Теорема Коши–Адамара.

В математике теорема Коши-Адамара — результат комплексного анализа, названный в честь французских математиков Огюстена Луи Коши и Жака Адамара , описывающий радиус сходимости степенного ряда . Оно было опубликовано в 1821 году Коши. но оставался относительно неизвестным, пока Адамар не открыл его заново. Первая публикация этого результата Адамаром состоялась в 1888 году; он также включил его в свою докторскую диссертацию 1892 года. диссертация.

Теорема для одной комплексной переменной

Рассмотрим формальный степенной ряд от одной комплексной переменной z вида $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$$ где $a,c_{n}\in \mathbb {C} .$

Тогда радиус сходимости $R$ f в точке a определяется выражением $${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left(|c_{n}|^{1/n}\right)$$ где lim sup обозначает верхний предел , предел, когда n приближается к бесконечности верхней границы значений последовательности после n -й позиции. Если значения последовательности неограничены, так что lim sup равен ∞, то степенной ряд не сходится вблизи a , а если lim sup равен 0, то радиус сходимости равен ∞, что означает, что ряд сходится на всей плоскости.

Доказательство

Без ограничения общности предположим, что $a=0$. Сначала покажем, что степенной ряд ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ сходится для $|z|<R$, и тогда оно расходится для $|z|>R$.

Сначала предположим $|z|<R$. Позволять $t=1/R$ не быть $0$ или $\pm \infty .$ Для любого $\varepsilon >0$, существует только конечное число $n$ такой, что ${\textstyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\varepsilon }$. Сейчас $|c_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}$ для всех, кроме конечного числа $c_{n}$, поэтому сериал ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ сходится, если $|z|<1/(t+\varepsilon )$. Это доказывает первую часть.

И наоборот, для $\varepsilon >0$, $|c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}$ для бесконечно многих $c_{n}$, так что если $|z|=1/(t-\varepsilon )>R$, мы видим, что ряд не может сходиться, поскольку его n- й член не стремится к 0.

Теорема для нескольких комплексных переменных

Позволять $\alpha$ — n -мерный вектор натуральных чисел ( $\alpha =(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$) с $||\alpha ||=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$, затем $f(x)$ сходится с радиусом сходимости $\rho =(\rho _{1},\cdots ,\rho _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ с $\rho ^{\alpha }=\rho _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \rho _{n}^{\alpha _{n}}$ тогда и только тогда, когда $$\limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$$ к многомерному степенному ряду $$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}$$

Доказательство

От

Набор $z=a+t\rho$ $(z_{i}=a_{i}+t\rho _{i})$, затем

$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }=\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }\rho ^{\alpha }t^{||\alpha ||}=\sum _{\mu \geq 0}\left(\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\right)t^{\mu }$

Это степенной ряд от одной переменной $t$ который сходится для $|t|<1$ и расходится по $|t|>1$. Следовательно, по теореме Коши-Адамара для одной переменной

$\limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$

Параметр $|c_{m}|\rho ^{m}=\max _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }$ дает нам оценку

$|c_{m}|\rho ^{m}\leq \sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\leq (\mu +1)^{n}|c_{m}|\rho ^{m}$

Потому что ${\sqrt[{\mu }]{(\mu +1)^{n}}}\to 1$ как $\mu \to \infty$

${\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\leq {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}\leq {\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\implies {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}={\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\qquad (\mu \to \infty )$

Поэтому

$\limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=\limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}=1$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коши-Адамара» . Математический мир .