Таблица сравнений

В математике сравнение — это отношение эквивалентности целых чисел . В следующих разделах перечислены важные или интересные сравнения, связанные с простыми числами.

Таблица сравнений, характеризующих специальные простые числа

$2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$	частный случай малой теоремы Ферма , которому удовлетворяют все нечетные простые числа
$2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$	решения называются простыми числами Вифериха (наименьший пример: 1093).
$F_{n-\left({\frac {n}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {n}}$	удовлетворяются все простые числа
$F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$	решения называются простыми числами Уолла – Солнца – Солнца (примеры не известны)
${2n-1 \choose n-1}\equiv 1{\pmod {n^{3}}}$	по теореме Вольстенхолма, которой удовлетворяют все простые числа, большие 3
${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},$	решения называются простыми числами Вольстенхолма (наименьший пример: 16843).
$(n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n}}$	по теореме Вильсона натуральное число n является простым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет этому сравнению
$(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p^{2}}}$	решения называются простыми числами Вильсона (наименьший пример: 5)
$4[(p-1)!+1]\ \equiv \ -p{\pmod {p(p+2)}}$	решения — простые числа-близнецы

Другие сравнения, связанные с простыми числами

Существуют и другие сравнения простых чисел, которые обеспечивают необходимые и достаточные условия простоты определенных подпоследовательностей натуральных чисел. Многие из этих альтернативных утверждений, характеризующих простоту, связаны с теоремой Вильсона или представляют собой повторные формулировки этого классического результата, данные в терминах других теорем. специальные варианты обобщенных факториальных функций . Например, новые варианты теоремы Вильсона , сформулированные в терминах гиперфакториалы , субфакториалы и суперфакториалы . В таблице приведены

Варианты теоремы Вильсона

Для целых чисел $k\geq 1$, мы имеем следующую форму теоремы Вильсона:

$(k-1)!(p-k)!\equiv (-1)^{k}{\pmod {p}}\iff p{\text{ prime. }}$

Если $p$ странно, у нас такое есть

$\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}\equiv (-1)^{(p+1)/2}{\pmod {p}}\iff p{\text{ an odd prime. }}$

Теорема Клемента о простых числах-близнецах

Теорема Клемента, основанная на сравнении, характеризует пары простых чисел-близнецов вида $(p,p+2)$ посредством следующих условий:

$4[(p-1)!+1]\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}\iff p,p+2{\text{ are both prime. }}$

Оригинальная статья П. А. Клемента 1949 года. обеспечивает доказательство этого интересного элементарного теоретико-числового критерия простоты близнецов, основанное на теореме Вильсона. Другая характеристика, данная в статье Линь и Чжипенга, гласит, что

$2\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}(5p+2)\equiv 0\iff p,p+2{\text{ are both prime. }}$

Характеристики простых кортежей и кластеров

Простые пары вида $(p,p+2k)$ для некоторых $k\geq 1$ включать особые случаи двоюродных простых чисел (когда $k=2$) и сексуальные простые числа (когда $k=3$). У нас есть элементарные характеристики простоты таких пар, основанные на конгруэнции, доказанные, например, в статье. Примеры сравнений, характеризующих эти простые пары, включают:

$2k(2k)![(p-1)!+1]\equiv [1-(2k)!]p{\pmod {p(p+2k)}}\iff p,p+2k{\text{ are both prime, }}$

и альтернативная характеристика, когда $p$ странно, что $p\not {\mid }(2k-1)!!^{2}$ данный

$2k(2k-1)!!^{2}\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}\left[(2k-1)!!^{2}(p+2k)-(-4)^{k}\cdot p\right]\equiv 0\iff p,p+2k{\text{ are both prime. }}$

Существуют и другие основанные на конгруэнтности характеристики простоты троек и более общие простые кластеры (или простые кортежи ), которые обычно доказываются, начиная с теоремы Вильсона. ).