Арифметико-геометрическая последовательность

Не путать со средним арифметико-геометрическим .

В математике арифметико -геометрическая последовательность — это результат почленного умножения геометрической прогрессии на соответствующие члены арифметической прогрессии . Проще говоря, n- й член арифметико-геометрической последовательности является произведением n -го члена арифметической последовательности.и n-й член геометрического. Арифметико-геометрические последовательности возникают в различных приложениях, например, при вычислении ожидаемых значений в теории вероятностей . Например, последовательность

${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots$

представляет собой арифметико-геометрическую последовательность. Арифметическая составляющая появляется в числителе (синим цветом), а геометрическая — в знаменателе (зеленым цветом).

Суммирование этой бесконечной последовательности известно как арифметико-геометрический ряд , а его основная форма получила название лестницы Габриэля :

$\sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}},\quad \mathrm {for\ } 0<r<1$

Номинал также может применяться к различным объектам, представляющим характеристики как арифметических, так и геометрических последовательностей; например, французское понятие арифметико-геометрической последовательности относится к последовательностям вида $u_{n+1}=au_{n}+b$, которые обобщают как арифметические, так и геометрические последовательности. Такие последовательности являются частным случаем линейных разностных уравнений .

Условия последовательности

Первые несколько членов арифметико-геометрической последовательности, состоящей из арифметической прогрессии (синим цветом) с разницей $d$ и начальная стоимость $a$ и геометрическая прогрессия (зеленым цветом) с начальным значением $b$ и общее соотношение $r$даны:

${\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}$

Пример

Например, последовательность

${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots$

определяется $d=b=1$, $a=0$, и $r=1/2$.

Сумма условий

Сумма первых n членов арифметико-геометрической прогрессии имеет вид

${\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}$

где $A_{i}$ и $G_{i}$ е — i- члены арифметической и геометрической прогрессии соответственно.

Эта сумма имеет выражение в замкнутой форме

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}$

Доказательство

Умножение,

$S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$

по r , дает

$rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}.$

Вычитание rS _n из Sn _дает метода телескопирования рядов и использование

${\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\end{aligned}}$

где последнее равенство является результатом выражения суммы геометрической прогрессии . Наконец, деление на 1 - r дает результат.

Бесконечная серия

Если −1 < r < 1, то сумма S арифметико-геометрического ряда , то есть сумма всех бесконечно многих членов прогрессии, определяется выражением

${\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}$

Если r находится за пределами указанного выше диапазона, ряд либо

• расходится (когда r > 1 или когда r = 1, где ряд является арифметическим, а a и d не равны нулю; если в последнем случае оба a и d равны нулю, все члены ряда равны нулю и ряд постоянен )
• или альтернативно (когда r ≤ −1).

Пример: применение к ожидаемым значениям

Например, сумма

$S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots$,

являющаяся суммой арифметико-геометрической прогрессии, определяемой формулой $d=b=1$, $a=0$, и $r={\frac {1}{2}}$, сходится к $S=2$.

Эта последовательность соответствует ожидаемому количеству подбрасываний монеты до получения «решки». Вероятность $T_{k}$ Получение решки впервые при k-м броске выглядит следующим образом:

$T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}$.

Следовательно, ожидаемое количество бросков определяется выражением

$\sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2$ .

Дальнейшее чтение

• Д. Хаттар. Руководство Пирсона по математике для IIT-JEE, 2/e (новое издание). Пирсон Образовательная Индия. п. 10.8. ISBN  81-317-2876-5 .
• П. Гупта. Комплексная математика XI . Публикации Лакшми. п. 380. ИСБН  81-7008-597-7 .