Метрика Керра – Ньюмана

Метрика Керра -Ньюмана описывает геометрию пространства-времени вокруг массы, которая электрически заряжена и вращается. Это вакуумное решение , которое обобщает метрику Керра (которая описывает незаряженную вращающуюся массу) путем дополнительного учета энергии электромагнитного поля , что делает его наиболее общим асимптотически плоским и стационарным решением уравнений Эйнштейна – Максвелла в общей теории относительности. . В качестве электровакуумного решения он включает только те заряды, которые связаны с магнитным полем; в него не входят бесплатные расходы на электроэнергию.

Поскольку наблюдаемые астрономические объекты не обладают заметным чистым электрическим зарядом. (магнитные поля звезд возникают за счет других процессов), метрика Керра–Ньюмана представляет прежде всего теоретический интерес. В модели отсутствует описание падающей барионной материи , легкой ( нулевой пыли ) или темной материи , и поэтому она дает неполное описание черных дыр звездной массы и активных галактических ядер . Однако решение представляет математический интерес и представляет собой довольно простой краеугольный камень для дальнейшего исследования.

Решение Керра-Ньюмана представляет собой частный случай более общих точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с ненулевой космологической постоянной .

История

В декабре 1963 года Рой Керр и Альфред Шильд нашли метрику Керра–Шилда, которая определила все пространства Эйнштейна , которые являются точными линейными возмущениями пространства Минковского . В начале 1964 года Керр искал все пространства Эйнштейна–Максвелла, обладающие этим же свойством. К февралю 1964 года был известен частный случай, когда пространства Керра-Шилда были заряжены (включая решение Керра-Ньюмана), но общий случай, когда специальные направления не были геодезическими основного пространства Минковского, оказался очень трудным. Задача была поручена Джорджу Дебни, но к марту 1964 года от нее отказались. Примерно в это же время Эзра Т. Ньюман нашел решение для Керра путем догадок. В 1965 году Эзра «Тед» Ньюман нашел осесимметричное решение уравнения поля Эйнштейна для черной дыры, которая одновременно вращается и электрически заряжена. Эта формула для метрического тензора $g_{\mu \nu }\!$ называется метрикой Керра–Ньюмана. Это обобщение метрики Керра для незаряженной вращающейся точечной массы, открытой Роем Керром двумя годами ранее.

Четыре связанных решения можно резюмировать в следующей таблице:

	Невращающийся ( J = 0)	Вращающийся ( J ≠ 0)
Незаряженный ( Q = 0)	Шварцшильд	Керр
Заряжено ( Q ≠ 0)	Райсснер – Нордстрем	Керр-Ньюман

где Q тела представляет электрический заряд , а J представляет его угловой момент вращения .

Обзор решения

Результат Ньюмана представляет собой простейшее стационарное , осесимметричное , асимптотически плоское решение уравнений Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля в четырех измерениях. Иногда его называют «электровакуумным» решением уравнений Эйнштейна.

У любого источника Керра-Ньюмана ось вращения совмещена с магнитной осью. Таким образом, источник Керра-Ньюмана отличается от обычно наблюдаемых астрономических тел, для которых существует существенный угол между осью вращения и магнитным моментом . В частности, ни Солнце , ни какая-либо из планет Солнечной системы не имеют магнитных полей, ориентированных по оси вращения. Таким образом, если решение Керра описывает гравитационное поле Солнца и планет, то магнитные поля возникают в результате другого процесса.

Если потенциал Керра-Ньюмана рассматривать как модель классического электрона, он предсказывает электрон, имеющий не только магнитный дипольный момент, но и другие мультипольные моменты, такие как электрический квадрупольный момент. Квадрупольный момент электрона пока экспериментально не обнаружен; кажется, что это ноль.

В пределе G = 0 электромагнитные поля представляют собой поля заряженного вращающегося диска внутри кольца, где поля бесконечны. Полная энергия поля для этого диска бесконечна, и поэтому предел G = 0 не решает проблему бесконечной собственной энергии .

Подобно метрике Керра для незаряженной вращающейся массы, внутреннее решение Керра-Ньюмана существует математически, но, вероятно, не отражает реальную метрику физически реалистичной вращающейся черной дыры из-за проблем со стабильностью горизонта Коши из-за массы инфляции . путем падения материи. Хотя она представляет собой обобщение метрики Керра, она не считается очень важной для астрофизических целей, поскольку никто не ожидает, что реалистичные черные дыры будут иметь значительный электрический заряд (ожидается, что они будут иметь незначительный положительный заряд, но только потому, что протон имеет гораздо больший импульс, чем электрон, и поэтому с большей вероятностью преодолеет электростатическое отталкивание и перенесется за счет импульса через горизонт).

Метрика Керра-Ньюмана определяет черную дыру с горизонтом событий только тогда, когда совокупный заряд и угловой момент достаточно малы:

$J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.$

Угловой момент электрона J и заряд Q (соответственно заданные в геометризированных единицах ) превышают его массу M , и в этом случае метрика не имеет горизонта событий. Таким образом, не может быть такой вещи, как электрон черной дыры — только сингулярность голого вращающегося кольца . Такая метрика имеет несколько, казалось бы, нефизических свойств, таких как нарушение кольца гипотезы космической цензуры , а также появление нарушающих причинность замкнутых времяподобных кривых в непосредственной близости от кольца.

В статье российского теоретика Александра Буринского 2009 года электрон рассматривается как обобщение предыдущих моделей Израиля (1970). и Лопес (1984), который усек «отрицательный» лист метрики Керра-Ньюмана, получив источник решения Керра-Ньюмана в виде релятивистски вращающегося диска. Усечение Лопеса упорядочило метрику Керра-Ньюмана путем обрезки на уровне: $r=r_{e}=e^{2}/2M$, заменяя сингулярность плоским регулярным пространством-временем, так называемым «пузырем». Предполагая, что пузырь Лопеса соответствует фазовому переходу, подобному механизму нарушения симметрии Хиггса, Буринский показал, что созданная гравитацией кольцевая сингулярность образует за счет регуляризации сверхпроводящее ядро ​​электронной модели. и должен описываться суперсимметричной полевой моделью фазового перехода Ландау-Гинзбурга:

Опуская промежуточную работу Буринского, мы приходим к недавнему новому предложению: считать усеченный Израилем и Лопесом отрицательный лист решения КН листом позитрона.

Эта модификация объединяет решение КН с моделью КЭД и показывает важную роль линий Вильсона, образующихся в результате перетаскивания векторного потенциала.

В результате модифицированное решение КН приобретает сильное взаимодействие с керровской гравитацией, вызванное дополнительным энергетическим вкладом электрон-позитронного вакуума, и создает релятивистскую круговую струну Керра-Ньюмана комптоновского размера.

Предельные случаи

Можно видеть, что метрика Керра – Ньюмана в предельных случаях сводится к другим точным решениям в общей теории относительности . Это сводится к

• метрика Керра , когда заряд Q стремится к нулю;
• метрика Рейсснера –Нордстрема как угловой момент J (или a = ⁠ J / M ⁠ ) стремится к нулю;
• метрика Шварцшильда , поскольку и заряд Q , и угловой момент J (или a ) приравниваются к нулю; и
• Пространство Минковского , если масса M , заряд Q и параметр вращения a равны нулю.

С другой стороны, если предполагается устранить гравитацию, пространство Минковского возникает, если гравитационная постоянная G равна нулю, без приведения массы и заряда к нулю. В этом случае электрические и магнитные поля сложнее, чем просто поля заряженного магнитного диполя ; предел невесомости нетривиален.

Метрика

Метрика Керра-Ньюмана описывает геометрию времени для вращающейся заряженной черной дыры с массой M , зарядом Q и угловым моментом J. пространства - Формула для этой метрики зависит от того, какие координаты или условия координат выбраны. Ниже приведены две формы: координаты Бойера – Линдквиста и координаты Керра – Шильда. Одной гравитационной метрики недостаточно для определения решения уравнений поля Эйнштейна; Также необходимо задать тензор электромагнитных напряжений. Оба представлены в каждом разделе.

Координаты Бойера – Линдквиста

Основная статья: координаты Бойера – Линдквиста

Один из способов выразить эту метрику — записать ее линейный элемент в определенном наборе сферических координат : также называемые координатами Бойера – Линдквиста :

$c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},$

где координаты ( r , θ , φ ) — стандартная сферическая система координат , а масштабы длин:

$a={\frac {J}{Mc}}\,,$

$\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,$

$\Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,$

были введены для краткости. Здесь r _s — радиус Шварцшильда массивного тела, который связан с его полным эквивалентом массы M соотношением

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},$

где G — гравитационная постоянная , а r _Q — масштаб длины, соответствующий электрическому заряду Q массы

$r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Тензор электромагнитного поля в форме Бойера – Линдквиста

Электромагнитный потенциал в координатах Бойера – Линдквиста равен

$A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)$

а тензор Максвелла определяется формулой

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }$

В сочетании с символами Кристоффеля второго порядка уравнения движения можно вывести с помощью

${{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},$

где $q$ — заряд на массу пробной частицы.

Координаты Керра – Шилда

Метрика Керра-Ньюмана может быть выражена в форме Керра-Шилда , используя определенный набор декартовых координат , предложенный Керром и Шильдом в 1965 году. Метрика выглядит следующим образом.

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!$

$f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]$

$\mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)$

$k_{0}=1.\!$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса вращающегося объекта, Q — постоянный заряд вращающегося объекта, η — метрика Минковского , а a = J / M — постоянный параметр вращения вращающегося объекта. Понятно, что вектор ${\vec {a}}$ направлено вдоль положительной оси z, т.е. ${\vec {a}}=a{\hat {z}}$. Величина r не является радиусом, а неявно определяется соотношением

$1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.$

Обратите внимание, что величина r становится обычным радиусом R

$r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

когда параметр вращения a приближается к нулю. В этом виде решения единицы выбираются так, чтобы скорость света была равна единице ( c = 1). Чтобы обеспечить полное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла , решение Керра-Ньюмана включает не только формулу для метрического тензора, но и формулу для электромагнитного потенциала:

$A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }$

На больших расстояниях от источника ( R ≫ a ) эти уравнения сводятся к метрике Рейсснера – Нордстрема с:

$A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }$

В форме Керра–Шилда метрики Керра–Ньюмана определитель метрического тензора всюду равен отрицательному, даже вблизи источника.

Электромагнитные поля в форме Керра – Шильда.

Электрическое и магнитное поля можно получить обычным способом, дифференцируя четырехпотенциал и получая тензор напряженности электромагнитного поля . Будет удобно перейти к трехмерной векторной записи.

$A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,$

Статические электрические и магнитные поля получаются из векторного потенциала и скалярного потенциала следующим образом:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,$

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,$

Использование формулы Керра-Ньюмана для четырехпотенциала в форме Керра-Шилда в пределе, когда масса стремится к нулю, дает следующую краткую комплексную формулу для полей:

${\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,$

$\Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,$

Количество омега ( $\Omega$) в этом последнем уравнении аналогичен кулоновскому потенциалу , за исключением того, что радиус-вектор сдвинут на мнимую величину. Этот сложный потенциал обсуждался еще в девятнадцатом веке французским математиком Полем Эмилем Аппелем .

Неуменьшаемая масса

Полный эквивалент массы M , который содержит энергию электрического поля и энергию вращения , и неприводимую массу M _irr связаны соотношением

$M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}$

который можно инвертировать, чтобы получить

$M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}$

Чтобы электрически зарядить и/или вращать нейтральное и статичное тело, к системе необходимо приложить энергию. Благодаря эквивалентности массы и энергии эта энергия также имеет массовый эквивалент; поэтому M всегда выше, чем M _irr . Если, например, энергия вращения черной дыры извлекается с помощью процессов Пенроуза , всегда будет больше или равна Mirr _{оставшаяся масса- энергия} .

Важные поверхности

Горизонты событий и эргосферы заряженной и вращающейся черной дыры в псевдосферических координатах r , θ , φ и декартовых координатах x , y , z .

Параметр $1/g_{rr}$ до 0 и решаем $r$ дает внутренний и внешний горизонт событий , который расположен в координате Бойера – Линдквиста.

$r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.$

Повторяя этот шаг с $g_{tt}$ дает внутреннюю и внешнюю эргосферу

$r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.$

Пробная частица на орбите вокруг вращающейся и заряженной черной дыры ( a / M = 0,9, Q / M = 0,4)

Уравнения движения

Для краткости далее будем использовать безразмерные величины, нормированные по $G$, $M$, $c$ и $4\pi \epsilon _{0}$, где $a$ сводится к $Jc/G/M^{2}$ и $Q$ к ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$, а уравнения движения пробной частицы с зарядом $q$ становиться

${\dot {t}}={\frac {\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}{\Delta \rho ^{2}}}$

${\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\rho ^{2}}}$

${\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta }}{\rho ^{2}}}$

${\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}$

с $E$ для полной энергии и $L_{z}$ для осевого углового момента. $C$ постоянная Картера :

$C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},$

где $p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}$ - полоидиальная составляющая углового момента пробной частицы, а $\delta$ угол наклонения орбиты.

Рэй проследил тень вращающейся и заряженной черной дыры с аккреционным диском и параметрами a / M = 0,95, Q / M = 0,3. Левая сторона черной дыры вращается в сторону наблюдателя, наклон оси вращения относительно наблюдателя составляет 45°.

$L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}$

и

$E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}$

с $\mu ^{2}=0$ и $\mu ^{2}=1$ ведь частицы также являются сохраняющимися величинами.

$\Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}$

– угловая скорость, вызванная перетаскиванием рамы. Сокращенный термин $\chi$ определяется

$\chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .$

Связь между производными координат ${\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}$ и локальная 3-скорость $v$ является

$v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}$

для радиального,

$v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}$

для полоидиала,

$v^{\phi }={\frac {{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)}{{\bar {R}}\ \Sigma }}$

для осевого и

$v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}$

для полной локальной скорости, где

${\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta$

- осевой радиус вращения (локальная окружность, деленная на 2π), и

$\varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}$

компонент гравитационного замедления времени. Следовательно, локальная радиальная скорость убегания нейтральной частицы равна

$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.$

Библиография

• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 312–324. ISBN  978-0-226-87032-8 .

Внешние ссылки

• Адамо, Тим; Ньюман, Эзра (2014). «Метрика Керра – Ньюмана» . Схоларпедия . 9 (10): 31791. arXiv : 1410,6626 . Бибкод : 2014SchpJ...931791N . doi : 10.4249/scholarpedia.31791 . в соавторстве с Эзрой Т. Ньюманом самим
• SR Made Easy, глава 11: Заряженные и вращающиеся черные дыры и их термодинамика