Минимальное простое число (развлекательная математика)

В теории развлекательных чисел минимальное простое число — это простое число , для которого не существует более короткой подпоследовательности его цифр в данной базе, образующей простое число. В десятичной системе ровно 26 минимальных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 94666 9, 60000049, 66000049, 66600049 (последовательность A071062 в OEIS ).

Например, 409 — минимальное простое число, поскольку среди более коротких подпоследовательностей цифр нет простого числа: 4, 0, 9, 40, 49, 09. Подпоследовательность не обязательно должна состоять из последовательных цифр, поэтому 109 не является минимальной. простое число (потому что 19 — простое число). Но это должно быть в том же порядке; так, например, 991 по-прежнему является минимальным простым числом, хотя подмножество цифр может образовать более короткое простое число 19, изменив порядок.

Аналогично, существует ровно 32 составных числа , у которых нет более короткой составной подпоследовательности:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (последовательность A071070 в OEIS ).

Существует 146 простых чисел, соответствующих 1 модулю 4, которые не имеют более короткого простого числа, конгруэнтного 1 подпоследовательности по модулю 4:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... (последовательность A111055 в OEIS )

Существует 113 простых чисел, конгруэнтных 3 по модулю 4, которые не имеют более короткого простого числа, конгруэнтного подпоследовательности 3 по модулю 4:

3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2099, 2699, 2999, 4051, 4451, 4651, 5051, 5651, 5851, 6299, 6451, 6551, 6899, 8 291, 8699, 8951, 8999, 9551, 9851, ... (последовательность A111056 в OEIS )

Другие базы

Минимальные простые числа можно обобщить на другие базы. Можно показать, что в каждой базе существует только конечное число минимальных простых чисел. Эквивалентно, каждое достаточно большое простое число содержит более короткую подпоследовательность, образующую простое число.

б	минимальные простые числа в базе b (написанные в базе b , буквы A, B, C, ... обозначают значения 10, 11, 12, ...)	количество минимальные простые числа в базе б
1	11	1
2	10, 11	2
3	2, 10, 111	3
4	2, 3, 11	3
5	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441	8
6	2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041	7
7	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111	9
8	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441	15
9	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101	12
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049	26
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9А, 199, 1АА, 414, 919, А1А, АА1, 11А9, 66А9, А119, А911, ААА9, 11144, 11191, 1141А, 114А1, 1411А, 144А4, 14А11, 1А114, 1А411, 4041А, 40441, 404А1, 4111А, 411А1, 44401, 444А1, 44А01, 6А6 09, 6А669, 6А696, 6А906, 6А966, 90901, 99111, А0111 , А0669, А0966, А0999, А0А09, А4401, А6096, А6966, А6999, А9091, А9699, А9969, 401А11, 404001, 404111, 440А41, 4А0401, 4А4041, 60А069 , 6А0096, 6А0А96, 6А9099, 6А9909, 909991, 999901, А00009 , А60609, А66069, А66906, А69006, А90099, А90996, А96006, А96666, 111114А, 1111А14, 1111А41, 1144441, 14А4444, 1А44444, 4000111, 4 01 1111, 41А1111, 4411111, 444441А, 4А11111, 4А40001, 6000А69, 6000А96, 6А00069, 9900991, 9990091, А000696, А000991, А006906, А040041, А141111, А600А69, А906606, А909009, А990009, 40А00041, 60А99999, 99000001, А00 04041, A99 09006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669 , A90000606, A99999006, a99999099, 600000a999, a000144444, a900000066, a000000001, a0014444444, 40000000a0041, a0000000144444, a044 444444411, a144444444411, 400000000000000401, a0000044444441 A00000000444441, 111111111111111, 1444444444441111, 4444444444444 111, а14444444444444444, а999999999999996, 1444444444444444444, 400000000000000A0A041, A9999999999999999 99999, а44444444444444, 44444444441, 400000000000000000000000041 4400000000000000000000000000000000001 ,, 99999999999999999999999999991, 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н	152
12	2, 3, 5, 7, Б, 11, 61, 81, 91, 401, А41, 4441, А0А1, АААА1, 44ААА1, ААА0001, АА000001	17

Минимальные простые числа по основанию 12, записанные по основанию 10, перечислены в OEIS : A110600 .

Количество минимальных (вероятных) простых чисел по основанию n равно

1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280, ^[1] 50, 3463, ^[2] 651, 2601, ^[3] 1242, 6021, 306, (17608 или 17609), ^[4] 5664, ^[5] 17215, ^[6] 5784, ^[7] (57296 или 57297), ^[8] 220, ...

Длина наибольшего минимального (вероятного) простого числа по основанию n равна

2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150), 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...

Наибольшее минимальное (вероятное) простое число по основанию n (записанное по основанию 10):

2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (следующий срок имеет 35670 цифр) (последовательность A326609 в OEIS )

Количество минимальных композитов по базе n равно

1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...

Длина наибольшего минимального композита по базе n равна

4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...

Примечания

^ Это значение является лишь предположением. Для базы 17 известно 1279 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: F1{9}.
^ Это значение является лишь предположением. Для системы счисления 19 известно 3462 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: EE1{6}.
^ Это значение является лишь предположением. Для базы 21 известно 2600 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: G{0}FK.
^ Это значение является лишь предположением. Для системы счисления 25 существует 17597 известных минимальных (вероятных) простых чисел и двенадцать нерешённых семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств (LO{L}8) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешённое семейство — это O{ Л}8
^ Это значение является лишь предположением. Для базы 26 известно 5662 минимальных (вероятных) простых числа и два нерешенных семейства: {A}6F и {I}GL.
^ Это значение является лишь предположением. Для базы 27 известно 17210 минимальных (вероятных) простых чисел и пять нерешённых семейств.
^ Это значение является лишь предположением. Для базы 28 известно 5783 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: O{A}F.
^ Это значение является лишь предположением. Для базы 29 существует 57283 известных минимальных (вероятных) простых чисел и четырнадцать нерешённых семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств ({F}OPF) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешённое семейство — это {F}. ОП

Ссылки

Эта теории чисел статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Это значение является лишь предположением. Для базы 17 известно 1279 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: F1{9}.

[2] Это значение является лишь предположением. Для системы счисления 19 известно 3462 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: EE1{6}.

[3] Это значение является лишь предположением. Для базы 21 известно 2600 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: G{0}FK.

[4] Это значение является лишь предположением. Для системы счисления 25 существует 17597 известных минимальных (вероятных) простых чисел и двенадцать нерешённых семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств (LO{L}8) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешённое семейство — это O{ Л}8

[5] Это значение является лишь предположением. Для базы 26 известно 5662 минимальных (вероятных) простых числа и два нерешенных семейства: {A}6F и {I}GL.

[6] Это значение является лишь предположением. Для базы 27 известно 17210 минимальных (вероятных) простых чисел и пять нерешённых семейств.

[7] Это значение является лишь предположением. Для базы 28 известно 5783 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: O{A}F.

[8] Это значение является лишь предположением. Для базы 29 существует 57283 известных минимальных (вероятных) простых чисел и четырнадцать нерешённых семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств ({F}OPF) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другое нерешённое семейство — это {F}. ОП

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Стерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел