Серия «Генерал Дирихле»

В области математического анализа общий ряд Дирихле представляет собой бесконечный ряд , который принимает форму

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

где $a_{n}$, $s$ являются комплексными числами и $\{\lambda _{n}\}$ представляет собой строго возрастающую последовательность неотрицательных действительных чисел , стремящуюся к бесконечности.

Простое наблюдение показывает, что «обычный» ряд Дирихле

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

получается заменой $\lambda _{n}=\ln n$ в то время как степенной ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},$

получается, когда $\lambda _{n}=n$.

Основные теоремы

Если ряд Дирихле сходится при $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$, то оно сходится равномерно в области

$|\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},$

и сходится для любого $s=\sigma +ti$ где $\sigma >\sigma _{0}$.

Теперь существуют три возможности сходимости ряда Дирихле, т. е. он может сходиться для всех, ни для одного или для некоторых значений s . В последнем случае существует $\sigma _{c}$ такая, что ряд сходится при $\sigma >\sigma _{c}$ и расходится для $\sigma <\sigma _{c}$. По соглашению, $\sigma _{c}=\infty$ если ряд никуда не сходится и $\sigma _{c}=-\infty$ если ряд сходится всюду на комплексной плоскости .

Абсцисса конвергенции

Абсцису сходимости ряда Дирихле можно определить как $\sigma _{c}$ выше. Другое эквивалентное определение:

$\sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.$

Линия $\sigma =\sigma _{c}$ называется линией сходимости . Полуплоскость сходимости определяется как

$\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.$

Абсцисса границе , линия и полуплоскость сходимости ряда Дирихле аналогичны радиусу , кругу и сходимости степенного ряда .

На линии сходимости вопрос сходимости остается открытым, как и в случае со степенными рядами. Однако если ряд Дирихле сходится и расходится в разных точках на одной и той же вертикальной линии, то эта линия должна быть линией сходимости. Доказательство неявно содержится в определении абсциссы сходимости. Примером может служить сериал

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},$

который сходится в $s=-\pi i$ ( переменный гармонический ряд ) и расходится при $s=0$ ( гармонический ряд ). Таким образом, $\sigma =0$ является линией схождения.

Предположим, что ряд Дирихле не сходится в точке $s=0$, то ясно, что $\sigma _{c}\geq 0$ и $\sum a_{n}$ расходится. С другой стороны, если ряд Дирихле сходится при $s=0$, затем $\sigma _{c}\leq 0$ и $\sum a_{n}$ сходится. Таким образом, есть две формулы для расчета. $\sigma _{c}$, в зависимости от сходимости $\sum a_{n}$ которая может быть определена с помощью различных тестов сходимости . Эти формулы аналогичны теореме Коши–Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

Если $\sum a_{k}$ расходится, т.е. $\sigma _{c}\geq 0$, затем $\sigma _{c}$ дается

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

Если $\sum a_{k}$ является сходящимся, т.е. $\sigma _{c}\leq 0$, затем $\sigma _{c}$ дается

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.$

Абсцисса абсолютной сходимости

Ряд Дирихле абсолютно сходится, если ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,$

является конвергентным. Как обычно, абсолютно сходящийся ряд Дирихле сходится, но обратное не всегда верно.

Если ряд Дирихле абсолютно сходится при $s_{0}$, то оно абсолютно сходится для всех s , где $\operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})$. Ряд Дирихле может сходиться абсолютно для всех, при отсутствии или при некоторых значениях s . В последнем случае существует $\sigma _{a}$ такая, что ряд сходится абсолютно при $\sigma >\sigma _{a}$ и сходится неабсолютно для $\sigma <\sigma _{a}$.

Абсцису абсолютной сходимости можно определить как $\sigma _{a}$ выше или эквивалентно, как

${\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges absolutely for}}\\&{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$

Линия и полуплоскость абсолютной сходимости определяются аналогично. Также существуют две формулы для расчета. $\sigma _{a}$.

Если $\sum |a_{k}|$ расходится, то $\sigma _{a}$ дается

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.$

Если $\sum |a_{k}|$ сходится, то $\sigma _{a}$ дается

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.$

В общем случае абсцисса сходимости не совпадает с абсциссой абсолютной сходимости. Таким образом, между линией сходимости и абсолютной сходимостью может существовать полоса, где ряд Дирихле сходится условно . Ширина этой полосы определяется выражением

$0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.$

В случае, когда L = 0, то

$\sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

Все приведенные до сих пор формулы остаются верными для «обычных» рядов Дирихле при замене $\lambda _{n}=\log n$.

Другие абсциссы конвергенции

Можно рассмотреть и другие абсциссы сходимости ряда Дирихле. Абсцисса ограниченной сходимости $\sigma _{b}$ дается

${\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}$

а абсцисса равномерной сходимости $\sigma _{u}$ дается

${\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$

Эти абсциссы связаны с абсциссой конвергенции. $\sigma _{c}$ и абсолютной сходимости $\sigma _{a}$ по формулам

$\sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}$,

и замечательная теорема Бора фактически показывает, что для любого обычного ряда Дирихле, где $\lambda _{n}=\ln(n)$ (т.е. ряд Дирихле вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$) , $\sigma _{u}=\sigma _{b}$ и $\sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;$ Боненблуст и Хилле впоследствии показали, что для любого числа $d\in [0,0.5]$ есть серия Дирихле $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ для чего $\sigma _{a}-\sigma _{u}=d.$

Формула абсцисс равномерной сходимости $\sigma _{u}$ для общего ряда Дирихле $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$ задается следующим образом: для любого $N\geq 1$, позволять $U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}$, затем $\sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.$

Аналитические функции

Функция , представленная рядом Дирихле.

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

аналитичен в полуплоскости сходимости. Более того, для $k=1,2,3,\ldots$

$f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.$

Дальнейшие обобщения

Ряд Дирихле можно дополнительно обобщить на случай многих переменных , когда $\lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}$, k = 2, 3, 4,... или комплексной переменной , где случай $\lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}$, м = 1, 2, 3,...

Ссылки

• Г.Х. Харди и М. Рисс, Общая теория рядов Дирихле , издательство Кембриджского университета, первое издание, 1915 г.
• EC Титчмарш , Теория функций , Oxford University Press, второе издание, 1939.
• Том Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer, второе издание, 1990.
• А. Ф. Леонтьев, Целые функции и ряды экспонент , Наука, первое издание, 1982.
• А.И. Маркушевич, Теория функций комплексной переменной (перевод с русского), Издательство Челси, второе издание, 1977.
• Ж.-П. Серр , Курс арифметики , Springer-Verlag, пятое издание, 1973.
• Джон Э. Маккарти, Серия Дирихле , 2018.
• Х. Ф. Боненблуст и Эйнар Хилле, Об абсолютной сходимости рядов Дирихле , Анналы математики, вторая серия, Vol. 32, № 3 (июль 1931 г.), стр. 600–622.

Внешние ссылки

• «Серия Дирихле» . ПланетаМатематика .
• «Ряд Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]