Тотальная алгебра

В абстрактной алгебре полная алгебра моноида бесконечные — это обобщение кольца моноида , допускающее суммы элементов кольца. Предположим, что S — моноид, обладающий свойством, что для всех $s\in S$существует лишь конечное число упорядоченных пар $(t,u)\in S\times S$ для чего $tu=s$. Пусть R — кольцо. Тогда тотальная алгебра S над R — это множество $R^{S}$ всех функций $\alpha :S\to R$ с законом сложения, заданным (точечной) операцией:

$(\alpha +\beta )(s)=\alpha (s)+\beta (s)$

и с законом умножения, заданным формулой:

$(\alpha \cdot \beta )(s)=\sum _{tu=s}\alpha (t)\beta (u).$

Сумма в правой части имеет конечный носитель и поэтому корректно определена в R .

Эти операции превращаются $R^{S}$ в кольцо. Существует вложение R в $R^{S}$, заданный постоянными функциями, что превращает $R^{S}$ в R -алгебру.

Примером может служить кольцо формальных степенных рядов , где моноидом S являются натуральные числа . Тогда произведение является произведением Коши .

Ссылки

• Николя Бурбаки (1989), Алгебра , Спрингер : §III.2