Семитопологическая группа

В математике полутопологическая группа — это топологическое пространство с действием группы , непрерывное относительно каждой переменной, рассматриваемой отдельно. Это ослабление понятия топологической группы ; все топологические группы являются полутопологическими группами, но обратное неверно.

Формальное определение

Полутопологическая группа $G$ является топологическим пространством, которое также является группой такой, что

$g_{1}:G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy$

непрерывен относительно обоих $x$ и $y$. (Обратите внимание, что топологическая группа непрерывна по отношению к обеим переменным одновременно, и $g_{2}:G\to G:x\mapsto x^{-1}$ также должно быть непрерывным. Здесь $G\times G$ рассматривается как топологическое пространство с топологией произведения .)

Ясно, что каждая топологическая группа является полутопологической группой. Чтобы убедиться в том, что обратное неверно, рассмотрим действительную линию $(\mathbb {R} ,+)$ со своей обычной структурой как аддитивная абелева группа . Примените топологию нижнего предела к $\mathbb {R}$ с топологическим базисом семейство $\{[a,b):-\infty <a<b<\infty \}$. Затем $g_{1}$ является непрерывным, но $g_{2}$ не является непрерывным в 0: $[0,b)$ является открытой окрестностью 0, но не существует окрестностей 0, продолжающихся в $g_{2}^{-1}([0,b))$.

Известно, что любая локально компактная хаусдорфова полутопологическая группа является топологической группой. Известны и другие подобные результаты.

См. также

• Группа лжи
• Алгебраическая группа
• Компактная группа
• Топологическое кольцо