Топологическая группа

Действительные числа образуют топологическую группу. при сложении

В математике топологические группы представляют собой комбинацию групп и топологических пространств , т. е. они одновременно являются группами и топологическими пространствами, причем условие непрерывности групповых операций связывает эти две структуры вместе и, следовательно, они не являются независимыми друг от друга.

Топологические группы широко изучались в период с 1925 по 1940 год. Хаар и Вейль (соответственно в 1933 и 1940 годах) показали, что интегралы и ряды Фурье являются частными случаями очень широкого класса топологических групп.

Топологические группы, наряду с непрерывными групповыми действиями , используются для изучения непрерывных симметрий , имеющих множество приложений, например, в физике . В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство представляет собой аддитивную топологическую группу с дополнительным свойством непрерывности скалярного умножения; следовательно, многие результаты теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.

Формальное определение

Топологическая группа — G это топологическое пространство , которое также является группой, такой что групповая операция (в данном случае произведение):

⋅ : грамм × грамм → грамм , ( Икс , у ) ↦ ху

и карта инверсии:

⁻¹ : G → G , Икс ↦ Икс ⁻¹

являются непрерывными . Здесь G × G рассматривается как топологическое пространство с топологией произведения . Говорят, что такая топология совместима с групповыми операциями и называется групповой топологией .

Проверка непрерывности

Отображение произведения является непрерывным тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ G и любой окрестности W точки xy в G существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ V ⊆ W , где U ⋅ V : знак равно { ты ⋅ v : ты ∈ U , v ∈ V }. Отображение инверсии непрерывно тогда и только тогда, когда для любого x ∈ G и любой окрестности V точки x ⁻¹ в G существует окрестность U точки x в G такая, что U ⁻¹ ⊆ V , где U ⁻¹ := { ты ⁻¹ : ты € U }.

Чтобы показать, что топология совместима с групповыми операциями, достаточно проверить, что отображение

грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ ху ⁻¹

является непрерывным. Явно это означает, что для любых x , y ∈ G и любой окрестности W в G точки xy ⁻¹ , существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W .

Аддитивные обозначения

В этом определении использовались обозначения мультипликативных групп; эквивалентом для аддитивных групп было бы то, что следующие две операции непрерывны:

+ : грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ Икс + y

- : грамм → грамм , Икс ↦ - Икс .

Хаусдорфность

Хотя это и не входит в это определение, многие авторы требуют, чтобы топология на G была хаусдорфовой . Одна из причин этого заключается в том, что любую топологическую группу можно канонически связать с топологической группой Хаусдорфа, взяв соответствующий канонический фактор; однако для этого часто все еще требуется работа с исходной нехаусдорфовой топологической группой.Другие причины и некоторые эквивалентные условия обсуждаются ниже.

В этой статье не предполагается, что топологические группы обязательно хаусдорфовы.

Категория

На языке теории категорий топологические группы могут быть кратко определены как групповые объекты в категории топологических пространств , точно так же, как обычные группы являются групповыми объектами в категории множеств . Обратите внимание, что аксиомы даются в терминах отображений (двоичное произведение, унарное обратное и нулевое тождество), следовательно, являются категориальными определениями.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм топологических групп непрерывный групповой гомоморфизм G → H. означает Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию . Групповой гомоморфизм топологических групп непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке.

Изоморфизм групповой топологических групп — это изоморфизм , который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств. Это сильнее, чем просто требование непрерывного группового изоморфизма — обратное также должно быть непрерывным. Существуют примеры топологических групп, которые изоморфны обычным группам, но не топологическим группам. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать ее с дискретной топологией. Базовые группы одни и те же, но в качестве топологических групп не существует изоморфизма.

Примеры

Любую группу можно тривиально превратить в топологическую группу, рассматривая ее с дискретной топологией ; такие группы называются дискретными группами . В этом смысле теория топологических групп включает в себя теорию обычных групп. Недискретная топология (т.е. тривиальная топология) также превращает каждую группу в топологическую группу.

Реальные цифры , $\mathbb {R}$ с обычной топологией образуют при сложении топологическую группу. Евклидово n -пространство $\mathbb {R}$^н также является топологической группой при сложении, и, в более общем смысле, каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Некоторыми другими примерами абелевых топологических групп являются группа кругов S. ¹ , или тор ( S ¹ ) ^н для любого натурального числа n .

Классические группы являются важными примерами неабелевых топологических групп. Например, общая линейная группа GL( n , $\mathbb {R}$) всех обратимых размером n x n матриц с вещественными элементами можно рассматривать как топологическую группу с топологией, определяемой просмотром GL( n , $\mathbb {R}$) как подпространство евклидова пространства $\mathbb {R}$^{n × n} . Другая классическая группа — это ортогональная группа O( n ) , группа всех линейных отображений из $\mathbb {R}$^н самому себе, сохраняющие длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. Большую часть евклидовой геометрии можно рассматривать как изучение структуры ортогональной группы или близкородственной группы O ( n ) ⋉ $\mathbb {R}$^н изометрий ​ ​ $\mathbb {R}$^н .

Все упомянутые до сих пор группы являются группами Ли , а это означает, что они являются гладкими многообразиями , так что групповые операции являются гладкими , а не просто непрерывными. Группы Ли — наиболее понятные топологические группы; многие вопросы о группах Ли можно преобразовать в чисто алгебраические вопросы об алгебрах Ли и затем решить.

Примером топологической группы, не являющейся группой Ли, является аддитивная группа. $\mathbb {Q}$ рациональных чисел с топологией, унаследованной от $\mathbb {R}$. Это счетное пространство и не имеет дискретной топологии. Важным примером теории чисел является группа $\mathbb {Z}$_p из p -адических целых чисел для простого числа p , что означает обратный предел конечных групп. $\mathbb {Z}$/ п ^н когда n стремится к бесконечности. Группа $\mathbb {Z}$_p хорошо себя ведет, поскольку она компактна (фактически, гомеоморфна канторову множеству ), но отличается от (реальных) групп Ли тем, что она полностью несвязна . В более общем смысле существует теория p -адических групп Ли , включая компактные группы, такие как GL( n , $\mathbb {Z}$_p ), а также локально компактные группы, такие как GL( n , $\mathbb {Q}$_р ) , где $\mathbb {Q}$_p — локально компактное поле чисел p -адических .

Группа $\mathbb {Z}$_p — проконечная группа ; она изоморфна подгруппе произведения $\prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}$ таким образом, что его топология индуцируется топологией произведения, где конечные группы $\mathbb {Z} /p^{n}$ задана дискретная топология. Другой большой класс проконечных групп, важный в теории чисел, — это абсолютные группы Галуа .

Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли ; эту фразу лучше всего понимать неформально, включив в нее несколько разных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство , такое как банахово или гильбертово пространство , является абелевой топологической группой при сложении. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые изучались с разной степенью успеха, — это группы петель , группы Каца–Муди , группы диффеоморфизмов , группы гомеоморфизмов и калибровочные группы .

В каждой банаховой алгебре с мультипликативной единицей множество обратимых элементов образует топологическую группу при умножении. , например, группа обратимых ограниченных операторов Так возникает в гильбертовом пространстве.

Характеристики

Трансляционная инвариантность

Топология каждой топологической группы инвариант перевода , что по определению означает, что если для любого $a\in G,$ Умножение слева или справа на этот элемент дает гомеоморфизм $G\to G.$ Следовательно, для любого $a\in G$ и $S\subseteq G,$ подмножество $S$ открыт ) (соответственно закрыт в $G$ тогда и только тогда, когда это верно для его левого перевода $aS:=\{as:s\in S\}$ и правильный перевод $Sa:=\{sa:s\in S\}.$Если ${\mathcal {N}}$ является базисом окрестности единичного элемента в топологической группе. $G$ тогда для всех $x\in X,$$x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}$является базисом окрестности $x$ в $G.$ В частности, любая групповая топология топологической группы полностью определяется любым базисом окрестности единичного элемента. Если $S$ это любое подмножество $G$ и $U$ является открытым подмножеством $G,$ затем $SU:=\{su:s\in S,u\in U\}$ является открытым подмножеством $G.$

Симметричные кварталы

Операция инверсии $g\mapsto g^{-1}$ в топологической группе $G$ является гомеоморфизмом из $G$ самому себе.

Подмножество $S\subseteq G$ называется симметричным, если $S^{-1}=S,$ где $S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.$ Замыкание любого симметрического множества в коммутативной топологической группе симметрично. Если S — любое подмножество коммутативной топологической группы G , то следующие множества также симметричны: S ⁻¹ ∩ С , С ⁻¹ ∪ S и S ⁻¹ С. ​

Для любой окрестности N в коммутативной топологической группе G единичного элемента существует симметричная окрестность M единичного элемента такая, что M ⁻¹ M ⊆ N , где заметим, что M ⁻¹ M обязательно является симметричной окрестностью единичного элемента. Таким образом, каждая топологическая группа имеет базис окрестности единичного элемента, состоящий из симметричных множеств.

Если G — локально компактная коммутативная группа, то для любой окрестности N в G единичного элемента существует симметричная относительно компактная окрестность M единичного элемента такая, что cl M ⊆ N (где cl M также симметричен).

Единое пространство

Каждую топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство двумя способами; левая однородность превращает все левые умножения в равномерно непрерывные отображения, а правая однородность превращает все правые умножения в равномерно непрерывные отображения. Если G не абелева, то они не обязательно должны совпадать. Равномерные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость на топологических группах.

Свойства разделения

Если U — открытое подмножество коммутативной топологической группы G и U содержит компакт K , то существует окрестность N единичного элемента такая, KN ⊆ U. что

Как однородное пространство, каждая коммутативная топологическая группа вполне регулярна . Следовательно, для мультипликативной топологической группы G с единицей 1 следующие условия эквивалентны:

1. G — T0 _- пространство ( Колмогоровское );
2. G — T ₂ -пространство ( хаусдорфово );
3. G представляет собой Т _{3 1 ⁄ 2} ( Тихонов );
4. { 1 } замкнуто в G ;
5. { 1 } := ∩ N ∈ 𝒩 N , где 𝒩 — базис окрестности единичного элемента в G ;
6. для любого $x\in G$ такой, что $x\neq 1,$ существует окрестность U в G единичного элемента такая, что $x\not \in U.$

Подгруппа коммутативной топологической группы дискретна тогда и только тогда, когда она имеет изолированную точку .

Если G не хаусдорфова группа, то можно получить хаусдорфову группу, перейдя к факторгруппе G / K , где K — замыкание тождества. Это эквивалентно взятию Колмогорова G фактора .

Метрисабельность

Пусть G — топологическая группа. Как и в любом топологическом пространстве, мы говорим, что тогда и G метризуемо только тогда, когда существует метрика d на G , которая индуцирует ту же топологию на G . $G$. Метрика d на G называется

• левоинвариантный (соответственно правоинвариантный ) тогда и только тогда, когда $d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})$(соответственно $d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})$) для всех $a,x_{1},x_{2}\in G$ (эквивалентно, $d$ является левоинвариантным на тот случай, если карта $x\mapsto ax$ представляет собой изометрию от $(G,d)$ себе для каждого $a\in G$).
• правильным тогда и только тогда, когда все открытые шары $B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}$ для $r>0$, являются предкомпактными.

Теорема Биркгофа-Какутани (названная в честь математиков Гаррета Биркгофа и Шизуо Какутани ) утверждает, что следующие три условия топологической группы G эквивалентны:

1. G ( Хаусдорф и) сначала счетен (эквивалентно: единичный элемент 1 замкнут в G и существует счетный базис окрестностей для 1 в G ).
2. G метризуемо (как топологическое пространство).
3. Существует левоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .
4. Существует правоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .

Более того, следующие утверждения эквивалентны для любой топологической группы G :

1. G — второе счетное локально компактное (хаусдорфово) пространство.
2. G — польское локально компактное (хаусдорфово) пространство.
3. G правильно метризуемо (как топологическое пространство).
4. Существует левоинвариантная собственная метрика на G , которая индуцирует данную топологию на G .

Примечание. Как и в остальной части статьи, мы предполагаем здесь топологию Хаусдорфа.Последствия 4 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 1 справедливы в любом топологическом пространстве. В частности 3 $\Rightarrow$ 2 верно, поскольку, в частности, любое собственно метризуемое пространство представляет собой счетное объединение компактных метризуемых и, следовательно, сепарабельных ( ср. свойств компактных метрических пространств ) подмножеств.Нетривиальная импликация 1 $\Rightarrow$ Число 4 было впервые доказано Раймондом Штрублом в 1974 году. Альтернативный подход был предложен Уффе Хаагерупом и Агатой Пшибышевской в ​​2006 году. идея которого заключается в следующем:Один опирается на построение левоинвариантной метрики, $d_{0}$, как и в случае первых счетных пространств . В силу локальной компактности замкнутые шары достаточно малых радиусов компактны, и путем нормализации мы можем предположить, что это справедливо для радиуса 1. Замыкание открытого шара U радиуса 1 при умножении дает замкнуто-замкнутую подгруппу H группы G , на которой метрика $d_{0}$ правильно. Поскольку H открыта и G счетна по счету , подгруппа имеет не более счетного числа смежных классов. Теперь можно использовать эту последовательность смежных классов и метрику на H, чтобы построить правильную метрику на G .

Подгруппы

Каждая подгруппа топологической группы сама по себе является топологической группой, если ей задана топология подпространства . Любая открытая подгруппа H также замкнута в G , поскольку дополнением к H является открытое множество, заданное объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H . Если H — подгруппа группы G , то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H — нормальная подгруппа группы G замыкание H нормально в G. ,

Частные и нормальные подгруппы

Если H — подгруппа группы G , множество левых классов G / H с фактор-топологией называется однородным пространством для G. смежных Карта коэффициентов $q:G\to G/H$ всегда открыт . Например, для натурального n сфера S числа ^н является однородным пространством для группы вращений SO( n +1) в $\mathbb {R}$^{п +1} , с С ^н = ТАК( п +1)/ТАК( п ) . Однородное пространство G / H хаусдорфово тогда и только тогда, когда замкнуто в G. H Отчасти по этой причине при изучении топологических групп естественно сосредоточиться на замкнутых подгруппах.

Если H — нормальная подгруппа группы G , то факторгруппа G / H становится топологической группой, если ей задана фактортопология. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда H замкнуто в G . Например, факторгруппа $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ изоморфна группе окружностей S ¹ .

В любой топологической группе единичный компонент (т. е. компонент связности , содержащий единичный элемент) представляет собой замкнутую нормальную подгруппу. Если C — единичный компонент, а a — любая точка G , то левый смежный класс aC — это компонент G , содержащий a . Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) C в G равна совокупности всех компонентов G . Отсюда следует, что факторгруппа G / C несвязна вполне .

Закрытость и компактность

В любой коммутативной топологической группе произведение (при условии, что группа мультипликативна) KC компакта K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. Более того, для любых подмножеств R и S группы G ) (cl R (cl S ) ⊆ cl ( RS ) .

Если H — подгруппа коммутативной топологической группы G и если N — окрестность в G единичного элемента такая, что H ∩ cl N замкнуто, то H замкнуто. Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой коммутативной топологической группы замкнута.

Теоремы об изоморфизме

Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны в топологической ситуации. Это связано с тем, что биективный гомоморфизм не обязательно должен быть изоморфизмом топологических групп.

Например, собственная версия первой теоремы об изоморфизме неверна для топологических групп: если $f:G\to H$ является морфизмом топологических групп (т.е. непрерывным гомоморфизмом), не обязательно верно, что индуцированный гомоморфизм ${\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)$ является изоморфизмом топологических групп; это будет биективный непрерывный гомоморфизм, но он не обязательно будет гомеоморфизмом. Другими словами, оно не обязательно будет допускать инверсию в категории топологических групп.

Существует версия первой теоремы об изоморфизме топологических групп, которую можно сформулировать следующим образом: если $f:G\to H$ является непрерывным гомоморфизмом, то индуцированный гомоморфизм из G /ker( f ) в im( f ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f открыто на свой образ.

Однако третья теорема об изоморфизме более или менее дословно верна для топологических групп, в чем легко убедиться.

Пятая проблема Гильберта

Есть несколько сильных результатов о связи между топологическими группами и группами Ли. Во-первых, каждый непрерывный гомоморфизм групп Ли $G\to H$ гладкий. Отсюда следует, что топологическая группа имеет уникальную структуру группы Ли, если таковая существует. Кроме того, теорема Картана утверждает, что каждая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли, в частности, гладким подмногообразием .

Пятая проблема Гильберта заключалась в том, должна ли топологическая группа G , являющаяся топологическим многообразием, быть группой Ли. Другими словами, имеет ли G структуру гладкого многообразия, делающую групповые операции гладкими? Как показали Эндрю Глисон , Дин Монтгомери и Лео Зиппин , ответ на эту проблему — да. Фактически G имеет реальную аналитическую структуру. Используя гладкую структуру, можно определить алгебру Ли группы G , объект линейной алгебры , который определяет связную группу G с точностью до накрытия пространств . В результате решение пятой проблемы Гильберта сводит классификацию топологических групп, являющихся топологическими многообразиями, к алгебраической проблеме, хотя и в целом сложной.

Теорема также имеет последствия для более широких классов топологических групп. Во-первых, каждая компактная группа (под которой понимается хаусдорфова группа) является обратным пределом компактных групп Ли. (Одним важным случаем является обратный предел конечных групп, называемый проконечной группой . Например, группа $\mathbb {Z}$_p из p -адических целых чисел и абсолютная группа Галуа поля являются проконечными группами.) Более того, каждая связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли. С другой стороны, вполне несвязная локально компактная группа всегда содержит компактную открытую подгруппу, которая обязательно является проконечной группой. (Например, локально компактная группа GL( n , $\mathbb {Q}$_p ) содержит компактную открытую подгруппу GL( n , $\mathbb {Z}$_p ) , который является обратным пределом конечных групп GL( n , $\mathbb {Z}$/ п ^р ), поскольку r ' стремится к бесконечности.)

Представления компактных или локально компактных групп.

Действием , топологической группы G топологическом пространстве X называется такое групповое действие G на на X что соответствующая функция G × X → X непрерывна. Аналогично, представление топологической группы G в вещественном или комплексном топологическом векторном пространстве V — это непрерывное действие группы G на V такое, что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv из V в себя линейно.

Групповые действия и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит с конечными группами . Например, каждое конечномерное (вещественное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений . Бесконечномерное унитарное представление компактной группы можно разложить как прямую сумму неприводимых представлений в гильбертовом пространстве, которые все конечномерны; это часть теоремы Питера-Вейля . Например, теория рядов Фурье описывает разложение унитарного представления группы окружностей S ¹ на комплексном гильбертовом пространстве L ² ( С ¹ ) . Неприводимые представления S ¹ все одномерны и имеют вид z ↦ z ^н для целых чисел n (где S ¹ рассматривается как подгруппа мультипликативной группы $\mathbb {C}$*). Каждое из этих представлений встречается с кратностью 1 в L ² ( С ¹ ) .

Классифицированы неприводимые представления всех компактных связных групп Ли. В частности, характер каждого неприводимого представления задается формулой характера Вейля .

В более общем смысле, локально компактные группы имеют богатую теорию гармонического анализа , поскольку они допускают естественное понятие меры и интеграла , заданное мерой Хаара . Каждое унитарное представление локально компактной группы можно описать как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по существу уникально, если G имеет тип I , который включает наиболее важные примеры, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли . ) Базовый пример — преобразование Фурье , которое разлагает действие аддитивной группы $\mathbb {R}$ в гильбертовом пространстве L ² ( $\mathbb {R}$) как прямой интеграл от неприводимых унитарных представлений $\mathbb {R}$. Неприводимые унитарные представления $\mathbb {R}$ все одномерны и имеют вид x ↦ e ^{2π iax} для a ∈ $\mathbb {R}$.

Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Основная цель теории представлений, связанная с Ленглендса классификацией допустимых представлений , состоит в том, чтобы найти унитарное двойственное (пространство всех неприводимых унитарных представлений) для полупростых групп Ли. Унитарный двойственный элемент известен во многих случаях, например, SL(2, $\mathbb {R}$) , но не все.

Для локально компактной абелевой группы G каждое неприводимое унитарное представление имеет размерность 1. В этом случае унитарный двойственный ${\hat {G}}$ — это группа, фактически еще одна локально компактная абелева группа. Двойственность Понтрягина утверждает, что для локально компактной абелевой группы G двойственная группа ${\hat {G}}$ является исходной группой G . Например, двойственная группа целых чисел $\mathbb {Z}$ группа кругов S ¹ , в то время как группа $\mathbb {R}$ действительных чисел изоморфно своему двойственному.

Каждая локально компактная группа G имеет хороший запас неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G ( теорема Гельфанда–Райкова ). Напротив, теория представлений для топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих пор разрабатывалась только в особых ситуациях, и, возможно, неразумно ожидать появления общей теории. Например, существует множество абелевых групп Банаха–Ли , для которых каждое представление в гильбертовом пространстве тривиально.

Гомотопическая теория топологических групп

Топологические группы являются особенными среди всех топологических пространств, даже с точки зрения их гомотопического типа . Один из основных моментов заключается в том, что топологическая группа G определяет топологическое пространство с линейной связностью, классифицирующее пространство BG (которое при мягких гипотезах классифицирует основные G -расслоения над топологическими пространствами). Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству петель группы BG ; это влечет за собой различные ограничения на гомотопический тип G . Некоторые из этих ограничений справедливы и в более широком контексте H-пространств .

Например, фундаментальная группа топологической группы G абелева. (В более общем смысле, произведение Уайтхеда на гомотопических группах группы G равно нулю.) Также для любого поля k H кольцо когомологий * ( G , k ) имеет структуру алгебры Хопфа . Ввиду структурных теорем Хайнца Хопфа и Армана Бореля об алгебрах Хопфа это накладывает сильные ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G — линейно-связная топологическая группа, у которой кольцо рациональных когомологий H *( G , $\mathbb {Q}$) конечномерна в каждой степени, то это кольцо должно быть свободной градуированной коммутативной алгеброй над $\mathbb {Q}$, т. е. тензорное произведение кольца многочленов от генераторов четной степени на внешнюю алгебру от генераторов нечетной степени.

В частности, для связной группы Ли G кольцо рациональных когомологий G является внешней алгеброй на образующих нечетной степени. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K , единственную с точностью до сопряжения, и включение K в G является гомотопической эквивалентностью . Таким образом, описание гомотопических типов групп Ли сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальная компактная подгруппа группы SL(2, $\mathbb {R}$) — группа окружностей SO(2) и однородное пространство SL(2, $\mathbb {R}$)/SO(2) можно отождествить с гиперболической плоскостью . Поскольку гиперболическая плоскость стягиваема , включение группы окружностей в SL(2, $\mathbb {R}$) является гомотопической эквивалентностью.

Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом , Эли Картаном и Германом Вейлем . В результате получается практически полное описание возможных гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, группа SU(2) ( диффеоморфна 3-сфере S ³ ), или ее факторгруппа SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (диффеоморфная RP ³ ).

Полная топологическая группа

См. Также: Полное однородное пространство.

Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую ​​как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .

Каноническая однородность на коммутативной топологической группе

Основная статья: Единое пространство

В этой статье впредь предполагается, что любая топологическая группа, которую мы рассматриваем, является аддитивной коммутативной топологической группой с единичным элементом. $0.$

Диагональ ​ ​ $X$ это набор $$\Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}$$и для любого $N\subseteq X$ содержащий $0,$ каноническое окружение или канонические окрестности вокруг $N$ это набор $$\Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})$$

Для топологической группы $(X,\tau ),$ каноническое единообразие на $X$ — это однородная структура, индуцированная множеством всех канонических окружений $\Delta (N)$ как $N$ распространяется по всем окрестностям $0$ в $X.$

То есть это закрытие вверх следующего префильтра на $X\times X,$$$\left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}$$где этот префильтр образует так называемую базу антуража канонического единообразия.

Для коммутативной аддитивной группы $X,$ фундаментальная система окружения ${\mathcal {B}}$ называется трансляционно-инвариантной однородностью, если для любого $B\in {\mathcal {B}},$ $(x,y)\in B$ тогда и только тогда, когда $(x+z,y+z)\in B$ для всех $x,y,z\in X.$ Однородность ${\mathcal {B}}$ называется трансляционно-инвариантным, если он имеет трансляционно-инвариантную базу окружений.

• Каноническая однородность любой коммутативной топологической группы трансляционно-инвариантна.
• Такая же каноническая однородность будет получена при использовании базиса окрестности начала координат, а не фильтра всех окрестностей начала координат.
• Каждое окружение $\Delta _{X}(N)$ содержит диагональ $\Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}$ потому что $0\in N.$
• Если $N$ симметричен . (т $-N=N$) затем $\Delta _{X}(N)$ симметричен (это означает, что $\Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)$) и $\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).$
• Топология, индуцированная $X$ по канонической однородности совпадает с топологией, которую $X$ началось с (то есть это $\tau$).

Предварительные фильтры и сетки Коши

Основные статьи: Фильтры в топологии и сети (математика)

В общей теории равномерных пространств есть свои определения «предфильтра Коши» и «сети Коши». Для канонической однородности на $X,$ это сводится к определению, описанному ниже.

Предполагать $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X$ и $y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}$ это сеть в $Y.$ Делать $I\times J$ в направленный набор, объявив $(i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)$ тогда и только тогда, когда $i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.$ Затем $x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ обозначает чистую продукцию . Если $X=Y$ затем изображение этой сети под картой сложения $X\times X\to X$ обозначает сумму этих двух сетей: $$x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$$и аналогично их разность определяется как изображение сети продуктов под картой вычитания: $$x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.$$

сеть ​ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в аддитивной топологической группе $X$ называется сетью Коши, если $$\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X$$или, что то же самое, если для каждой окрестности $N$ из $0$ в $X,$ существует какой-то $i_{0}\in I$ такой, что $x_{i}-x_{j}\in N$ для всех индексов $i,j\geq i_{0}.$

Последовательность Коши — это сеть Коши, которая является последовательностью.

Если $B$ является подмножеством аддитивной группы $X$ и $N$ представляет собой набор, содержащий $0,$ затем $B$ Говорят, что это $N$-маленький набор или небольшой заказ $N$ если $B-B\subseteq N.$

Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ на аддитивной топологической группе $X$ называется префильтром Коши, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ в $X,$ где ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}$ является предфильтром.
2. $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ в $X,$ где $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}$ является префильтром, эквивалентным ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.$
3. Для каждого района $N$ из $0$ в $X,$ ${\mathcal {B}}$ содержит некоторые $N$-малое множество (т. е. существует некоторое $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B-B\subseteq N$).

и если $X$ также коммутативен:

4. Для каждого района $N$ из $0$ в $X,$ существует какой-то $B\in {\mathcal {B}}$ и некоторые $x\in X$ такой, что $B\subseteq x+N.$

• Достаточно проверить любое из приведенных выше условий для любого заданного окрестности базиса $0$ в $X.$

Предполагать ${\mathcal {B}}$ является предварительным фильтром коммутативной топологической группы $X$ и $x\in X.$ Затем ${\mathcal {B}}\to x$ в $X$ тогда и только тогда, когда $x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {B}}$ является Коши.

Полная коммутативная топологическая группа

Основная статья: Полное однородное пространство

Напомним, что для любого $S\subseteq X,$ предварительный фильтр ${\mathcal {C}}$ на $S$ обязательно является подмножеством $\wp (S)$; то есть, ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).$

Подмножество $S$ топологической группы $X$ называется полным подмножеством , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Любой предварительный фильтр Коши ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)$ на $S$ сходится хотя бы к одной точке $S.$
   • Если $X$ является Хаусдорфом, то каждый предварительный фильтр включен $S$ сходится не более чем к одной точке $X.$ Но если $X$ не является Хаусдорфом, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам $X.$ То же самое справедливо и для сетей.
2. Каждая сеть Коши в $S$ сходится хотя бы к одной точке $S$;
3. Каждый фильтр Коши ${\mathcal {C}}$ на $S$ сходится хотя бы к одной точке $S.$
4. $S$ является полным равномерным пространством (в соответствии с определением топологии множества точек « полное равномерное пространство »), когда $S$ наделен однородностью, наведенной на него канонической однородностью $X$;

Подмножество $S$ называется секвенциально полным подмножеством, если каждая последовательность Коши из $S$ (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр/предварительный фильтр Коши на $S$) сходится хотя бы к одной точке $S.$

• Важно отметить, что конвергенция за пределами $S$ разрешено : если $X$ не является Хаусдорфом, и если каждый предварительный фильтр Коши на $S$ сходится к некоторой точке $S,$ затем $S$ будет полным, даже если некоторые или все предварительные фильтры Коши включены. $S$ также сходятся к точкам в дополнении $X\setminus S.$ Короче говоря, нет никаких требований, чтобы эти предварительные фильтры Коши были включены. $S$ сходятся только к точкам $S.$ То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в $S.$
  • Как следствие, если коммутативная топологическая группа $X$ является не Хаусдорфом , то каждое подмножество замыкания $\{0\},$ сказать $S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},$ полно (поскольку оно, очевидно, компактно и всякий компакт обязательно полон). Так, в частности, если $S\neq \varnothing$ (например, если $S$ a - одноэлементный набор, такой как $S=\{0\}$) затем $S$ будет полной, даже если каждая сеть Коши в $S$ (и каждый префильтр Коши на $S$), сходится к каждой точке $\operatorname {cl} \{0\}$ (включите эти пункты в $\operatorname {cl} \{0\}$ которых нет в $S$).
  • Этот пример также показывает, что полные подмножества (даже компактные подмножества) нехаусдорфова пространства могут оказаться незамкнутыми (например, если $\varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}$ затем $S$ закрыто тогда и только тогда, когда $S=\operatorname {cl} \{0\}$).

Коммутативная топологическая группа $X$ называется полной группой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $X$ является полным как подмножество самого себя.
2. Каждая сеть Коши в $X$ сходится хотя бы к одной точке $X.$
3. Существует окрестности $0$ в $X$ это тоже полное подмножество $X.$
   • Отсюда следует, что каждая локально компактная коммутативная топологическая группа полна.
4. Будучи наделенным каноническим единообразием, $X$ становится полным однородным пространством .
   • В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством, Коши если каждый фильтр в $X$ сходится в $(X,\tau )$ в какой-то момент $X.$

Топологическая группа называется секвенциально полной , если она является секвенциально полным подмножеством самой себя.

Базис соседства : предположим $C$ является пополнением коммутативной топологической группы $X$ с $X\subseteq C$ и это ${\mathcal {N}}$ является базой окрестности начала координат в $X.$ Тогда семейство множеств $$\left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}$$является базисом окрестности в начале координат в $C.$

Равномерная непрерывность

Позволять $X$ и $Y$ быть топологическими группами, $D\subseteq X,$ и $f:D\to Y$ быть картой. Затем $f:D\to Y$ если равномерно непрерывен, для каждой окрестности $U$ происхождения в $X,$ существует район $V$ происхождения в $Y$ такой, что для всех $x,y\in D,$ если $y-x\in U$ затем $f(y)-f(x)\in V.$

Обобщения

Ослабляя условия непрерывности, можно получить различные обобщения топологических групп:

• Полутопологическая группа — это группа G с такой топологией, что для каждого c ∈ G две функции G → G, определенные равенствами x ↦ xc и x ↦ cx , непрерывны.
• Квазитопологическая группа — это полутопологическая группа, в которой функция, отображающая элементы в обратные, также непрерывна.
• Паратопологическая группа — это группа с такой топологией, что групповая операция непрерывна.

См. также

• Алгебраическая группа - алгебраическое многообразие с групповой структурой.
• Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Группа Ли - группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа - топологическая группа, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Проконечная группа - Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа - топологическая группа, группа которой является абелевой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо – кольцо, в котором операции кольца непрерывны. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Архангельский, Александр ; Ткаченко, Михаил (2008). Топологические группы и родственные структуры . Всемирная научная . ISBN  978-90-78677-06-2 . МР   2433295 .
• Армстронг, Марк А. (1997). Основная топология (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90839-0 . МР   0705632 .
• Банащик, Войцех (1983), «О существовании экзотических групп Банаха – Ли» , Mathematische Annalen , 264 (4): 485–493, doi : 10.1007/BF01456956 , MR   0716262 , S2CID   119755117
• Бурбаки, Николя (1998), Общая топология. Главы 1–4 , Springer-Verlag , ISBN  3-540-64241-2 , МР   1726779
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press , ISBN  0-8493-8490-7
• Бредон, Глен Э. (1997). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97926-3 . МР   1700700 .
• Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-79540-0 , МР   1867354
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ , том. 1 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0387941905 , МР   0551496
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , том. 2, Спрингер-Верлаг , ISBN  978-0387048321 , МР   0262773
• Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , ISBN  0-226-50051-9 , МР   0396826
• Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1955), Группы топологических преобразований , Нью-Йорк, Лондон: Interscience Publishers , MR   0073104
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Понтрягин, Леон (1946). Топологические группы . Издательство Принстонского университета .
• Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . пер. с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  2-88124-133-6 . МР   0201557 .
• Портеус, Ян Р. (1981). Топологическая геометрия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-23160-4 . МР   0606198 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .