Абсолютная конвергенция

В математике чисел бесконечный ряд говорят, что абсолютно сходится (или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее реальный или сложный сериал $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ говорят, что он сходится абсолютно, если $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ для некоторого действительного числа $\textstyle L.$ Аналогично, интеграл функции несобственный , $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,$ Говорят, что он сходится абсолютно, если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен, т. е. если $\textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.$ Сходящийся ряд, не являющийся абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся .

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение достаточно сильное, чтобы гарантировать, что ряд будет обладать некоторыми свойствами конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды - абсолютно сходящиеся ряды ведут себя «хорошо». Например, перестановки не меняют значения суммы. Это неверно для условно сходящегося ряда: знакопеременный гармонический ряд ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$ сходится к $\ln 2,$ пока его перестановка ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ (в котором повторяющаяся структура знаков представляет собой два положительных термина, за которыми следует один отрицательный термин) сходится к ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2.}$

Фон

В конечных суммах порядок добавления членов является одновременно ассоциативным и коммутативным , а это означает, что группировка и перестановка не имеют значения. (1 + 2) + 3 — то же самое, что 1 + (2 + 3), и оба — то же самое, что (3 + 2) + 1. Однако это неверно при сложении бесконечного числа чисел и ошибочном предположении, что это Это правда, может привести к очевидным парадоксам. Классический пример — знакопеременная сумма

$S=1-1+1-1+1-1...$

члены которого чередуются между +1 и -1. Какова стоимость С? Один из способов оценить S — сгруппировать первый и второй член, третий и четвертый и т. д.:

$S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0$

Но другой способ оценить S — оставить первый член в покое и сгруппировать второй и третий член, затем четвертый и пятый член и так далее:

$S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1$

Это приводит к кажущемуся парадоксу: действительно ли $S=0$ или $S=1$?

Ответ заключается в том, что, поскольку S не является абсолютно сходящимся, группировка или перестановка ее членов изменяет значение суммы. Это означает $S_{1}$ и $S_{2}$ не равны. На самом деле сериал $1-1+1-1+...$ не сходится , поэтому S вообще не имеет значения, которое нужно найти. Абсолютно сходящийся ряд не имеет этой проблемы: группировка или перестановка его членов не меняет значения суммы.

Определение действительных и комплексных чисел

Сумма действительных чисел или комплексных чисел ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ абсолютно сходится, если сумма абсолютных значений слагаемых ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ сходится .

Суммы более общих элементов

То же определение можно использовать и для серий ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ чьи условия $a_{n}$ являются не числами, а скорее элементами произвольной абелевой топологической группы . В этом случае вместо использования абсолютного значения определение требует, чтобы группа имела норму , которая является положительной действительной функцией. ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ на абелевой группе $G$ (записано аддитивно , с единичным элементом 0) такое, что:

1. Норма единичного элемента $G$ равен нулю: $\|0\|=0.$
2. Для каждого $x\in G,$ $\|x\|=0$ подразумевает $x=0.$
3. Для каждого $x\in G,$ $\|-x\|=\|x\|.$
4. Для каждого $x,y\in G,$ $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

В этом случае функция $d(x,y)=\|x-y\|$ индуцирует структуру метрического пространства (типа топологии ) на $G.$

Затем $G$-значный ряд абсолютно сходится, если ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применимы с использованием нормы $|x|$ ( абсолютное значение ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах

Если $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) и ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ (возможно, неисчислимое ) семейство в $X$ то это семейство абсолютно суммируемо, если

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ суммируется ​ в $X$ (то есть, если предел ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ сети ​ $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ сходится в $X,$ где ${\mathcal {F}}(A)$ — направленное множество всех конечных подмножеств $A$ направляется включением $\subseteq$ и ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$), и
2. для каждой непрерывной полунормы $p$ на $X,$ семья ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ суммируется в $\mathbb {R} .$

Если $X$ является нормируемым пространством, и если ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ является абсолютно суммируемым семейством в $X,$ тогда обязательно все, кроме счетного набора $x_{\alpha }$0.

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции

Если $G$ полно относительно метрики $d,$ то всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплексных рядов: используйте полноту, чтобы вывести критерий сходимости Коши (ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме), и примените неравенство треугольника.

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, его называют условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты на дивергенцию и конвергенцию, в первую очередь, включая тест на соотношение и тест на корень , демонстрируют абсолютную сходимость. Это связано с тем, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего диска сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится.

Предположим, что ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ является конвергентным. Тогда эквивалентно, ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ сходится, что означает, что ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ и ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ и ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ тогда сходимость ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$ будет следовать по определению сходимости комплекснозначных рядов.

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ подразумевает сближение ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Позволять ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ быть сходящимся. С $0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,$ у нас есть $$0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.$$С ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ является сходящимся, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ представляет собой ограниченную монотонную последовательность частичных сумм и ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ также должны сходиться. отмечая, что ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$ является разностью сходящегося ряда, то, как и хотелось, заключаем, что он тоже является сходящимся рядом.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . По Коши критерию ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0,$ существует $N$ такой, что ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ для любого $n>m\geq N.$ Но неравенство треугольника означает, что ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ так что ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ для любого $n>m\geq N,$ что и есть критерий Коши для ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Доказательство сходимости любого абсолютно сходящегося ряда в банаховом пространстве.

Приведенный выше результат можно легко обобщить на любое банахово пространство. $(X,\|\,\cdot \,\|).$ Позволять ${\textstyle \sum x_{n}}$ быть абсолютно сходящимся рядом по $X.$ Как ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ является последовательностью Коши действительных чисел для любого $\varepsilon >0$ и достаточно большие натуральные числа $m>n$ он содержит: $$\left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .$$

По неравенству треугольника для нормы Ɓ⋅ρ сразу получаем: $$\left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,$$это означает, что ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ является последовательностью Коши в $X,$ следовательно, ряд сходится по $X.$

Перестановки и безусловная конвергенция

Действительные и комплексные числа

Когда ряд действительных или комплексных чисел абсолютно сходится, любая перестановка или изменение порядка членов этого ряда все равно будет сходиться к одному и тому же значению. Этот факт является одной из причин, по которой абсолютно сходящиеся ряды полезны: демонстрация абсолютной сходимости ряда позволяет объединять члены в пары или переставлять их удобными способами без изменения значения суммы.

Теорема о перестановке Римана показывает, что верно и обратное: любой действительный или комплекснозначный ряд, члены которого нельзя переупорядочить, чтобы дать другое значение, абсолютно сходится.

Ряд с коэффициентами в более общем пространстве

Термин « безусловная сходимость» используется для обозначения ряда, в котором любая перестановка его членов по-прежнему сходится к одному и тому же значению. Для любого ряда со значениями в нормированной абелевой группе $G$, пока $G$ Полно, всякий ряд, сходящийся абсолютно, сходится и безоговорочно.

Более формально:

Теорема — Пусть $G$ быть нормированной абелевой группой. Предполагать $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .$$Если $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ есть любая перестановка, то $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

Для рядов с более общими коэффициентами обратный процесс сложнее. Как говорилось в предыдущем разделе, для вещественных и комплексных рядов безусловная сходимость всегда подразумевает абсолютную сходимость. Однако в более общем случае ряда со значениями в любой нормированной абелевой группе $G$, обратное не всегда справедливо: могут существовать ряды, не абсолютно сходящиеся, но сходящиеся безусловно.

Например, в банаховом пространстве ℓ ^∞ , один ряд, который является безусловно сходящимся, но не абсолютно сходящимся: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},$$

где $\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ является ортонормированным базисом. Теорема А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство имеет безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся.

Доказательство теоремы

Для любого $\varepsilon >0,$ мы можем выбрать некоторые $\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,$ такой, что: $${\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$$

Позволять $${\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}$$где $\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}$ так что $M_{\sigma ,\varepsilon }$ — наименьшее натуральное число такое, что список $a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}$ включает в себя все условия $a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}$ (и, возможно, другие).

Наконец, для любого целого числа $N>M_{\sigma ,\varepsilon }$ позволять $${\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}$$так что $${\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$$и таким образом $${\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$$

Это показывает, что $${\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,$$то есть: $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

КЭД

Продукты серии

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно. То есть предположим, что $$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.$$

Произведение Коши определяется как сумма слагаемых $c_{n}$ где: $$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$$

Если либо ​ $a_{n}$ или $b_{n}$ сумма сходится абсолютно тогда $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.$$

Абсолютная сходимость по множествам

Обобщением абсолютной сходимости ряда является абсолютная сходимость суммы функции по множеству. Сначала мы можем рассмотреть счетное множество $X$ и функция $f:X\to \mathbb {R} .$ Ниже мы дадим определение суммы $f$ над $X,$ написано как ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

Прежде всего обратите внимание, что поскольку не существует конкретного перечисления (или «индексации») $X$ пока не уточняется, серия ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ не может быть понято с помощью более основного определения серии. Фактически, для некоторых примеров $X$ и $f,$ сумма $f$ над $X$ может вообще не определяться, так как некоторая индексация может дать условно сходящийся ряд.

Поэтому мы определяем ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ только в том случае, когда существует некоторая биекция $g:\mathbb {Z} ^{+}\to X$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ абсолютно сходится. Обратите внимание, что здесь термин «абсолютно сходящийся» использует более простое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение суммы $f$ над $X$ определяется $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))$$

Обратите внимание: поскольку ряд абсолютно сходится, каждая перестановка идентична другому выбору биекции. $g.$ Поскольку все эти суммы имеют одно и то же значение, то сумма $f$ над $X$ четко определен.

В более общем смысле мы можем определить сумму $f$ над $X$ когда $X$ является неисчислимым. Но сначала мы определим, что означает сходимость суммы.

Позволять $X$ быть любым множеством, счетным или несчетным, и $f:X\to \mathbb {R}$ функция. Мы говорим, что сумма $f$ над $X$ сходится абсолютно, если $$\sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .$$

Существует теорема, которая гласит, что если сумма $f$ над $X$ абсолютно сходится, то $f$ принимает ненулевые значения на множестве, которое не более чем счетно. Таким образом, следующее является последовательным определением суммы $f$ над $X$ когда сумма абсолютно сходится. $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).$$

Обратите внимание, что в последней серии используется определение серии по счетному множеству.

Некоторые авторы определяют повторную сумму ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ быть абсолютно сходящимся, если повторный ряд ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ Фактически это эквивалентно абсолютной сходимости ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ То есть, если сумма $f$ над $X,$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ сходится абсолютно, как определено выше, то повторная сумма ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ сходится абсолютно, и наоборот.

Абсолютная сходимость интегралов

Интеграл ​ ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ Говорят, что действительная или комплекснозначная функция сходится абсолютно , если ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ Один также говорит, что $f$ интегрируема абсолютно . Вопрос об абсолютной интегрируемости сложен и зависит от того, Римана , Лебега или Курцвейла-Хенстока рассматривается ли интеграл (калибровочный); для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы интегрируемость только в собственном смысле ( $f$ и $A$ оба ограничены ) или допускают более общий случай несобственных интегралов.

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда $A=[a,b]$ — ограниченный интервал , каждая непрерывная функция ограничена и интегрируема (по Риману), и поскольку $f$ непрерывное подразумевает $|f|$ непрерывна, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку $g\circ f$ интегрируем ли Риман на $[a,b]$ если $f$ (собственно) интегрируема и $g$ непрерывно, то отсюда следует, что $|f|=|\cdot |\circ f$ правильно интегрируемо по Риману, если $f$ является. Однако это импликация не выполняется в случае несобственных интегралов. Например, функция ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ несобственно интегрируема по Риману в своей неограниченной области, но не является абсолютно интегрируемой: $$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .$$Действительно, в более общем смысле для любого ряда ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ можно рассмотреть связанную ступенчатую функцию $f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ определяется $f_{a}([n,n+1))=a_{n}.$ Затем ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ сходится абсолютно, сходится условно или расходится в соответствии с соответствующим поведением ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Иная ситуация с интегралом Лебега, который не обрабатывает отдельно ограниченные и неограниченные области интегрирования ( см. ниже ). Тот факт, что интеграл $|f|$ неограниченно в приведенных выше примерах, следует, что $f$ также не интегрируемо по Лебегу. Действительно, в теории интеграции Лебега, учитывая, что $f$ измерима ​ , $f$ интегрируема (по Лебегу) тогда и только тогда, когда $|f|$ интегрируема (по Лебегу). Однако гипотеза о том, что $f$ измеримо, имеет решающее значение; вообще говоря, неверно, что абсолютно интегрируемые функции на $[a,b]$ интегрируемы (просто потому, что они могут оказаться неизмеримыми): пусть $S\subset [a,b]$ быть неизмеримым подмножеством и рассмотреть $f=\chi _{S}-1/2,$ где $\chi _{S}$ является характеристической функцией $S.$ Затем $f$ не измеримо по Лебегу и, следовательно, не интегрируемо, но $|f|\equiv 1/2$ является постоянной функцией и явно интегрируемой.

С другой стороны, функция $f$ может быть интегрируемым по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно интегрируемым), а $|f|$ нет. Сюда входит случай функций, несобственно интегрируемых по Риману.

В общем смысле, в любом пространстве с мерой $A,$ Интеграл Лебега действительной функции определяется через ее положительную и отрицательную части, поэтому факты:

1. $f$ интегрируемость подразумевает $|f|$ интегрируемый
2. $f$ измеримый, $|f|$ интегрируемость подразумевает $f$ интегрируемый

по существу встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к считающей мере на множестве $S,$ можно восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром-Смитом, с использованием сетей (так называемых сейчас). Когда $S=\mathbb {N}$ — множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все вышесказанное справедливо для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного определения. Для получения интеграла Лебега необходимо обойти разложение на положительную и отрицательную части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля, получив интеграл Бохнера .

См. также

• Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Условная сходимость - свойство бесконечных рядов.
• Сходимость рядов Фурье - Математическая задача классического гармонического анализа
• Теорема Фубини - Условия переключения порядка интегрирования в исчислении
• Режимы конвергенции (аннотированный индекс) – Аннотированный индекс различных режимов конвергенции.
• Радиус сходимости - Область сходимости степенных рядов.
• Теорема о рядах Римана - Безусловные ряды сходятся абсолютно.
• Безусловная сходимость - независимая от порядка сходимость последовательности.
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · – математическая бесконечная серия Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · – Математическая бесконечная серия Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Ссылки

Цитируемые работы

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .

Общие ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике . Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  978-1-85233-437-6 . ОСЛК   48092184 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .