Номер Табита

Табит Прайм
Назван в честь	Сабит ибн Курра
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный
Последовательность	Числа Табита
Первые сроки	2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 6143, 786431
ОЭИС Индекс	А007505

В теории чисел число Сабита , число Сабита ибн Курры или число 321 представляет собой целое число вида $3\cdot 2^{n}-1$ для неотрицательного целого числа n .

Первые несколько чисел Табита:

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 95 , 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (последовательность A055010 в OEIS )

9-го века Математик , врач , астроном и переводчик Табит ибн Курра считается первым, кто изучил эти числа и их связь с дружественными числами . ^[1]

Характеристики

Двоичное представление числа Табита 3·2 ^н−1 имеет длину n +2 цифр, состоящую из цифр «10», за которыми следуют n единиц.

Первые несколько простых чисел Табита ( простые числа Табита или 321 простое число ):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (последовательность A007505 в OEIS )

По состоянию на июль 2023 г. ^[update], известно 67 простых чисел Табита. Их значения n : ^[2]^[3]^[4]^[5]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 63, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 1774 8034, 18196595, 18924988, 20928756, ... (последовательность A002235 в OEIS )

Простые числа для 234760 ≤ n ≤ 3136255 были найдены в рамках распределенных вычислений проекта 321 search . ^[6]

В 2008 году PrimeGrid взял на себя поиск простых чисел Табита. ^[7] Он все еще ищет и уже нашел все известные на данный момент простые числа Табита с n ≥ 4235414. ^[4] Он также ищет простые числа вида 3·2 ^н+1 такие простые числа называются простыми числами Табита второго рода или 321 простым числом второго рода .

Первые несколько чисел Табита второго рода:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (последовательность А1 81565 в OEIS )

Первые несколько простых чисел Табита второго рода:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (последовательность A039687 в OEIS )

Их значения n :

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916 773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818, ... (последовательность A002253 в OEIS )

Связь с дружелюбными номерами

Когда и n, и n −1 дают простые числа Табита (первого рода), и $9\cdot 2^{2n-1}-1$ также является простым, пару дружественных чисел можно вычислить следующим образом:

2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)

и

2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).

Например, n = 2 дает простое число Табита 11, а n −1 = 1 дает простое число Табита 5, и наш третий член равен 71. Тогда 2 ²=4, умноженное на 5 и 11, дает 220 , сумма делителей которого равна 284 , а умножение 71 в четыре раза дает 284, сумма делителей которого дает 220.

Единственные известные n, удовлетворяющие этим условиям, — это 2, 4 и 7, что соответствует простым числам Табита 11, 47 и 383, заданным n , простым числам Табита 5, 23 и 191, заданным n −1, и нашим третьим членам являются 71, 1151. и 73727. (Соответствующие дружественные пары: (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056))

Обобщение

Для целого числа b ≥ 2 база чисел Табита b представляет собой число вида ( b +1) · b ^н − 1 для неотрицательного целого числа n . Кроме того, для целого числа b ≥ 2 число Табита второго рода по основанию b представляет собой число вида ( b +1) · b ^н + 1 для неотрицательного целого числа n .

Числа Уильямса также являются обобщением чисел Табита. Для целого числа b ≥ 2 основанием чисел Вильямса b является число вида ( b −1) · b ^н − 1 для неотрицательного целого числа n . ^[8] Кроме того, для целого числа b ≥ 2 числом Вильямса второго рода по основанию b является число вида ( b −1)· b ^н + 1 для неотрицательного целого числа n .

Для целого числа b ≥ 2 базовое число Табита b является основанием числа Табита b , которое также является простым. Аналогично, для целого числа b ≥ 2 простое основание Вильямса b является основанием чисел Вильямса b, которое также является простым.

Каждое простое число p является простым числом Табита первого рода по основанию p , простым числом Вильямса первого рода по основанию p +2 и простым числом Вильямса второго рода по основанию p ; если p ≥ 5, то p также является простым числом Табита второго рода по основанию p −2.

Это гипотеза о том, что для каждого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Табита первого рода по основанию b , бесконечно много простых чисел Вильямса по основанию первого рода b и бесконечно много простых чисел Вильямса по основанию второго рода b ; кроме того, для каждого целого числа b ≥ 2, которое не соответствует 1 по модулю 3, существует бесконечно много простых чисел Табита второго рода по основанию b . (Если основание b конгруэнтно 1 по модулю 3, то все числа Табита второго рода по основанию b делятся на 3 (и больше 3, поскольку b ≥ 2), поэтому не существует простых чисел Табита второго рода по основанию b. .)

Показатель простых чисел Табита второго рода не может конгруэнтно 1 по модулю 3 (за исключением самой 1), показатель простых чисел Вильямса первого рода не может конгруэнтно 4 по модулю 6, а показатель простых чисел Вильямса второго рода не может конгруэнтовать 1 по модулю 6 (кроме самого 1), поскольку соответствующий многочлен для b является приводимым многочленом . (Если n ≡ 1 mod 3, то ( b +1)· b ^н + 1 делится на b ² + б +1; если n ≡ 4 mod 6, то ( b −1) · b ^н − 1 делится на b ² − б + 1; и если n ≡ 1 mod 6, то ( b −1) · b ^н + 1 делится на b ² − b + 1) В противном случае соответствующий многочлен b является неприводимым многочленом , поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много базисов b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n, удовлетворяющем условию) является простым. (( б +1) · б ^н − 1 неприводимо для всех неотрицательных целых чисел n , поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много базисов b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n ) является простым)

Числа Пирпонта $3^{m}\cdot 2^{n}+1$ являются обобщением чисел Табита второго рода $3\cdot 2^{n}+1$ .

Ссылки

^ Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Том. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 277. ИСБН 0-7923-2565-6 .
^ «Сколько цифр в этих простых числах» . Архивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. Проверено 14 ноября 2006 г.
^ «Простые числа PrimePage: 3 · 2^4235414 - 1» . t5k.org .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Простые числа, содержащие 800 000 и более цифр» . Проверено 22 июня 2024 г.
^ «PrimeGrid ищет простые числа 3*2^n - 1» . www.primegrid.com .
^ «Статус поиска» . Архивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. Проверено 14 ноября 2006 г.
^ «Биография PrimePage: 321search» .
^ «Список простых чисел Вильямса (первого рода) по основанию от 3 до 2049 (для показателя степени ≥ 1)» .

Внешние ссылки

[Rashed-1] Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Том. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 277. ИСБН 0-7923-2565-6 .

[2] «Сколько цифр в этих простых числах» . Архивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. Проверено 14 ноября 2006 г.

[3] «Простые числа PrimePage: 3 · 2^4235414 - 1» . t5k.org .

[utm-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Простые числа, содержащие 800 000 и более цифр» . Проверено 22 июня 2024 г.

[5] «PrimeGrid ищет простые числа 3*2^n - 1» . www.primegrid.com .

[6] «Статус поиска» . Архивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. Проверено 14 ноября 2006 г.

[7] «Биография PrimePage: 321search» .

[8] «Список простых чисел Вильямса (первого рода) по основанию от 3 до 2049 (для показателя степени ≥ 1)» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers