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]