Безусловная конвергенция

В математике , особенно в функциональном анализе , ряд является безусловно сходящимся , если все переупорядочения ряда сходятся к одному и тому же значению. Напротив, ряд условно сходится, если он сходится, но не все упорядочения сходятся к одному и тому же значению. Безусловная сходимость эквивалентна абсолютной сходимости в конечномерных векторных пространствах , но является более слабым свойством в бесконечных измерениях.

Определение

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством . Позволять $I$ быть набором индексов и $x_{i}\in X$ для всех $i\in I.$

Серия $\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}$ называется безусловно сходящимся к $x\in X,$ если

• набор индексации $I_{0}:=\left\{i\in I:x_{i}\neq 0\right\}$ счетно и ,
• для каждой перестановки ( биекции ) $\sigma :I_{0}\to I_{0}$ из $I_{0}=\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ имеет место следующее соотношение: $\sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma \left(i_{k}\right)}=x.$

Альтернативное определение

Безусловную сходимость часто определяют эквивалентным образом: ряд является безусловно сходящимся, если для каждой последовательности $\left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty },$ с $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},$ сериал $$\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$$сходится.

Если $X$ является банаховым пространством , всякий абсолютно сходящийся ряд сходится безусловно, но обратная импликация, вообще говоря, не имеет места. Действительно, если $X$ является бесконечномерным банаховым пространством, то по теореме Дворецкого–Роджерса в этом пространстве всегда существует безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. Однако, когда $X=\mathbb {R} ^{n},$ по теореме о рядах Римана ряд ${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$ безусловно сходится тогда и только тогда, когда оно сходится абсолютно.

См. также

• Абсолютная сходимость - режим сходимости бесконечного ряда.
• Режимы конвергенции (аннотированный индекс) – Аннотированный индекс различных режимов конвергенции.
• Перестановки и безусловная сходимость / Теорема Дворецкого – Роджерса - Способ сходимости бесконечного ряда
• Теорема о рядах Римана - Безусловные ряды сходятся абсолютно.

Ссылки

• Ч. Хайль: Учебник по базовой теории
• Кнопп, Конрад (1956). Бесконечные последовательности и ряды . Дуврские публикации. ISBN  9780486601533 .
• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Дуврские публикации. ISBN  9780486661650 .
• Войтащик, П. (1996). Банаховы пространства для аналитиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521566759 .

Эта статья включает в себя материал из Unconditional Converence на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .