Топологическая группа
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике топологические группы представляют собой комбинацию групп и топологических пространств , т.е. они одновременно являются группами и топологическими пространствами, причем условие непрерывности групповых операций связывает эти две структуры вместе и, следовательно, они не являются независимыми друг от друга. [1]
Топологические группы широко изучались в период с 1925 по 1940 год. Хаар и Вейль (соответственно в 1933 и 1940 годах) показали, что интегралы и ряды Фурье являются частными случаями очень широкого класса топологических групп. [2]
Топологические группы, наряду с непрерывными групповыми действиями , используются для изучения непрерывных симметрий , имеющих множество приложений, например, в физике . В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство представляет собой аддитивную топологическую группу с дополнительным свойством непрерывности скалярного умножения; следовательно, многие результаты теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.
Формальное определение
[ редактировать ]Топологическая группа — G это топологическое пространство , которое также является группой, такой что групповая операция (в данном случае произведение):
- ⋅ : г × г → г , ( Икс , у ) ↦ ху
и карта инверсии:
- −1 : G → G , Икс ↦ Икс −1
являются непрерывными . [примечание 1] Здесь G × G рассматривается как топологическое пространство с топологией произведения . Говорят, что такая топология совместима с групповыми операциями и называется групповой топологией .
- Проверка непрерывности
Отображение произведения является непрерывным тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ G и любой окрестности W точки xy в G существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ V ⊆ W , где U ⋅ V : знак равно { ты ⋅ v : ты ∈ U , v ∈ V }. Отображение инверсии непрерывно тогда и только тогда, когда для любого x ∈ G и любой окрестности V точки x −1 в G существует окрестность U точки x в G такая, что U −1 ⊆ V , где U −1 := { ты −1 : ты € U }.
Чтобы показать, что топология совместима с групповыми операциями, достаточно проверить, что отображение
- грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ ху −1
является непрерывным. Явно это означает, что для любых x , y ∈ G и любой окрестности W в G точки xy −1 , существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ ( V −1 ) ⊆ W .
- Аддитивные обозначения
В этом определении использовались обозначения мультипликативных групп; эквивалентом для аддитивных групп было бы то, что следующие две операции непрерывны:
- + : грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ Икс + y
- - : грамм → грамм , Икс ↦ - Икс .
- Хаусдорфность
Хотя это и не входит в это определение, многие авторы [3] требуют, чтобы топология на G была хаусдорфовой . Одна из причин этого заключается в том, что любую топологическую группу можно канонически связать с топологической группой Хаусдорфа, взяв соответствующий канонический фактор; однако для этого часто все еще требуется работа с исходной нехаусдорфовой топологической группой.Другие причины и некоторые эквивалентные условия обсуждаются ниже.
В этой статье не предполагается, что топологические группы обязательно хаусдорфовы.
- Категория
На языке теории категорий топологические группы могут быть кратко определены как групповые объекты в категории топологических пространств , точно так же, как обычные группы являются групповыми объектами в категории множеств . Обратите внимание, что аксиомы даются в терминах отображений (двоичное произведение, унарное обратное и нулевое тождество), следовательно, являются категориальными определениями.
Гомоморфизмы
[ редактировать ]Гомоморфизм топологических групп непрерывный групповой гомоморфизм G → H. означает Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию . Групповой гомоморфизм топологических групп непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке. [4]
Изоморфизм групповой топологических групп — это изоморфизм , который также является гомеоморфизмом лежащих в его основе топологических пространств. Это сильнее, чем просто требование непрерывного группового изоморфизма — обратное также должно быть непрерывным. Существуют примеры топологических групп, которые изоморфны обычным группам, но не топологическим группам. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать ее с дискретной топологией. Базовые группы одни и те же, но в качестве топологических групп не существует изоморфизма.
Примеры
[ редактировать ]Любую группу можно тривиально превратить в топологическую группу, рассматривая ее с дискретной топологией ; такие группы называются дискретными группами . В этом смысле теория топологических групп включает в себя теорию обычных групп. Недискретная топология (т.е. тривиальная топология) также превращает каждую группу в топологическую группу.
Реальные цифры , с обычной топологией образуют при сложении топологическую группу. Евклидово n -пространство н также является топологической группой при сложении, и, в более общем смысле, каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Некоторыми другими примерами абелевых топологических групп являются группа кругов S. 1 , или тор ( S 1 ) н для любого натурального числа n .
Классические группы являются важными примерами неабелевых топологических групп. Например, общая линейная группа GL( n , ) всех обратимых размером n x n матриц с вещественными элементами можно рассматривать как топологическую группу с топологией, определяемой просмотром GL( n , ) как подпространство евклидова пространства n × n . Другая классическая группа — это ортогональная группа O( n ) , группа всех линейных отображений из н самому себе, сохраняющие длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. Большую часть евклидовой геометрии можно рассматривать как изучение структуры ортогональной группы или близкородственной группы O ( n ) ⋉ н изометрий н .
Все упомянутые до сих пор группы являются группами Ли , а это означает, что они являются гладкими многообразиями , так что групповые операции являются гладкими , а не просто непрерывными. Группы Ли — наиболее понятные топологические группы; многие вопросы о группах Ли можно преобразовать в чисто алгебраические вопросы об алгебрах Ли и затем решить.
Примером топологической группы, не являющейся группой Ли, является аддитивная группа. рациональных чисел с топологией, унаследованной от . Это счетное пространство и не имеет дискретной топологии. Важным примером теории чисел является группа p из p -адических целых чисел для простого числа p , что означает обратный предел конечных групп. / п н когда n стремится к бесконечности. Группа p хорошо себя ведет, поскольку она компактна (фактически, гомеоморфна канторову множеству ), но отличается от (реальных) групп Ли тем, что она полностью несвязна . В более общем смысле существует теория p -адических групп Ли , включая компактные группы, такие как GL( n , p ), а также локально компактные группы, такие как GL( n , р ) , где p — локально компактное поле чисел p -адических .
Группа p — проконечная группа ; она изоморфна подгруппе произведения таким образом, что его топология индуцируется топологией произведения, где конечные группы задана дискретная топология. Другой большой класс проконечных групп, важный в теории чисел, — это абсолютные группы Галуа .
Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли ; эту фразу лучше всего понимать неформально, включив в нее несколько разных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство , такое как банахово или гильбертово пространство , является абелевой топологической группой при сложении. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые изучались с разной степенью успеха, — это группы петель , группы Каца–Муди , группы диффеоморфизмов , группы гомеоморфизмов и калибровочные группы .
В каждой банаховой алгебре с мультипликативной единицей множество обратимых элементов образует топологическую группу при умножении. , например, группа обратимых ограниченных операторов Так возникает в гильбертовом пространстве.
Характеристики
[ редактировать ]Трансляционная инвариантность
[ редактировать ]Топология каждой топологической группы инвариант перевода , что по определению означает, что если для любого Умножение слева или справа на этот элемент дает гомеоморфизм Следовательно, для любого и подмножество открыт ) (соответственно закрыт в тогда и только тогда, когда это верно для его левого перевода и правильный перевод Если является базисом окрестности единичного элемента в топологической группе. тогда для всех является базисом окрестности в [4] В частности, любая групповая топология топологической группы полностью определяется любым базисом окрестности единичного элемента. Если это любое подмножество и является открытым подмножеством затем является открытым подмножеством [4]
Симметричные кварталы
[ редактировать ]Операция инверсии в топологической группе является гомеоморфизмом из самому себе.
Подмножество называется симметричным, если где Замыкание любого симметрического множества в коммутативной топологической группе симметрично. [4] Если S — любое подмножество коммутативной топологической группы G , то следующие множества также симметричны: S −1 ∩ С , С −1 ∪ S и S −1 С. [4]
Для любой окрестности N в коммутативной топологической группе G единичного элемента существует симметричная окрестность M единичного элемента такая, что M −1 M ⊆ N , где заметим, что M −1 M обязательно является симметричной окрестностью единичного элемента. [4] Таким образом, каждая топологическая группа имеет базис окрестности единичного элемента, состоящий из симметричных множеств.
Если G — локально компактная коммутативная группа, то для любой окрестности N в G единичного элемента существует симметричная относительно компактная окрестность M единичного элемента такая, что cl M ⊆ N (где cl M также симметричен). [4]
Единое пространство
[ редактировать ]Каждую топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство двумя способами; левая однородность превращает все левые умножения в равномерно непрерывные отображения, а правая однородность превращает все правые умножения в равномерно непрерывные отображения. [5] Если G не абелева, то эти двое не обязательно должны совпадать. Равномерные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость на топологических группах.
Свойства разделения
[ редактировать ]Если U — открытое подмножество коммутативной топологической группы G и U содержит компакт K , то существует окрестность N единичного элемента такая, KN ⊆ U. что [4]
Как однородное пространство, каждая коммутативная топологическая группа вполне регулярна . Следовательно, для мультипликативной топологической группы G с единицей 1 следующие условия эквивалентны: [4]
- G — T0 - пространство ( Колмогоровское );
- G — T 2 -пространство ( хаусдорфово );
- G представляет собой Т 3 1 ⁄ 2 ( Тихонов );
- { 1 } замкнуто в G ;
- { 1 } := N , где 𝒩 — базис окрестности единичного элемента в G ;
- для любого такой, что существует окрестность U в G единичного элемента такая, что
Подгруппа коммутативной топологической группы дискретна тогда и только тогда, когда она имеет изолированную точку . [4]
Если G не хаусдорфова группа, то можно получить хаусдорфову группу, перейдя к факторгруппе G / K , где K — замыкание тождества. [6] Это эквивалентно взятию Колмогорова G фактора .
Метрисабельность
[ редактировать ]Пусть G — топологическая группа. Как и в любом топологическом пространстве, мы говорим, что тогда и G метризуемо только тогда, когда существует метрика d на G , которая индуцирует ту же топологию на G . . Метрика d на G называется
- левоинвариантный (соответственно правоинвариантный ) тогда и только тогда, когда (соответственно ) для всех (эквивалентно, является левоинвариантным на тот случай, если карта представляет собой изометрию от себе для каждого ).
- правильным тогда и только тогда, когда все открытые шары для , являются предкомпактными.
Теорема Биркгофа-Какутани (названная в честь математиков Гаррета Биркгофа и Шизуо Какутани ) утверждает, что следующие три условия топологической группы G эквивалентны: [7]
- G ( Хаусдорф и) сначала счетен (эквивалентно: единичный элемент 1 замкнут в G и существует счетный базис окрестностей для 1 в G ).
- G метризуемо (как топологическое пространство).
- Существует левоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .
- Существует правоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .
Более того, следующие утверждения эквивалентны для любой топологической группы G :
- G — второе счетное локально компактное (хаусдорфово) пространство.
- G — польское локально компактное (хаусдорфово) пространство.
- G правильно метризуемо (как топологическое пространство).
- Существует левоинвариантная собственная метрика на G , которая индуцирует данную топологию на G .
Примечание. Как и в остальной части статьи, мы предполагаем здесь топологию Хаусдорфа.Последствия 4 3 2 1 справедливы в любом топологическом пространстве. В частности 3 2 верно, поскольку, в частности, любое собственно метризуемое пространство представляет собой счетное объединение компактных метризуемых и, следовательно, сепарабельных ( ср. свойств компактных метрических пространств ) подмножеств.Нетривиальная импликация 1 Число 4 было впервые доказано Раймондом Штрублом в 1974 году. [8] Альтернативный подход был предложен Уффе Хаагерупом и Агатой Пшибышевской в 2006 году. [9] идея которого заключается в следующем:Один опирается на построение левоинвариантной метрики: , как и в случае первых счетных пространств . В силу локальной компактности замкнутые шары достаточно малых радиусов компактны, и путем нормализации мы можем предположить, что это справедливо для радиуса 1. Замыкание открытого шара U радиуса 1 при умножении дает замкнуто-замкнутую подгруппу H группы G , на которой метрика правильно. Поскольку H открыта и G счетна по счету , подгруппа имеет не более счетного числа смежных классов. Теперь можно использовать эту последовательность смежных классов и метрику на H, чтобы построить правильную метрику на G .
Подгруппы
[ редактировать ]Каждая подгруппа топологической группы сама по себе является топологической группой, если ей задана топология подпространства . Любая открытая подгруппа H также замкнута в G , поскольку дополнением к H является открытое множество, заданное объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H . Если H — подгруппа группы G , то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H — нормальная подгруппа группы G замыкание H нормально в G. ,
Частные и нормальные подгруппы
[ редактировать ]Если H — подгруппа группы G , множество левых классов G / H с фактор-топологией называется однородным пространством для G. смежных Карта коэффициентов всегда открыт . Например, для натурального n сфера S числа н является однородным пространством для группы вращений SO( n +1) в п +1 , с С н = ТАК( п +1)/ТАК( п ) . Однородное пространство G / H хаусдорфово тогда и только тогда, когда замкнуто в G. H [10] Отчасти по этой причине при изучении топологических групп естественно сосредоточиться на замкнутых подгруппах.
Если H — нормальная подгруппа группы G , то факторгруппа G / H становится топологической группой, если ей задана фактортопология. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда H замкнуто в G . Например, факторгруппа изоморфна группе окружностей S 1 .
В любой топологической группе единичный компонент (т. е. компонент связности , содержащий единичный элемент) представляет собой замкнутую нормальную подгруппу. Если C — единичный компонент, а a — любая точка G , то левый смежный класс aC — это компонент G , содержащий a . Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) C в G равна совокупности всех компонентов G . Отсюда следует, что факторгруппа G / C несвязна вполне . [11]
Закрытость и компактность
[ редактировать ]В любой коммутативной топологической группе произведение (при условии, что группа мультипликативна) KC компакта K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. [4] Более того, для любых подмножеств R и S группы G ) (cl R (cl S ) ⊆ cl ( RS ) . [4]
Если H — подгруппа коммутативной топологической группы G и N — такая окрестность в G, единичного элемента что H ∩ cl N замкнута, то H замкнута. [4] Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой коммутативной топологической группы замкнута. [4]
Теоремы об изоморфизме
[ редактировать ]Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны в топологической ситуации. Это связано с тем, что биективный гомоморфизм не обязательно должен быть изоморфизмом топологических групп.
Например, собственная версия первой теоремы об изоморфизме неверна для топологических групп: если является морфизмом топологических групп (т.е. непрерывным гомоморфизмом), не обязательно верно, что индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом топологических групп; это будет биективный непрерывный гомоморфизм, но он не обязательно будет гомеоморфизмом. Другими словами, оно не обязательно будет допускать инверсию в категории топологических групп.
Существует версия первой теоремы об изоморфизме топологических групп, которую можно сформулировать следующим образом: если является непрерывным гомоморфизмом, то индуцированный гомоморфизм из G /ker( f ) в im( f ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f открыто на свой образ. [12]
Однако третья теорема об изоморфизме более или менее дословно верна для топологических групп, в чем легко убедиться.
Пятая проблема Гильберта
[ редактировать ]Есть несколько сильных результатов о связи между топологическими группами и группами Ли. Во-первых, каждый непрерывный гомоморфизм групп Ли гладкий. Отсюда следует, что топологическая группа имеет уникальную структуру группы Ли, если таковая существует. Кроме того, теорема Картана утверждает, что каждая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли, в частности, гладким подмногообразием .
Пятая проблема Гильберта заключалась в том, должна ли топологическая группа G , являющаяся топологическим многообразием, быть группой Ли. Другими словами, имеет ли G структуру гладкого многообразия, делающую групповые операции гладкими? Как показали Эндрю Глисон , Дин Монтгомери и Лео Зиппин , ответ на эту проблему — да. [13] Фактически G имеет реальную аналитическую структуру. Используя гладкую структуру, можно определить алгебру Ли группы G , объект линейной алгебры , который определяет связную группу G с точностью до накрытия пространств . В результате решение пятой проблемы Гильберта сводит классификацию топологических групп, являющихся топологическими многообразиями, к алгебраической проблеме, хотя и в целом сложной.
Теорема также имеет последствия для более широких классов топологических групп. Во-первых, каждая компактная группа (под которой понимается хаусдорфова группа) является обратным пределом компактных групп Ли. (Одним важным случаем является обратный предел конечных групп, называемый проконечной группой . Например, группа p из p -адических целых чисел и абсолютная группа Галуа поля являются проконечными группами.) Более того, каждая связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли. [14] С другой стороны, вполне несвязная локально компактная группа всегда содержит компактную открытую подгруппу, которая обязательно является проконечной группой. [15] (Например, локально компактная группа GL( n , p ) содержит компактную открытую подгруппу GL( n , p ) , который является обратным пределом конечных групп GL( n , / п р ), поскольку r ' стремится к бесконечности.)
Представления компактных или локально компактных групп.
[ редактировать ]Действием → топологической группы G на топологическом пространстве X называется действие G , на X что соответствующая функция G × X такое групповое X непрерывна. Аналогично, представление топологической группы G в вещественном или комплексном топологическом векторном пространстве V — это непрерывное действие G на V такое, что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv из V в себя линейно.
Групповые действия и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит с конечными группами . Например, каждое конечномерное (вещественное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений . Бесконечномерное унитарное представление компактной группы можно разложить как прямую сумму неприводимых представлений в гильбертовом пространстве, которые все конечномерны; это часть теоремы Питера-Вейля . [16] Например, теория рядов Фурье описывает разложение унитарного представления группы окружностей S 1 на комплексном гильбертовом пространстве L 2 ( С 1 ) . Неприводимые представления S 1 все одномерны и имеют вид z ↦ z н для целых чисел n (где S 1 рассматривается как подгруппа мультипликативной группы *). Каждое из этих представлений встречается с кратностью 1 в L 2 ( С 1 ) .
Классифицированы неприводимые представления всех компактных связных групп Ли. В частности, характер каждого неприводимого представления задается формулой характера Вейля .
В более общем смысле, локально компактные группы имеют богатую теорию гармонического анализа , поскольку они допускают естественное понятие меры и интеграла , заданное мерой Хаара . Каждое унитарное представление локально компактной группы можно описать как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по существу уникально, если G имеет тип I , который включает наиболее важные примеры, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли . [17] ) Базовый пример — преобразование Фурье , которое разлагает действие аддитивной группы в гильбертовом пространстве L 2 ( ) как прямой интеграл от неприводимых унитарных представлений . Неприводимые унитарные представления все одномерны и имеют вид x ↦ e 2π iax для a ∈ .
Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Основная цель теории представлений, связанная с Ленглендса классификацией допустимых представлений , состоит в том, чтобы найти унитарное двойственное (пространство всех неприводимых унитарных представлений) для полупростых групп Ли. Унитарный двойственный элемент известен во многих случаях, например, SL(2, ) , но не все.
Для локально компактной абелевой группы G каждое неприводимое унитарное представление имеет размерность 1. В этом случае унитарный двойственный — это группа, фактически еще одна локально компактная абелева группа. Двойственность Понтрягина утверждает, что для локально компактной абелевой группы G двойственная группа является исходной группой G . Например, двойственная группа целых чисел группа кругов S 1 , в то время как группа действительных чисел изоморфно своему двойственному.
Каждая локально компактная группа G имеет хороший запас неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G ( теорема Гельфанда–Райкова ). Напротив, теория представлений для топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих пор разрабатывалась только в особых ситуациях, и, возможно, неразумно ожидать появления общей теории. Например, существует множество абелевых групп Банаха–Ли , для которых каждое представление в гильбертовом пространстве тривиально. [18]
Гомотопическая теория топологических групп
[ редактировать ]Топологические группы являются особенными среди всех топологических пространств, даже с точки зрения их гомотопического типа . Один из основных моментов заключается в том, что топологическая группа G определяет топологическое пространство с линейной связностью, классифицирующее пространство BG (которое при мягких гипотезах классифицирует основные G -расслоения над топологическими пространствами). Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству петель группы BG ; это влечет за собой различные ограничения на гомотопический тип G . [19] Некоторые из этих ограничений справедливы и в более широком контексте H-пространств .
Например, фундаментальная группа топологической группы G абелева. (В более общем смысле, произведение Уайтхеда на гомотопических группах группы G равно нулю.) Также для любого поля k H кольцо когомологий * ( G , k ) имеет структуру алгебры Хопфа . Ввиду структурных теорем Хайнца Хопфа и Армана Бореля об алгебрах Хопфа это накладывает сильные ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G — линейно-связная топологическая группа, у которой кольцо рациональных когомологий H *( G , ) конечномерна в каждой степени, то это кольцо должно быть свободной градуированной коммутативной алгеброй над , т. е. тензорное произведение кольца многочленов от генераторов четной степени на внешнюю алгебру от генераторов нечетной степени. [20]
В частности, для связной группы Ли G кольцо рациональных когомологий G является внешней алгеброй на образующих нечетной степени. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K , единственную с точностью до сопряжения, и включение K в G является гомотопической эквивалентностью . Таким образом, описание гомотопических типов групп Ли сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальная компактная подгруппа группы SL(2, ) — группа окружностей SO(2) и однородное пространство SL(2, )/SO(2) можно отождествить с гиперболической плоскостью . Поскольку гиперболическая плоскость стягиваема , включение группы окружностей в SL(2, ) является гомотопической эквивалентностью.
Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом , Эли Картаном и Германом Вейлем . В результате получается практически полное описание возможных гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, группа SU(2) ( диффеоморфна 3-сфере S 3 ), или ее факторгруппа SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (диффеоморфная RP 3 ).
Полная топологическая группа
[ редактировать ]Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .
Каноническая однородность на коммутативной топологической группе
[ редактировать ]В этой статье впредь предполагается, что любая топологическая группа, которую мы рассматриваем, является аддитивной коммутативной топологической группой с единичным элементом.
Диагональ это набор и для любого содержащий каноническое окружение или канонические окрестности вокруг это набор
Для топологической группы каноническое единообразие [21] на — это однородная структура, индуцированная множеством всех канонических окружений как распространяется по всем окрестностям в
То есть это закрытие вверх следующего префильтра на где этот префильтр образует так называемую базу антуража канонического единообразия.
Для коммутативной аддитивной группы фундаментальная система окружения называется трансляционно-инвариантной однородностью, если для любого тогда и только тогда, когда для всех Однородность называется трансляционно-инвариантным, если он имеет трансляционно-инвариантную базу окружений. [22]
- Каноническая однородность любой коммутативной топологической группы трансляционно-инвариантна.
- Такая же каноническая однородность будет получена при использовании базиса окрестности начала координат, а не фильтра всех окрестностей начала координат.
- Каждое окружение содержит диагональ потому что
- Если симметричен . (т ) затем симметричен (это означает, что ) и
- Топология, индуцированная по канонической однородности совпадает с топологией, которую началось с (то есть это ).
Предварительные фильтры и сетки Коши
[ редактировать ]В общей теории равномерных пространств есть свои определения «предфильтра Коши» и «сети Коши». Для канонической однородности на это сводится к определению, описанному ниже.
Предполагать это сеть в и это сеть в Делать в направленный набор, объявив тогда и только тогда, когда Затем [23] обозначает чистую продукцию . Если затем изображение этой сети под картой сложения обозначает сумму этих двух сетей: и аналогично их разность определяется как изображение сети продуктов под картой вычитания:
сеть в аддитивной топологической группе называется сетью Коши, если [24] или, что то же самое, если для каждой окрестности из в существует какой-то такой, что для всех индексов
Последовательность Коши — это сеть Коши, которая является последовательностью.
Если является подмножеством аддитивной группы и представляет собой набор, содержащий затем Говорят, что это -маленький набор или небольшой заказ если [25]
Предварительный фильтр на аддитивной топологической группе называется префильтром Коши, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- в где является предфильтром.
- в где является префильтром, эквивалентным
- Для каждого района из в содержит некоторые -малое множество (т. е. существует некоторое такой, что ). [25]
и если также коммутативен:
- Для каждого района из в существует какой-то и некоторые такой, что [25]
- Достаточно проверить любое из приведенных выше условий для любого заданного окрестности базиса в
Предполагать является предварительным фильтром коммутативной топологической группы и Затем в тогда и только тогда, когда и является Коши. [23]
Полная коммутативная топологическая группа
[ редактировать ]Напомним, что для любого предварительный фильтр на обязательно является подмножеством ; то есть,
Подмножество топологической группы называется полным подмножеством , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Любой предварительный фильтр Коши на сходится хотя бы к одной точке
- Если является Хаусдорфом, то каждый предварительный фильтр включен сходится не более чем к одной точке Но если не является Хаусдорфом, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам То же самое справедливо и для сетей.
- Каждая сеть Коши в сходится хотя бы к одной точке ;
- Каждый фильтр Коши на сходится хотя бы к одной точке
- является полным равномерным пространством (в соответствии с определением топологии множества точек « полное равномерное пространство »), когда наделен однородностью, наведенной на него канонической однородностью ;
Подмножество называется секвенциально полным подмножеством, если каждая последовательность Коши из (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр/предварительный фильтр Коши на ) сходится хотя бы к одной точке
- Важно отметить, что конвергенция за пределами разрешено : если не является Хаусдорфом, и если каждый предварительный фильтр Коши на сходится к некоторой точке затем будет полным, даже если некоторые или все предварительные фильтры Коши включены. также сходятся к точкам в дополнении Короче говоря, нет никаких требований, чтобы эти предварительные фильтры Коши были включены. сходятся только к точкам То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в
- Как следствие, если коммутативная топологическая группа является не Хаусдорфом , то каждое подмножество замыкания сказать полно (поскольку оно, очевидно, компактно и всякий компакт обязательно полон). Так, в частности, если (например, если a - одноэлементный набор, такой как ) затем будет полной, даже если каждая сеть Коши в (и каждый префильтр Коши на ), сходится к каждой точке (включите эти пункты в которых нет в ).
- Этот пример также показывает, что полные подмножества (даже компактные подмножества) нехаусдорфова пространства могут оказаться незамкнутыми (например, если затем закрыто тогда и только тогда, когда ).
Коммутативная топологическая группа называется полной группой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- является полным как подмножество самого себя.
- Каждая сеть Коши в сходится хотя бы к одной точке
- Существует окрестности в это тоже полное подмножество [25]
- Отсюда следует, что каждая локально компактная коммутативная топологическая группа полна.
- Будучи наделенным каноническим единообразием, становится полным однородным пространством .
- В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством, Коши если каждый фильтр в сходится в в какой-то момент
Топологическая группа называется секвенциально полной , если она является секвенциально полным подмножеством самой себя.
Базис соседства : предположим является пополнением коммутативной топологической группы с и это является базой окрестности начала координат в Тогда семейство множеств является базисом окрестности в начале координат в [23]
Равномерная непрерывность
Позволять и быть топологическими группами, и быть картой. Затем если равномерно непрерывен, для каждой окрестности происхождения в существует район происхождения в такой, что для всех если затем
Обобщения
[ редактировать ]Ослабляя условия непрерывности, можно получить различные обобщения топологических групп: [26]
- Полутопологическая группа — это группа G с такой топологией, что для каждого c ∈ G две функции G → G, определенные равенствами x ↦ xc и x ↦ cx , непрерывны.
- Квазитопологическая группа — это полутопологическая группа, в которой функция, отображающая элементы в обратные, также непрерывна.
- Паратопологическая группа — это группа с такой топологией, что групповая операция непрерывна.
См. также
[ редактировать ]- Алгебраическая группа - алгебраическое многообразие с групповой структурой.
- Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики.
- Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
- Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
- Группа Ли - группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
- Локально компактное поле
- Локально компактная группа - топологическая группа, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара.
- Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам.
- Проконечная группа - Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
- Упорядоченное топологическое векторное пространство
- Топологическая абелева группа - топологическая группа, группа которой является абелевой.
- Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.
- Топологический модуль
- Топологическое кольцо - кольцо, в котором операции кольца непрерывны.
- Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой.
- Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
Примечания
[ редактировать ]- ^ т.е. Непрерывность означает, что для любого открытого множества U ⊆ G , f −1 ( U ) открыт в dom f f области .
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Понтрягин 1946 , с. 52.
- ^ Хьюитт и Росс 1979 , с. 1.
- ^ Армстронг 1997 , с. 73; Бредон 1997 , с. 51
- ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж к л м н Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 19–45.
- ^ Бурбаки 1998 , раздел III.3.
- ^ Бурбаки 1998 , раздел III.2.7.
- ^ Монтгомери и Зиппин 1955 , раздел 1.22.
- ^ Штрубле, Раймонд А. (1974). «Метрики в локально компактных группах» . Математическая композиция . 28 (3): 217–222.
- ^ Хаагеруп, Уффе; Пшибышевска, Агата (2006), Правильные метрики на локально компактных группах и правильные аффинные изометрические действия на , CiteSeerX 10.1.1.236.827
- ^ Бурбаки 1998 , раздел III.2.5.
- ^ Бурбаки 1998 , раздел I.11.5.
- ^ Бурбаки 1998 , раздел III.2.8.
- ^ Монтгомери и Зиппин 1955 , раздел 4.10.
- ^ Монтгомери и Зиппин 1955 , раздел 4.6.
- ^ Бурбаки 1998 , раздел III.4.6.
- ^ Хьюитт и Росс 1970 , Теорема 27.40.
- ^ Макки 1976 , раздел 2.4.
- ^ Банащик 1983 .
- ^ Хэтчер 2001 , Теорема 4.66.
- ^ Хэтчер 2001 , Теорема 3C.4.
- ^ Эдвардс 1995 , с. 61.
- ^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 12–19.
- ^ Jump up to: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 47–66.
- ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 48.
- ^ Jump up to: а б с д Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 48–51.
- ^ Arhangel'skii & Tkachenko 2008 , p. 12.
Ссылки
[ редактировать ]- Архангельский, Александр ; Ткаченко, Михаил (2008). Топологические группы и родственные структуры . Всемирная научная . ISBN 978-90-78677-06-2 . МР 2433295 .
- Армстронг, Марк А. (1997). Основная топология (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90839-0 . МР 0705632 .
- Банащик, Войцех (1983), «О существовании экзотических групп Банаха–Ли» , Mathematische Annalen , 264 (4): 485–493, doi : 10.1007/BF01456956 , MR 0716262 , S2CID 119755117
- Бурбаки, Николя (1998), Общая топология. Главы 1–4 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-64241-2 , МР 1726779
- Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press , ISBN 0-8493-8490-7
- Бредон, Глен Э. (1997). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97926-3 . МР 1700700 .
- Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-79540-0 , МР 1867354
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . ОСЛК 30593138 .
- Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ , том. 1 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0387941905 , МР 0551496
- Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , том. 2, Спрингер-Верлаг , ISBN 978-0387048321 , МР 0262773
- Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , ISBN 0-226-50051-9 , МР 0396826
- Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1955), Группы топологических преобразований , Нью-Йорк, Лондон: Interscience Publishers , MR 0073104
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
- Понтрягин, Леон (1946). Топологические группы . Издательство Принстонского университета .
- Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . пер. с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 2-88124-133-6 . МР 0201557 .
- Портеус, Ян Р. (1981). Топологическая геометрия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-23160-4 . МР 0606198 .
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .