Бесконечное выражение

В математике бесконечным выражением называется выражение , в котором некоторые операторы принимают бесконечное количество аргументов или в котором вложенность операторов продолжается на бесконечную глубину. ^[1] Общая концепция бесконечного выражения может привести к плохо определенным или противоречивым конструкциям (подобно множеству всех множеств ), но существует несколько случаев четко определенных бесконечных выражений.

Примеры

Примеры четко определенных бесконечных выражений: ^[2]

бесконечные суммы , такие как

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \,

бесконечные продукты , такие как

\prod _{n=0}^{\infty }b_{n}=b_{0}\times b_{1}\times b_{2}\times \cdots

бесконечные вложенные радикалы , такие как

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}

бесконечные силовые башни , ^[3] такой как

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}

бесконечные цепные дроби , например

c_{0}+{\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{c_{n}}}=c_{0}+{\cfrac {1}{c_{1}+{\cfrac {1}{c_{2}+{\cfrac {1}{c_{3}+{\cfrac {1}{c_{4}+\ddots }}}}}}}},

где в левой части используется Гаусса Кеттенбруха обозначение . ^[4]

В бесконечной логике можно использовать бесконечные конъюнкции и бесконечные дизъюнкции .

Даже для четко определенных бесконечных выражений значение бесконечного выражения может быть неоднозначным или нечетко определенным; например, существует несколько правил суммирования для присвоения значений рядам, и один и тот же ряд может иметь разные значения в соответствии с разными правилами суммирования, если ряд не является абсолютно сходящимся .

См. также

Ссылки

^ Хельмер, Олаф (январь 1938 г.). «Синтаксис языка с бесконечными выражениями» . Бюллетень Американского математического общества (Реферат). 44 (1): 33–34. дои : 10.1090/S0002-9904-1938-06672-4 . ISSN 0002-9904 . OCLC 5797393 . .
^ Эйлер, Леонард (1 ноября 1988 г.). Введение в анализ бесконечного, книга I (в твердом переплете). Джей Ди Блэнтон (переводчик). Спрингер Верлаг. п. 303 . ISBN 978-0-387-96824-7 .
^ Мороний, Лука (2019). «Странные свойства бесконечной энергетической башни». arXiv : 1908.05559 [ math.HO ].
^ Уолл, Хьюберт Стэнли (28 марта 2000 г.). Аналитическая теория цепных дробей (в твердом переплете). Американское математическое общество. п. 14 . ISBN 978-0-8218-2106-0 .

[1] Хельмер, Олаф (январь 1938 г.). «Синтаксис языка с бесконечными выражениями» . Бюллетень Американского математического общества (Реферат). 44 (1): 33–34. дои : 10.1090/S0002-9904-1938-06672-4 . ISSN 0002-9904 . OCLC 5797393 . .

[2] Эйлер, Леонард (1 ноября 1988 г.). Введение в анализ бесконечного, книга I (в твердом переплете). Джей Ди Блэнтон (переводчик). Спрингер Верлаг. п. 303 . ISBN 978-0-387-96824-7 .

[3] Мороний, Лука (2019). «Странные свойства бесконечной энергетической башни». arXiv : 1908.05559 [ math.HO ].

[4] Уолл, Хьюберт Стэнли (28 марта 2000 г.). Аналитическая теория цепных дробей (в твердом переплете). Американское математическое общество. п. 14 . ISBN 978-0-8218-2106-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]