Jump to content

Коническая спираль

Коническая спираль с архимедовой спиралью в качестве проекции пола.
Проекция пола: спираль Ферма
Проекция пола: логарифмическая спираль
Проекция пола: гиперболическая спираль

В математике , коническая спираль также известная как коническая спираль , [1] пространственная кривая на правом круговом конусе , проекция дна которого представляет собой плоскую спираль . Если проекция пола представляет собой логарифмическую спираль , она называется конхоспиральной (от conch ).

Параметрическое представление

[ редактировать ]

В - -плоскость спирали с параметрическим представлением

третья координата можно добавить так, чтобы пространственная кривая лежала на конусе с уравнением  :

Такие кривые называются коническими спиралями. [2] Они были известны Паппу .

Параметр - наклон линий конуса относительно - -самолет.

Вместо этого коническую спираль можно рассматривать как ортогональную проекцию спирали плана этажа на конус.

1) Начиная с архимедовой спирали дает коническую спираль (см. схему)
В этом случае коническую спираль можно рассматривать как кривую пересечения конуса с геликоидом .
2) На второй схеме изображена коническая спираль со спиралью Ферма. как план этажа.
3) Третий пример имеет логарифмическую спираль. как план этажа. Его особенностью является постоянный наклон (см. ниже).
Знакомство с аббревиатурой дает описание: .
4) Пример 4 основан на гиперболической спирали. . Такая спираль имеет асимптоту (черная линия), которая представляет собой план гиперболы ( фиолетовый цвет). Коническая спираль приближается к гиперболе для .

Характеристики

[ редактировать ]

Следующее исследование посвящено коническим спиралям вида и , соответственно.

Угол наклона в точке конической спирали

Наклон в точке конической спирали — это наклон касательной к этой точке относительно - -самолет. Соответствующий угол является углом его наклона (см. схему):

Спираль с дает:

Ведь архимедова спираль и, следовательно, его наклон равен

  • Для логарифмической спирали с наклон ( ).

Из-за этого свойства конхоспираль называется равноугольной конической спиралью.

Длина дуги

[ редактировать ]

Длину дуги конической спирали можно определить по формуле

Для архимедовой спирали интеграл можно решить с помощью таблицы интегралов аналогично плоскому случаю:

Для логарифмической спирали интеграл легко решается:

В других случаях встречаются эллиптические интегралы .

Разработка

[ редактировать ]
Развитие (зеленый) конической спирали (красный), справа: вид сбоку. Самолет, содержащий разработку, спроектирован . Первоначально конус и плоскость касаются фиолетовой линии.

Для развития конической спирали [3] расстояние точки кривой до вершины конуса и связь между углом и соответствующий угол развития необходимо определить:

Следовательно, полярное представление развитой конической спирали таково:

В случае полярное представление развитой кривой имеет вид

которое описывает спираль того же типа.

  • Если план конической спирали представляет собой архимедову спираль, то ее развитие является архимедовой спиралью.
В случае гиперболической спирали ( ) застройка соответствует спирали плана этажа.

В случае логарифмической спирали развитие представляет собой логарифмическую спираль:

Касательная трасса

[ редактировать ]
След (фиолетовый) касательных конической спирали к гиперболической спирали в качестве плана этажа. Черная линия — асимптота гиперболической спирали.

Совокупность точек пересечения касательных конической спирали с - -плоскость (плоскость, проходящая через вершину конуса) называется его касательной трассой .

Для конической спирали

касательный вектор

и касательная:

Точка пересечения с - -плоскость имеет параметр и точка пересечения

дает а касательная линия представляет собой спираль. В случае (гиперболическая спираль) касательная дорожка вырождается в окружность радиуса (см. схему). Для у одного есть а касательная трасса представляет собой логарифмическую спираль, которая конгруэнтна плану этажа из-за самоподобия логарифмической спирали.

Раковины улиток ( Neptunea angulata слева, справа: Neptunea despecta).
  1. ^ «Коническая спираль» . MATHCURVE.COM . Проверено 3 марта 2022 г.
  2. ^ Зигмунд Гюнтер, Антон Эдлер фон Браунмюль, Генрих Вилейтнер: История математики. Г. Я. Гёшен, 1921, с. 92.
  3. ^ Теодор Шмид: Начертательная геометрия. Том 2, Товарищество научных издателей, 1921, с. 229.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 52e64e420176823ec685cd0f6dec0f2a__1715256900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/52/2a/52e64e420176823ec685cd0f6dec0f2a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Conical spiral - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)