Вольстенхолм прайм

Вольстенхолм прайм
Назван в честь	Джозеф Уолстенхолм
Год публикации	1995
Автор публикации	Макинтош, Р.Дж.
Количество известных терминов	2
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный
Последовательность	Неправильные простые числа
Первые сроки	16843 , 2124679
Самый большой известный термин	2124679
ОЭИС Индекс	А088164 ; Простые числа Вольстенхолма: простые числа p такие, что бином (2p-1,p-1) == 1 (mod p^4) ;

В теории чисел простое число Вольстенхолма — это особый тип простого числа, удовлетворяющий более сильной версии теоремы Вольстенхолма . Теорема Вольстенхолма — это соотношение конгруэнтности , которому удовлетворяют все простые числа, большие 3. Простые числа Вольстенхолма названы в честь математика Джозефа Вольстенхолма , который впервые описал эту теорему в 19 веке.

Интерес к этим простым числам впервые возник благодаря их связи с Великой теоремой Ферма . Простые числа Вольстенхолма также связаны с другими специальными классами чисел, изучаемыми в надежде обобщить доказательство истинности теоремы на все положительные целые числа, большие двух.

Единственные два известных простых числа Вольстенхолма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ). Других простых чисел Вольстенхолма меньше 10 не существует. ⁹. ^[2]

Определение

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли простые числа Вольстенхолма, кроме 16843 и 2124679?

(еще нерешенные задачи по математике)

Простое число Вольстенхолма можно определить несколькими эквивалентными способами.

Определение через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхолма — это простое число p > 7, удовлетворяющее равенству

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент . ^[3]Для сравнения, теорема Вольстенхолма утверждает, что для каждого простого числа p > 3 выполняется следующее сравнение:

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.

Определение через числа Бернулли

Простое число Вольстенхолма — это простое число p , которое делит числитель числа Бернулли B _{p −3} . ^[4]^[5]^[6] Таким образом, простые числа Вольстенхолма образуют подмножество неправильных простых чисел .

Определение через нерегулярные пары

Простое число Вольстенхолма — это простое число p такое, что ( p , p –3) — неправильная пара . ^[7]^[8]

Определение через номера гармоник

Простое число Вольстенхолма — это простое число p такое, что ^[9]

H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,

т.е. числитель номера гармоники $H_{p-1}$ выраженное в низших терминах, делится на p ³.

Поиск и текущий статус

Поиск простых чисел Вольстенхолма начался в 1960-х годах и продолжался в течение следующих десятилетий, а последние результаты были опубликованы в 2007 году. Первое простое число Вольстенхолма 16843 было найдено в 1964 году, хотя в то время о нем не сообщалось явно. ^[10] Открытие 1964 года было позже независимо подтверждено в 1970-х годах. Это оставалось единственным известным примером такого простого числа в течение почти 20 лет, пока в 1993 году не было объявлено об открытии второго простого числа Вольстенхолма 2124679. ^[11] До 1,2 × 10 ⁷, больше простых чисел Вольстенхолма обнаружено не было. ^[12] Позже это было расширено до 2 × 10. ⁸ Макинтош в 1995 году ^[5] а Тревизан и Вебер смогли достичь 2,5 × 10 ⁸. ^[13] Последний результат 2007 года: существуют только два простых числа Вольстенхолма до 10. ⁹. ^[14]

Ожидаемое количество простых чисел Вольстенхолма

Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Вольстенхолма. Предполагается, что количество простых чисел Вольстенхолма ≤ x составляет около ln ln x , где ln обозначает натуральный логарифм . Для каждого простого числа p ≥ 5 фактор Вольстенхолма определяется как

W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}.

Ясно, что p — простое число Вольстенхолма тогда и только тогда, когда W _p ≡ 0 (mod p ). Эмпирически можно предположить, что остатки W _p по модулю p в равномерно распределены множестве {0, 1, ..., p –1}. Согласно этому рассуждению, вероятность того, что остаток примет определенное значение (например, 0), составляет около 1/ p . ^[5]

См. также

Примечания

^ Простые числа Вольстенхолма были впервые описаны Макинтошом в McIntosh 1995 , с. 385
^ Вайсштейн, Эрик В. , «Простое число Вольстенхолма» , MathWorld
^ Кук, Дж. Д., Биномиальные коэффициенты , данные получены 21 декабря 2010 г.
^ Кларк и Джонс 2004 , с. 553.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Макинтош 1995 , с. 387.
^ Чжао 2008 , с. 25.
^ Джонсон 1975 , с. 114.
^ Бюлер и др. 1993 , с. 152.
^ Чжао 2007 , с. 18.
^ Селфридж и Поллак опубликовали первое простое число Вольстенхолма в Selfridge & Pollack 1964 , стр. 97 (см. McIntosh & Roettger 2007 , стр. 2092).
^ Рибенбойм 2004 , с. 23.
^ Чжао 2007 , с. 25.
^ Тревизан и Вебер 2001 , с. 283–284.
^ Макинтош и Реттгер 2007 , с. 2092.

Ссылки

Бюлер, Дж.; Крэндалл, Р.; Эрнвалл, Р.; Мецянкюля, Т. (1993), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты до четырех миллионов» (PDF) , Mathematics of Computation , 61 (203): 151–153, Бибкод : 1993MaCom..61..151B , doi : 10.2307/2152942 , JSTOR 2152942 Архивировано 22 сентября 2021 г. на archive.today.
Кларк, Ф.; Джонс, К. (2004), «Сравнение факториалов» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 36 (4): 553–558, doi : 10.1112/S0024609304003194 , S2CID 120202453. Архивировано 2 января 2011 г. на WebCite.
Джонсон, В. (1975), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты» (PDF) , Mathematics of Computation , 29 (129): 113–120, doi : 10.2307/2005468 , JSTOR 2005468. Архивировано 28 декабря 2021 г., archive.today .
Макинтош, Р.Дж. (1995), «Об обратной теореме Вольстенхолма» (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (4): 381–389, doi : 10.4064/aa-71-4-381-389
Макинтош, Р.Дж.; Реттгер, Э.Л. (2007), «Поиск простых чисел Фибоначчи-Вифериха и Вольстенхолма» (PDF) , Mathematics of Computation , 76 (260): 2087–2094, Бибкод : 2007MaCom..76.2087M , doi : 10.1090/S0025-5718 -07-01955-2 Архивировано 10 декабря 2010 г. на WebCite.
Рибенбойм, П. (2004), «Глава 2. Как распознать, является ли натуральное число простым», Маленькая книга больших простых чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6
Селфридж, JL; Поллак, Б.В. (1964), «Последняя теорема Ферма верна для любого показателя до 25 000», Уведомления Американского математического общества , 11 : 97.
Тревизан, В.; Вебер, К.Э. (2001), «Проверка обратной теоремы Вольстенхолма» (PDF) , Matemática Contemporânea , 21 (16): 275–286, doi : 10.21711/231766362001/rmc2116. Архивировано 6 октября 2011 г. в Wayback Machine.
Чжао, Дж. (2007), «Числа Бернулли, теорема Вольстенхолма и p ⁵ вариации теоремы Лукаса» (PDF) , Journal of Number Theory , 123 : 18–26, doi : 10.1016/j.jnt.2006.05.005 , S2CID 937685. Архивировано 30 июня 2010 г. в Wayback Machine.
Чжао, Дж. (2008), «Теорема типа Вольстенхолма для кратных гармонических сумм» (PDF) , International Journal of Number Theory , 4 (1): 73–106, doi : 10.1142/s1793042108001146

Дальнейшее чтение

Бэббидж, К. (1819), «Демонстрация теоремы, касающейся простых чисел» , The Edinburgh Philosophical Journal , 1 : 46–49.
Краттенталер, К.; Ривоал, Т. (2009), «О целости коэффициентов Тейлора зеркальных отображений, II», Communications in Number Theory and Physics , 3 (3): 555–591, arXiv : 0907.2578 , Bibcode : 2009arXiv0907.2578K , doi : 10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5
Уолстенхолм, Дж. (1862), «О некоторых свойствах простых чисел» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 5 : 35–39.

Внешние ссылки

Колдуэлл, Крис К. Уолстенхолм, простое число из The Prime Glossary
Макинтош, Р. Дж. Уолстенхолм. Статус поиска по состоянию на март 2004 г., электронное письмо Полу Циммерману.
Брук, теорема Р. Вольстенхолма, числа Стирлинга и биномиальные коэффициенты
Конрад, К. p - адический рост гармонических сумм, интересное наблюдение, касающееся двух простых чисел Вольстенхолма.

[1] Простые числа Вольстенхолма были впервые описаны Макинтошом в McIntosh 1995 , с. 385

[2] Вайсштейн, Эрик В. , «Простое число Вольстенхолма» , MathWorld

[3] Кук, Дж. Д., Биномиальные коэффициенты , данные получены 21 декабря 2010 г.

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-4] Кларк и Джонс 2004 , с. 553.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Макинтош 1995 , с. 387.

[FOOTNOTEZhao200825-6] Чжао 2008 , с. 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-7] Джонсон 1975 , с. 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-8] Бюлер и др. 1993 , с. 152.

[FOOTNOTEZhao200718-9] Чжао 2007 , с. 18.

[10] Селфридж и Поллак опубликовали первое простое число Вольстенхолма в Selfridge & Pollack 1964 , стр. 97 (см. McIntosh & Roettger 2007 , стр. 2092).

[FOOTNOTERibenboim200423-11] Рибенбойм 2004 , с. 23.

[FOOTNOTEZhao200725-12] Чжао 2007 , с. 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-13] Тревизан и Вебер 2001 , с. 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-14] Макинтош и Реттгер 2007 , с. 2092.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers