Теорема о рядах Римана

В математике , теорема о рядах Римана также называемая теоремой о перестановке Римана , названная в честь немецкого математика XIX века Бернхарда Римана , гласит, что если бесконечный ряд действительных чисел условно сходится , то его члены можно расположить в такой перестановке , что новый ряд сходится к произвольному действительному числу или расходится . Отсюда следует, что ряд действительных чисел абсолютно сходится тогда и только тогда, когда он сходится безусловно .

Например, ряд 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ⋯ сходится к 0 (при достаточно большом числе слагаемых частичная сумма становится сколь угодно близкой к 0); но замена всех членов их абсолютными значениями дает 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯, сумма которых равна бесконечности. Таким образом, исходный ряд условно сходится и его можно переставить (взяв первые два положительных члена, за которым следует первый отрицательный член, за которым следуют следующие два положительных члена, а затем следующий отрицательный член и т. д.), чтобы получить сходящийся ряд. в другую сумму: 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = ln 2. В более общем смысле, использование этой процедуры с p положительными значениями, за которыми следуют q отрицательных значений, дает сумму ln( p / д ). Другие перестановки дают другие конечные суммы или не сходятся ни к какой сумме.

История

Основной результат состоит в том, что сумма конечного числа чисел не зависит от порядка их сложения. Например, 2 + 6 + 7 = 7 + 2 + 6 . Наблюдение о том, что сумма бесконечной последовательности чисел может зависеть от порядка слагаемых, обычно приписывают Огюстену-Луи Коши в 1833 году. Он проанализировал знакопеременный гармонический ряд , показав, что определенные перестановки его слагаемых приводят к различным пределам. Примерно в то же время Питер Густав Лежен Дирихле подчеркнул, что такие явления исключаются в контексте абсолютной сходимости , и привел дополнительные примеры феномена Коши для некоторых других рядов, которые не могут быть абсолютно сходящимися.

В ходе анализа рядов Фурье и теории интегрирования Римана Бернхард Риман дал полную характеристику явления перегруппировки. Он доказал, что в случае сходящегося ряда, который не сходится абсолютно (известный как условная сходимость ), можно найти такие перестановки, что новый ряд сходится к любому произвольно заданному действительному числу. Теорема Римана теперь рассматривается как основная часть области математического анализа .

Для любого ряда можно рассматривать множество всех возможных сумм, соответствующих всем возможным перестановкам слагаемых. Теорему Римана можно сформулировать так: для ряда действительных чисел это множество либо пусто, либо представляет собой единственную точку (в случае абсолютной сходимости), либо всю линию действительных чисел (в случае условной сходимости). В этой формулировке теорема Римана была расширена Полем Леви и Эрнстом Стейницем на ряды, слагаемыми которых являются комплексные числа или, в более общем смысле, элементы конечномерного вещественного векторного пространства . Они доказали, что множество возможных сумм образует вещественное аффинное подпространство . Распространение теоремы Леви–Стейница на ряды в бесконечномерных пространствах рассматривалось рядом авторов.

Определения

Серия ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если существует значение $\ell$ такая, что последовательность частичных сумм

$(S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},$

сходится к $\ell$. То есть для любого ε > 0 существует целое число N такое, что если n ≥ N , то

$\left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \varepsilon .$

Ряд условно сходится, если ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, но ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$ расходится.

Перестановка — это просто биекция множества целых положительных чисел в себя. Это означает, что если $\sigma$ является перестановкой, то для любого натурального числа $b,$ существует ровно одно положительное целое число $a$ такой, что $\sigma (a)=b.$ В частности, если $x\neq y$, затем $\sigma (x)\neq \sigma (y)$.

Формулировка теоремы

Предположим, что $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ представляет собой последовательность действительных чисел , и это ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ условно сходится. Позволять $M$ быть действительным числом. Тогда существует перестановка $\sigma$ такой, что

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.$

Также существует перестановка $\sigma$ такой, что

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .$

Сумму также можно переставить так, чтобы она расходилась к $-\infty$ или не суметь приблизиться к какому-либо пределу, конечному или бесконечному.

Переменный гармонический ряд

Изменение суммы

Знаковый гармонический ряд представляет собой классический пример условно сходящегося ряда:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$$

сходится, тогда как

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$$

— обычный гармонический ряд , который расходится. Хотя в стандартном представлении знакопеременный гармонический ряд сходится к ln(2) , его члены можно расположить так, чтобы они сходились к любому числу или даже расходились.

Один из примеров этого заключается в следующем. Начните с серии, написанной в обычном порядке:

$\ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots$

а также переставить и перегруппировать термины следующим образом:

${\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \end{aligned}}$

где шаблон: первые два члена равны 1 и -1/2, сумма которых равна 1/2. Следующий член равен −1/4. Следующие два члена — 1/3 и −1/6, сумма которых равна 1/6. Следующий член равен −1/8. Следующие два члена — 1/5 и −1/10, сумма которых равна 1/10. В общем, поскольку каждое нечетное целое число встречается один раз положительное, а каждое четное целое число встречается один раз отрицательное (половина из них кратна 4, другая половина — дважды нечетные целые числа), сумма состоит из блоков по три, которые можно упростить следующим образом:

$\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .$

Следовательно, приведенный выше ряд фактически можно записать как:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}$

что изначально составляет половину суммы и может равняться исходной последовательности только в том случае, если значение равно нулю. Можно продемонстрировать, что этот ряд больше нуля, путем доказательства теоремы Лейбница с использованием того, что вторая частичная сумма равна половине. Альтернативно, значение $\ln(2)$ к которому он сходится, не может быть нулевым. Таким образом, показано, что значение последовательности зависит от порядка, в котором вычисляется ряд.

Это правда, что последовательность:

$\{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots$

содержит все элементы последовательности:

$\{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots$

Однако, поскольку суммирование определяется как $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)$, порядок членов может влиять на предел.

Получение произвольной суммы

Эффективный способ восстановить и обобщить результат предыдущего раздела — использовать тот факт, что

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони , и где обозначение o (1) обозначает величину, которая зависит от текущей переменной (здесь переменная n ) таким образом, что эта величина стремится к 0, когда переменная стремится к бесконечности .

Отсюда следует, что сумма q четных членов удовлетворяет

${1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),$

и, взяв разницу, можно увидеть, что сумма p нечетных членов удовлетворяет

${1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).$

Предположим, что даны два положительных целых числа a и b и что перестановка чередующегося гармонического ряда формируется путем взятия по порядку положительных членов из чередующегося гармонического ряда, за которыми следуют b отрицательных членов, и повторения этой схемы на бесконечности ( сам знакопеременный ряд соответствует a = b = 1 , пример в предыдущем разделе соответствует a = 1, b = 2):

${1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots$

Тогда частичная сумма порядка ( a + b ) n этого переставленного ряда содержит p = положительные нечетные члены и q = bn отрицательные четные члены, следовательно

$S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).$

Отсюда следует, что сумма этого переставленного ряда равна

${1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).$

Предположим теперь, в более общем смысле, что перестроенный ряд знакопеременных гармонических рядов организован таким образом, что отношение p _n / q _n между числом положительных и отрицательных членов в частичной сумме порядка n стремится к положительному пределу r. . Тогда сумма такой перестановки будет равна

$\ln \left(2{\sqrt {r}}\right),$

и это объясняет, что любое действительное число x может быть получено как сумма перестановки ряда знакопеременных гармонических рядов: достаточно образовать перестановку, для которой предел r равен e ^22x / 4 .

Доказательство

Существование перестановки, которая в сумме дает M

Описание теоремы и ее доказательства, данное Риманом, полностью гласит:

…бесконечные ряды делятся на два разных класса в зависимости от того, остаются ли они сходящимися, когда все члены становятся положительными. В первом классе термины можно переставлять произвольно; во втором случае, напротив, значение зависит от порядка терминов. Действительно, если мы обозначим положительные члены ряда второго класса через a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... а отрицательные члены через - b ₁ , - b ₂ , - b ₃ , ... , то ясно, что Σ a, как и Σ b, должны быть бесконечными. Ведь если бы они оба были конечными, ряд все равно сходил бы после того, как сделал бы все знаки одинаковыми. Если бы только один был бесконечным, то ряд разошелся бы. Ясно, что теперь произвольно заданное значение C можно получить подходящим переупорядочением членов. Берём поочередно положительные члены ряда, пока сумма не станет больше , а затем отрицательные члены, пока сумма не станет меньше С. С Отклонение от C никогда не превышает размера члена в последнем месте смены знаков. Теперь, поскольку число как числа b так и числа b становятся бесконечно малыми с ростом индекса, то же самое происходит и с отклонениями от C. , Если мы продвинемся в ряду достаточно далеко, то отклонение станет сколь угодно малым, т. е. ряд сходится к C .

Более подробно это можно описать следующим образом. Напомним, что условно сходящийся ряд вещественных членов имеет как бесконечно много отрицательных, так и бесконечно много положительных членов. Сначала определим две величины: $a_{n}^{+}$ и $a_{n}^{-}$ к:

$a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}$

То есть сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ включает все n _{положительных значений} , при этом все отрицательные члены заменяются нулями, а ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ включает все n _{отрицательных значений} , при этом все положительные члены заменяются нулями. С ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ условно сходится, то как «положительный», так и «отрицательный» ряд расходятся. Пусть М — любое действительное число. Возьмите достаточно положительных терминов $a_{n}^{+}$ так что их сумма превышает M . То есть, пусть p ₁ будет наименьшим положительным целым числом таким, что

$M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.$

Это возможно, поскольку частичные суммы $a_{n}^{+}$ сериал имеет тенденцию $+\infty$. Теперь пусть q ₁ — наименьшее положительное целое число такое, что

$M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.$

Это число существует потому, что частичные суммы $a_{n}^{-}$ склонны к $-\infty$. Теперь продолжим индуктивно, определив p2 _p1 как наименьшее целое число, большее, чем , _такое , что

$M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},$

и так далее. Результат можно рассматривать как новую последовательность

$a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .$

частичные суммы этой новой последовательности сходятся к M. Более того , Это видно из того, что для i любого

$\sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},$

при этом первое неравенство выполняется, поскольку p _{i +1} было определено как наименьшее число, большее, чем pi _, что делает второе неравенство истинным; как следствие, считается, что

$0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.$

Поскольку правая часть сходится к нулю из-за предположения об условной сходимости, это показывает, что ( p _{i +1} + q _i ) -я частичная сумма новой последовательности сходится к M по мере увеличения i . Аналогично, ( p _{i +1} + q _{i +1} ) '-я частичная сумма также сходится M. к Поскольку ( p _{i +1} + q _i + 1) -я, ( p _{i +1} + q _i + 2) -я, ... ( p _{i +1} + q _{i +1} − 1) -я частичные суммы оцениваются между ( p _{i +1} + q _i ) '-й и ( p _{i +1} + q _{i +1} ) '-ми частичными суммами, из этого следует, что вся последовательность частичных сумм сходится к M .

Каждый элемент исходной последовательности n _к появляется в этой новой последовательности, частичные суммы которой сходятся M . Те элементы исходной последовательности, которые равны нулю, появятся в новой последовательности дважды (один раз в «положительной» последовательности и один раз в «отрицательной» последовательности), и каждую секунду такое появление может быть удалено, что не влияет на суммирование в в любом случае. Таким образом, новая последовательность является перестановкой исходной последовательности.

Существование перестановки, расходящейся в бесконечность

Позволять ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ — условно сходящийся ряд. Ниже приводится доказательство того, что существует перестановка этого ряда, стремящаяся к $\infty$ (аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что $-\infty$ тоже можно получить).

Приведенное выше доказательство исходной формулировки Римана необходимо лишь изменить так, чтобы +1 _{pi выбиралось} как наименьшее целое число, большее, чем pi _, такое, что

$i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},$

и с q _{i +1,} выбранным как наименьшее целое число, большее, чем q _i, такое, что

$i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.$

Выбор i +1 в левых частях не имеет значения, поскольку его можно заменить любой последовательностью, возрастающей до бесконечности. С $a_{n}^{-}$ сходится к нулю с увеличением n , для достаточно большого i существует

$\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,$

и это доказывает (так же, как и при рассмотрении сходимости выше), что последовательность частичных сумм новой последовательности расходится к бесконечности.

, которая не достигает какого-либо предела, конечного или бесконечного

Приведенное выше доказательство необходимо только изменить так, чтобы pi _{+1 pi} выбиралось как наименьшее целое число, большее, чем , _такое , что

$1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},$

и с q _{i +1,} выбранным как наименьшее целое число, большее, чем q _i, такое, что

$-1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.$

Это напрямую показывает, что последовательность частичных сумм содержит бесконечное количество элементов, которые больше 1, а также бесконечно много элементов, которые меньше -1 , так что последовательность частичных сумм не может сходиться.

Обобщения

Теорема Серпинского

Учитывая бесконечный ряд $a=(a_{1},a_{2},...)$, мы можем рассмотреть набор «неподвижных точек» $I\subset \mathbb {N}$и изучите действительные числа, к которым может привести ряд, если нам разрешено переставлять индексы только в $I$. То есть мы позволяем

$$S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}$$

С помощью этих обозначений мы имеем:

• Если $I\mathbin {\triangle } I'$ конечно, то $S(a,I)=S(a,I')$. Здесь $\triangle$ означает симметричную разницу .
• Если $I\subset I'$ затем $S(a,I)\subset S(a,I')$.
• Если ряд является абсолютно сходящейся суммой, то $S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}$ для любого $I$.
• Если ряд является условно сходящейся суммой, то по теореме о рядах Римана $S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]$.

Серпинский доказал, что, переставляя только положительные члены, можно получить ряд, сходящийся к любому заданному значению, меньшему или равному сумме исходного ряда, но больших значений вообще достичь невозможно. То есть пусть $a$ — условно сходящаяся сумма, то $S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})$ содержит $\left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]$, но нет гарантии, что оно содержит любое другое число.

В более общем смысле, пусть $J$ быть идеалом ​ $\mathbb {N}$, то мы можем определить $S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)$.

Позволять $J_{d}$ — множество всех нулевой асимптотической плотности множеств $I\subset \mathbb {N}$, то есть, $\lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0$. Ясно, что $J_{d}$ является идеалом $\mathbb {N}$.

(Владислав, 2007 г.) — Если $a$ есть условно сходящаяся сумма, то $S(a,J_{d})=[-\infty ,\infty ]$ (т. е. достаточно переставить набор индексов нулевой асимптотической плотности).

Эскиз доказательства: Дано $a$, условно сходящую сумму, построить некоторую $I\in J_{d}$ такой, что $\sum _{n\in I}a_{n}$ и $\sum _{n\not \in I}a_{n}$ оба условно сходятся. Затем, переставляя $\sum _{n\in I}a_{n}$ достаточно, чтобы сходиться к любому числу в $[-\infty ,+\infty ]$.

Филипов и Шука доказали, что этим свойством обладают и другие идеалы.

Теорема Стейница

Основная статья: теорема Леви – Стейница

Дан сходящийся ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$комплексных чисел , при рассмотрении множества возможных сумм для всех рядов может возникнуть несколько случаев ${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$ получается перестановкой (перестановкой) членов этого ряда:

• сериал ${\textstyle \sum a_{n}}$ могут сходиться безоговорочно; тогда все переставленные ряды сходятся и имеют одинаковую сумму: множество сумм переставленных рядов сводится к одной точке;
• сериал ${\textstyle \sum a_{n}}$ могут не сойтись безоговорочно; если S обозначает множество сумм тех переставленных рядов, которые сходятся, то либо множество S представляет собой прямую L на комплексной плоскости C вида
  $$L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,$$
  множество S — это вся комплексная плоскость C. или

В более общем смысле, учитывая сходящийся ряд векторов в конечномерном вещественном пространстве E набор сумм сходящихся переставленных рядов является аффинным подпространством E. векторном ,

См. также

• Абсолютная сходимость § Перестановки и безусловная сходимость

Ссылки

• Апостол, Том М. (1967). Исчисление. Том I: Исчисление с одной переменной, с введением в линейную алгебру (второе издание оригинального издания 1961 года). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00005-1 . МР   0214705 . Збл   0148.28201 .
• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (второе издание оригинальной редакции 1957 г.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR   0344384 . Збл   0309.26002 .
• Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Конспект лекций по математике . Том. 1466. Берлин: Springer-Verlag . стр. 93–109. дои : 10.1007/BFb0089147 . ISBN  3-540-53917-4 . МР   1119302 . Збл   0743.46002 .
• Коши, М. Огюстен Луи (1833). Исполнительные резюме . Турин: Королевская типография.
• Дирихле, ПГЛ (1837). «Доказательство теоремы о том, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего множителя, содержит бесконечно много простых чисел». Трактаты Королевской прусской академии наук : 45–81.

  Лежен Дирихле, Ж. (1889). «Доказательство теоремы о том, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего множителя, содержит бесконечно много простых чисел». В Кронекер, Л. (ред.). Фабрики. Том I. Берлин: Дитрих Раймер Верлаг. стр. 313–342. ЖФМ   21.0016.01 . MR0249268   .

• Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности. Том 3 (второе издание оригинальной редакции 1972 г.). Нью-Йорк: Кларендон Пресс . ISBN  0-19-506137-3 . МР   1058203 . Збл   0864.01001 .
• Молдин, Р. Дэниел, изд. (2015). Шотландская книга. Математика из «Шотландского кафе» с избранными задачами из новой «Шотландской книги» . Включая избранные статьи, представленные на Шотландской книжной конференции, состоявшейся в Университете Северного Техаса, Дентон, Техас, май 1979 г. (второе издание оригинального издания 1981 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-22897-6 . ISBN  978-3-319-22896-9 . МР   3242261 . Збл   1331.01039 .
• Риман, Бернхард (1868). «О представимости функции тригонометрическим рядом» . Трактаты Королевского общества наук в Гёттингене . 13 :87–132. ЖФМ   01.0131.03 .

  Риман, Бернхард (2004). «О представлении функции тригонометрическим рядом». Сборник статей . Перевод Бейкера, Роджера; Кристенсон, Чарльз; Орд, Генри. Перевод немецкого издания 1892 года. Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. ISBN  0-9740427-2-2 . МР   2121437 . Збл   1101.01013 .

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (третье издание оригинального издания 1953 г.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. MR   0385023 . Збл   0346.26002 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (2021). Молл, Виктор Х. (ред.). Курс современного анализа — введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций с учетом главных трансцендентных функций . С предисловием С. Дж. Паттерсона (пятое издание оригинальной редакции 1902 года). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781009004091 . ISBN  978-1-316-51893-9 . МР   4286926 . Збл   1468.30001 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о рядах Римана» . Математический мир . Проверено 1 февраля 2023 г.