Радиальная траектория

В астродинамике и небесной механике радиальная траектория — это кеплеровская орбита с нулевым угловым моментом . Два объекта по радиальной траектории движутся прямо навстречу или друг от друга по прямой линии.

Классификация

Существует три типа радиальных траекторий (орбит). ^{[ 1 ]}

Радиально-эллиптическая траектория : орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента соприкосновения тел друг с другом и удаления друг от друга до момента их повторного соприкосновения. Относительная скорость двух объектов меньше скорости убегания . Это эллиптическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Если коэффициент восстановления двух тел равен 1 (совершенно упругий), эта орбита является периодической. Если коэффициент восстановления меньше 1 (неэластичный), эта орбита непериодическая.
Радиальная параболическая траектория — непериодическая орбита, на которой относительная скорость двух объектов всегда равна скорости убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу.
Радиальная гиперболическая траектория : непериодическая орбита, на которой относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

В отличие от стандартных орбит, которые классифицируются по эксцентриситету орбиты , радиальные орбиты классифицируются по удельной орбитальной энергии , постоянной сумме полной кинетической и потенциальной энергии, разделенной на приведенную массу : $\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}$ где $x$ — расстояние между центрами масс, $v$ — относительная скорость, а $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ — стандартный гравитационный параметр .

Другая константа определяется выражением: $w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}$

Для эллиптических траекторий w положительно. Это величина, обратная расстоянию апоапсиса (максимальному расстоянию).
Для параболических траекторий w равно нулю.
Для гиперболических траекторий w отрицательно. $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ где $\textstyle v_{\infty }$ - скорость на бесконечном расстоянии.

Время как функция расстояния

Учитывая расстояние и скорость в любой момент времени, а также общую массу, можно определить положение в любой другой момент времени.

Первым шагом является определение константы $w$ . Используйте знак $w,$ чтобы определить тип орбиты. $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ где ${\textstyle x_{0}}$ и ${\textstyle v_{0}}$ расстояние и относительная скорость в любой момент времени.

Параболическая траектория

$t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}$ где $t$ — время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а $x$ — расстояние.

Это уравнение применимо только к радиальным параболическим траекториям, общие параболические траектории см. Уравнение Баркера .

Эллиптическая траектория

$t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}$ где $t$ — время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а $x$ — расстояние.

Это радиальное уравнение Кеплера . ^{[ 2 ]}

Гиперболическая траектория

$t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}$ где t — время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а x — расстояние.

Универсальная форма (любая траектория)

Радиальное уравнение Кеплера можно сделать «универсальным» (применимым ко всем траекториям): $t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}$ или разложив в степенной ряд: $t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}$

Радиальная задача Кеплера (расстояние как функция времени)

Проблема нахождения разделения двух тел в данный момент времени, учитывая их расстояние и скорость в другой момент времени, известна как проблема Кеплера . В этом разделе решается задача Кеплера для радиальных орбит.

Первым шагом является определение константы ${\textstyle w}$ . Используйте знак ${\textstyle w}$ определить тип орбиты. $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ Где ${\textstyle x_{0}}$ и ${\textstyle v_{0}}$ расстояние и скорость в любой момент времени.

Параболическая траектория

$x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$

Универсальная форма (любая траектория)

Используются две промежуточные величины: $w$ и расстояние в момент времени $t,$ которое было бы у тел, если бы они двигались по параболической траектории, $p$ . $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}$

Где $t$ — время, $x_{0}$ это исходное положение, $v_{0}$ - начальная скорость, а $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ .

Обратное радиальное уравнение Кеплера является решением радиальной задачи Кеплера: $x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)$

Оценка этого дает: $x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots$

Степенные ряды можно легко дифференцировать почленно. Повторное дифференцирование дает формулы скорости, ускорения, рывка, щелчка и т. д.

Орбита внутри радиального вала

Орбита внутри радиального вала в однородном сферическом теле ^{[ 3 ]} было бы простым гармоническим движением , поскольку сила тяжести внутри такого тела пропорциональна расстоянию до центра. Если маленькое тело входит в большое тело и/или выходит из него на его поверхности, орбита меняется с одной из описанных выше или на одну из них. Например, если вал простирается от поверхности к поверхности, возможна замкнутая орбита, состоящая из частей двух циклов простого гармонического движения и частей двух разных (но симметричных) радиальных эллиптических орбит.

См. также

Ссылки

Коуэлл, Питер (1993), Решение уравнения Кеплера за три столетия, Уильям Белл.

^ Томсон, Уильям Тиррелл; Введение в космическую динамику , Дувр, 1986 г.
^ Браун, Кевин; Математические страницы
^ Строго говоря, это противоречие. Однако предполагается, что вал оказывает незначительное влияние на силу тяжести.

Внешние ссылки

Уравнение Кеплера в Mathworld [1]

[1] Томсон, Уильям Тиррелл; Введение в космическую динамику , Дувр, 1986 г.

[2] Браун, Кевин; Математические страницы

[3] Строго говоря, это противоречие. Однако предполагается, что вал оказывает незначительное влияние на силу тяжести.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]