Моноидное кольцо

В абстрактной алгебре моноидное кольцо — это кольцо, построенное из кольца и моноида , точно так же, как групповое кольцо состоит из кольца и группы .

Определение

Пусть R — кольцо и G — моноид. Кольцо моноида или алгебра моноидов группы G над R , обозначаемая R [ G ] или RG , представляет собой набор формальных сумм. $\sum _{g\in G}r_{g}g$ ,где $r_{g}\in R$ для каждого $g\in G$ и r _g = 0 для всех, кроме конечного числа g , снабженных сложением по коэффициентам и умножением, при котором элементы R коммутируют с элементами G . Более формально, R [ G ] — это свободный R -модуль на множестве G , наделенный R -линейным умножением, определенным на базовых элементах на g·h := gh , где левая часть понимается как умножение в R [ G ] и правая часть понимается в G .

Альтернативно можно идентифицировать элемент $g\in R[G]$ с функцией e _g , которая отображает g в 1 и каждый другой элемент G в 0. Таким образом, R [ G ] отождествляется с набором функций φ: G → R таких, что { g : φ( g ) ≠ 0 } конечно. оснащен сложением функций и умножением, определяемым

(\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )

.

Если G — группа , то R [ G называется групповым кольцом группы G над R. ] также

Универсальная собственность

Учитывая R и G , существует кольцевой гомоморфизм α: R → R [ G ], переводящий каждый r в r 1 (где 1 — единичный элемент G ),и моноидный гомоморфизм β: G → R [ G ] (где последний рассматривается как моноид при умножении), переводящий каждый g в 1 g (где 1 — мультипликативное тождество R ). что α( r ) коммутирует с β( g ) для всех r в R и g в G. Мы имеем ,

Универсальное свойство кольца моноида гласит, что для кольца S , гомоморфизма колец α': R → S и гомоморфизма моноида β': G → S в мультипликативный моноид кольца S ,такой, что α'( r ) коммутирует с β'( g ) для всех r в R и g в G , существует единственный кольцевой гомоморфизм γ: R [ G ] → S такой, что составление α и β с γ дает α' и β'.

Увеличение

Пополнение , — это кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R определенный формулой

\eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.

Ядро η . называется приращения идеалом Это свободный R - модуль с базой, состоящей из 1 – g для всех g в G, не равных 1.

Примеры

Даны кольцо R и (аддитивный) моноид натуральных чисел N (или { x ^н}, если смотреть мультипликативно), получим кольцо R [{ x ^н}] =: R [ x ] многочленов над R .Моноид N ^н (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N ^н] =: R [ Икс ₁ , ..., Х _п ].

Обобщение

Если G — полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

См. также

Ссылки

Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 211 (Ред. 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-Х .

Дальнейшее чтение

Р.Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго – Лондон, 1984 г.