Определение орбиты

Определение орбиты — это оценка орбит таких объектов, как луны, планеты и космические корабли. Одним из основных приложений является возможность отслеживать недавно наблюдаемые астероиды и проверять, что они не были обнаружены ранее. Основные методы были открыты в 17 веке и постоянно совершенствовались.

Наблюдения — это необработанные данные, вводимые в алгоритмы определения орбиты. Наблюдения, выполняемые наземным наблюдателем, обычно состоят из значений азимута , высоты , дальности и/или скорости дальности с метками времени . телескопы или радиолокационная Используются аппаратура, поскольку наблюдения невооруженным глазом недостаточны для точного определения орбиты. При большем количестве или более качественных наблюдениях точность процесса определения орбиты также повышается, и в результате возникает меньше « ложных тревог ».

После определения орбит можно использовать математические методы распространения для прогнозирования будущих положений орбитальных объектов. С течением времени фактическая траектория вращающегося объекта имеет тенденцию отклоняться от прогнозируемой траектории (особенно если объект подвержен трудно прогнозируемым возмущениям, таким как сопротивление атмосферы ), и определение новой орбиты с использованием новых наблюдений служит для повторного определения орбиты. -калибровать знания об орбите.

Спутниковое слежение — еще одно важное приложение. Для США и стран-партнеров, насколько позволяют оптические и радиолокационные ресурсы, Объединенный центр космических операций собирает данные наблюдений за всеми объектами на околоземной орбите. Наблюдения используются в расчетах определения новой орбиты, которые поддерживают общую точность спутникового каталога . В расчетах предотвращения столкновений эти данные могут использоваться для расчета вероятности того, что один орбитальный объект столкнется с другим. Оператор спутника может принять решение о корректировке орбиты, если риск столкновения на нынешней орбите неприемлем. (Невозможно скорректировать орбиту для событий с очень низкой вероятностью; вскоре будет израсходовано топливо, которое спутник несет для поддержания орбитальной станции .) Другие страны, включая Россию и Китай , имеют аналогичные средства слежения.

История

Определение орбит имеет долгую историю, начавшуюся с доисторического открытия планет и последующих попыток предсказать их движение. Иоганн Кеплер использовал Тихо Браге тщательные наблюдения за Марсом , чтобы вывести эллиптическую форму его орбиты и его ориентацию в пространстве, выведя свои три закона движения планет при этом .

Математические методы определения орбиты возникли с публикацией в 1687 году первого издания « Ньютона Начал» , в котором был дан метод определения орбиты тела, следующего по параболической траектории, по трем наблюдениям. ^[1] Это использовалось Эдмундом Галлеем для установления орбит различных комет , в том числе и той, которая носит его имя. Метод последовательного приближения Ньютона был формализован в аналитический метод Эйлером в 1744 году, чьи работы, в свою очередь, были обобщены на эллиптические и гиперболические орбиты Ламбертом в 1761–1777 годах.

Еще одной вехой в определении орбиты стала помощь Карла Фридриха Гаусса в «восстановлении» карликовой планеты Церера в 1801 году. Метод Гаусса позволил использовать всего три наблюдения (в виде небесных координат ), чтобы найти шесть орбитальных элементов , которые полностью описать орбиту. Теория определения орбиты впоследствии была развита до такой степени, что сегодня она применяется в GPS-приемниках, а также для отслеживания и каталогизации вновь наблюдаемых малых планет .

Данные наблюдений

Для определения неизвестной орбиты тела некоторые наблюдения необходимы за его движением во времени. В ранней современной астрономии единственными доступными данными наблюдений небесных объектов были прямое восхождение и склонение , полученные путем наблюдения за телом, когда оно двигалось по своей дуге наблюдения , относительно неподвижных звезд , с помощью оптического телескопа . Это соответствует знанию относительного направления объекта в пространстве, измеренного от наблюдателя, но без знания расстояния до объекта, т. е. результирующее измерение содержит только информацию о направлении, например, единичный вектор .

С помощью радара измерения относительного расстояния (по времени радиолокационного эха) и измерения относительной скорости (путем измерения эффекта Доплера радиолокационного эха) возможны с использованием радиотелескопов . Однако мощность возвращаемого сигнала радара быстро уменьшается, поскольку обратна четвертой степени дальности до объекта. Обычно это ограничивает радиолокационные наблюдения объектами, относительно близкими к Земле, такими как искусственные спутники и околоземные объекты . Большие апертуры позволяют отслеживать транспондеры на межпланетных космических кораблях по всей Солнечной системе, а также проводить радиолокационную астрономию естественных тел.

Различные космические агентства и коммерческие поставщики используют сети слежения для обеспечения таких наблюдений. см . в разделе «Категория: Сети дальнего космоса» Частичный список . Также регулярно осуществляется космическое слежение за спутниками. См. Список радиотелескопов # Космического базирования и космической сети .

Методы

При определении орбиты необходимо учитывать, что на кажущееся небесное движение тела влияет собственное движение наблюдателя. Например, наблюдатель на Земле, отслеживающий астероид, должен учитывать движение Земли вокруг Солнца , вращение Земли, а также местную широту и долготу наблюдателя, поскольку они влияют на видимое положение тела.

Ключевое наблюдение заключается в том, что (в близком приближении) все объекты движутся по орбитам, имеющим конические сечения , с притягивающим телом (таким как Солнце или Земля) в главном фокусе , и что орбита лежит в фиксированной плоскости. Все векторы , проведенные от притягивающего тела к телу в разные моменты времени, будут лежать в плоскости орбиты .

Если известны положение и скорость относительно наблюдателя (как в случае радиолокационных наблюдений), эти данные наблюдений можно скорректировать по известным положению и скорости наблюдателя относительно притягивающего тела в момент наблюдения. Это определяет положение и скорость относительно притягивающего тела. Если имеются два таких наблюдения, а также разница во времени между ними, орбиту можно определить с помощью метода Ламберта, изобретенного в XVIII веке. см . в задаче Ламберта Подробности .

Даже если информация о расстоянии отсутствует, орбиту все равно можно определить, если были сделаны три или более наблюдений прямого восхождения и склонения тела. Метод Гаусса , прославившийся благодаря его «восстановлению» в 1801 году первой потерянной малой планеты , Цереры , впоследствии был отшлифован.

Одно из применений — определение масс астероидов динамическим методом . В этой процедуре метод Гаусса используется дважды: до и после тесного взаимодействия двух астероидов. После определения обеих орбит можно определить массу одного или обоих астероидов. ^{[ нужна ссылка ]}

Определение орбиты по вектору состояния

Основная задача определения орбиты состоит в определении классических орбитальных элементов или кеплеровских элементов . $a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu$ , из векторов состояния орбиты [ ${\vec {r}},{\vec {v}}$ ], вращающегося тела относительно системы отсчета его центрального тела. Центральные тела являются источниками гравитационных сил, как Солнце, Земля, Луна и другие планеты. С другой стороны, к орбитальным телам относятся планеты, вращающиеся вокруг Солнца, искусственные спутники, вращающиеся вокруг Земли, и космические корабли, вращающиеся вокруг планет. Ньютона Законы движения объяснят траекторию вращающегося тела, известную как кеплерова орбита .

Шаги определения орбиты по одному вектору состояния суммируются следующим образом:

Вычислите конкретный угловой момент ${\vec {h}}$ орбитального тела от его вектора состояния: ${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},$ где ${\vec {k}}$ - единичный вектор оси z орбитальной плоскости. Удельный угловой момент представляет собой постоянный вектор вращающегося тела, направление которого перпендикулярно плоскости орбиты вращающегося тела.
Вычислите восходящего узла вектор ${\vec {n}}$ от ${\vec {h}}$ , с ${\vec {K}}$ представляющий единичный вектор оси Z базовой плоскости, который перпендикулярен базовой плоскости центрального тела: ${\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.$ Вектор восходящего узла — это вектор, направленный от центрального тела к восходящему узлу плоскости орбиты вращающегося тела. Поскольку линия восходящего узла является линией пересечения орбитальной плоскости и опорной плоскости, она перпендикулярна обоим нормальным векторам опорной плоскости ( ${\vec {K}}$ ) и плоскость орбиты ( ${\vec {k}}$ или ${\vec {h}}$ ). Следовательно, вектор восходящего узла может быть определен как векторное произведение этих двух векторов.
Вычислите вектор эксцентриситета ${\vec {e}}$ орбиты. Вектор эксцентриситета имеет величину эксцентриситета , $e$ , орбиты и указывает на направление перицентра орбиты . Это направление часто определяется как ось X орбитальной плоскости и имеет единичный вектор. ${\vec {i}}$ . По закону движения это можно выразить так: ${\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}$ $e=\left|{\vec {e}}\right|$ где $\mu =GM$ - стандартный гравитационный параметр для центрального тела массы $M$ , и $G$ — универсальная гравитационная постоянная .
Вычислите полурасширенную прямую кишку $p$ орбиты и ее большая полуось $a$ (если это не параболическая орбита , где $e=1$ и $a$ не определено или определяется как бесконечность): $p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})$ $a={\frac {p}{1-e^{2}}},$ (если $e\neq 1$ ).
Вычислить наклон $i$ плоскости орбиты относительно базовой плоскости: ${\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}$ где $h_{K}$ это координата Z ${\vec {h}}$ когда оно проецируется на систему отсчета.
Вычислить долготу восходящего узла $\Omega$ , который представляет собой угол между восходящей линией и осью X системы отсчета: ${\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}$ где $n_{I}$ и $n_{J}$ – координаты X и Y соответственно ${\vec {n}}$ , в системе отсчета.
Обратите внимание, что $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$ , но $\arccos(C)$ определяется только в [0,180] градусах. Так $\arccos(C)$ неоднозначно, поскольку существует два угла, $A$ и $360-A$ в [0,360], у которых одинаковые $\cos$ ценить. На самом деле это может вернуть угол $A$ или $360-A$ . Следовательно, мы должны выносить суждение на основе знака координаты Y вектора в плоскости, где измеряется угол. В этом случае, $n_{J}$ может быть использован для такого суждения.
Вычислите аргумент периапсиса $\omega$ , который представляет собой угол между перицентром и восходящей линией: ${\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}$ где $e_{K}$ это координата Z ${\vec {e}}$ в системе отсчета.
Вычислите истинную аномалию $\nu$ в эпоху, которая представляет собой угол между вектором положения и перицентром в определенное время («эпоху») наблюдения: ${\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}$ Знак ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ можно использовать для проверки квадранта $\nu$ и исправить $\arccos$ угол, потому что он имеет тот же знак, что и угол траектории полета $\phi$ . При этом знак угла траектории полета всегда положителен, если $\nu \in [0,180^{\circ }]$ и отрицательный, когда $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ . ^[1] Оба связаны $h=rv\sin(90-\phi )$ и ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$ .
При желании мы можем вычислить аргумент широты $u=\omega +\nu$ в эпоху, которая представляет собой угол между вектором положения и восходящей линией в определенный момент времени: ${\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}$ где $r_{K}$ это координата Z ${\vec {r}}$ в системе отсчета.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Бейт Р.Р., Мюллер Д.Д., Уайт Дж.Э. Основы астродинамики . Курьерская корпорация; 1971. Глава 2, стр. 51 и след.

Дальнейшее чтение

Кертис, Х.; Орбитальная механика для студентов-инженеров , глава 5; Эльзевир (2005) ISBN 0-7506-6169-0 .
Тафф, Л.; Небесная механика , главы 7, 8; Уайли-Интерсайенс (1985) ISBN 0-471-89316-1 .
Бейт, Мюллер, Уайт; Основы астродинамики , главы 2, 5; Дувр (1971) ISBN 0-486-60061-0 .
Мадонна Р.; Орбитальная механика , глава 3; Кригер (1997) ISBN 0-89464-010-0 .
Шютц, Тэпли, Борн; Статистическое определение орбиты , Академическое издательство. ISBN 978-0126836301
Определение орбиты спутника , Колледж Коустал-Бенд, Техас

[BateMuellerWhite-1] Jump up to: ^а ^б Бейт Р.Р., Мюллер Д.Д., Уайт Дж.Э. Основы астродинамики . Курьерская корпорация; 1971. Глава 2, стр. 51 и след.

[1]