Картографическая проекция

Средневековое изображение Ойкумены ( Птолемея 1482 г., Иоганнес Шнитцер, гравер), построенное по координатам из «Географии» и с использованием его второй картографической проекции.

В картографии картографическая проекция — это любое из широкого набора преобразований, используемых для представления изогнутой двумерной поверхности земного шара на плоскости . В картографической проекции координаты , часто выражаемые как широта и долгота , преобразуются в координаты на плоскости. мест с поверхности земного шара Проекция — необходимый этап создания двухмерной карты и один из важнейших элементов картографии.

Все проекции сферы на плоскость обязательно так или иначе искажают поверхность. В зависимости от цели карты некоторые искажения допустимы, а другие нет; поэтому существуют разные картографические проекции, чтобы сохранить некоторые свойства сферического тела за счет других свойств. Изучение картографических проекций заключается прежде всего в характеристике их искажений. Количество возможных картографических проекций не ограничено. В более общем плане проекции рассматриваются в нескольких областях чистой математики, включая дифференциальную геометрию , проективную геометрию и многообразия . Однако термин «картографическая проекция» относится конкретно к картографической проекции.

Несмотря на буквальное значение названия, проекция не ограничивается перспективными проекциями, например, возникающими в результате отбрасывания тени на экран или прямолинейного изображения, создаваемого камерой-обскурой на плоской пленочной пластинке. Скорее, любая математическая функция, которая четко и плавно преобразует координаты искривленной поверхности в плоскость, является проекцией. Немногие прогнозы в практическом использовании являются перспективными.

В большей части этой статьи предполагается, что отображаемая поверхность представляет собой сферу. Землю , тогда как небольшие объекты , и другие крупные небесные тела обычно лучше моделировать как сплюснутые сфероиды такие как астероиды, часто имеют неправильную форму. Поверхности планетных тел можно нанести на карту, даже если они слишком неровные, чтобы их можно было хорошо смоделировать с помощью сферы или эллипсоида. Следовательно, в более общем смысле картографическая проекция — это любой метод выравнивания непрерывной изогнутой поверхности на плоскость.

Самая известная картографическая проекция — проекция Меркатора . Эта картографическая проекция имеет свойство конформности . Однако на протяжении всего 20 века его критиковали за расширение регионов дальше от экватора. Напротив, проекции равной площади, такие как синусоидальная проекция и проекция Галла-Питерса, показывают правильные размеры стран относительно друг друга, но искажают углы. Национальное географическое общество и большинство атласов отдают предпочтение картографическим проекциям, которые обеспечивают компромисс между площадью и угловыми искажениями, например, проекция Робинсона и трипельная проекция Винкеля .

Метрические свойства карт

точно Проекция Альберса показывает площади, но искажает формы.

Многие свойства можно измерить на поверхности Земли независимо от ее географического положения:

• Область
• Форма
• Направление
• Несущий
• Расстояние

Картографические проекции могут быть построены так, чтобы сохранить некоторые из этих свойств за счет других. Поскольку искривленная поверхность Земли не изометрична плоскости, сохранение форм неизбежно требует переменного масштаба и, следовательно, непропорционального представления площадей. Точно так же проекция, сохраняющая площадь, не может быть конформной , что приводит к искажению форм и направлений в большинстве мест карты. Каждая проекция по-разному сохраняет, компрометирует или аппроксимирует основные свойства метрики. Цель карты определяет, какая проекция должна лечь в основу карты. Поскольку карты имеют множество различных целей, для этих целей было создано множество проекций.

Еще одним соображением при настройке проекции является ее совместимость с наборами данных, которые будут использоваться на карте. Наборы данных представляют собой географическую информацию; их набор зависит от выбранного датума (модели) Земли. Разные датумы присваивают одному и тому же место немного разные координаты, поэтому на крупномасштабных картах, например картах национальных картографических систем, важно сопоставить датум с проекцией. Небольшие различия в присвоении координат между разными базами данных не являются проблемой для карт мира или карт крупных регионов, где такие различия сводятся к незаметности.

Искажение

Основная статья: индикатриса Тиссо

Карла Фридриха Гаусса « Теорема Эгрегиум» доказала, что поверхность сферы невозможно представить на плоскости без искажений. То же самое относится и к другим опорным поверхностям, используемым в качестве моделей Земли, таким как сплюснутые сфероиды , эллипсоиды и геоиды . Поскольку любая картографическая проекция является представлением одной из этих поверхностей на плоскости, все картографические проекции искажаются.

Индикаторы Tissot по проекции Меркатора

Классический способ показать искажение, присущее проекции, — использовать индикатрису Тиссо . Для данной точки, используя масштабный коэффициент h вдоль меридиана, масштабный коэффициент k вдоль параллели и угол θ ′ между ними, Николя Тиссо описал, как построить эллипс, который иллюстрирует количество и ориентацию компонентов искажения. Благодаря регулярному расположению эллипсов вдоль меридианов и параллелей сеть индикатрис показывает, как искажения варьируются по карте.

Другие показатели искажений

Было описано множество других способов отображения искажений в проекциях. Как и индикатриса Тиссо, индикатриса Гольдберга-Готта основана на бесконечно малых величинах и изображает изгиба и асимметрии (изгиба и однобокости). искажения

Вместо исходного (увеличенного) бесконечно малого круга, как в индикатрисе Тиссо, некоторые визуальные методы проецируют конечные формы, охватывающие часть карты.Например, небольшой круг фиксированного радиуса (например, угловой радиус 15 градусов ). Иногда сферические треугольники . используются В первой половине 20-го века проецирование человеческой головы на разные проекции было обычным явлением, чтобы показать, как искажение варьируется в одной проекции по сравнению с другой. В динамических средах формы знакомых береговых линий и границ можно перетаскивать по интерактивной карте, чтобы показать, как проекция искажает размеры и формы в зависимости от положения на карте.

Другой способ визуализировать локальное искажение — использовать оттенки серого или градации цвета, оттенок которых отражает величину угловой деформации или расширения площади. Иногда оба цвета отображаются одновременно путем смешивания двух цветов для создания двумерной карты .

Измерение искажений в глобальном масштабе по всем областям, а не только в одной точке, обязательно предполагает выбор приоритетов для достижения компромисса. В некоторых схемах искажение расстояния используется как показатель сочетания угловой деформации и расширения площади; такие методы произвольно выбирают, какие пути измерять и как их взвешивать, чтобы получить единый результат. Многие из них описаны.

Проектирование и строительство

Создание картографической проекции включает в себя два этапа:

1. Подбор модели по форме Земли или планетарного тела (обычно выбираем между сферой или эллипсоидом ). Поскольку фактическая форма Земли неправильная, на этом этапе информация теряется.
2. Преобразование географических координат ( долготы и широты ) в декартовы ( x , y ) или полярные ( r , θ ) координаты плоскости. На крупномасштабных картах декартовы координаты обычно имеют простое отношение к восточному и северному направлениям, определяемым как сетка, наложенная на проекцию. На мелкомасштабных картах восточные и северные направления не имеют значения, а сетки не накладываются.

Некоторые из простейших картографических проекций представляют собой буквальные проекции, получаемые путем размещения источника света в некоторой определенной точке относительно земного шара и проецирования его элементов на заданную поверхность. Хотя большинство проекций не определяются таким образом, изображение модели источника света и глобуса может быть полезным для понимания базовой концепции картографической проекции.

Выбор проекционной поверхности

отображает Цилиндрическая проекция Миллера земной шар на цилиндр.

Поверхность, которую можно развернуть или развернуть в плоскость или лист без растяжения, разрыва или сжатия, называется развертывающейся поверхностью . Цилиндр . , конус и плоскость — развертывающиеся поверхности Сфера и эллипсоид не имеют развертывающихся поверхностей, поэтому любая их проекция на плоскость должна будет исказить изображение. (Для сравнения: нельзя сплющить апельсиновую корку, не порвав и не деформировав ее.)

Один из способов описания проекции — сначала спроецировать поверхность Земли на развертывающуюся поверхность, например цилиндр или конус, а затем развернуть поверхность в плоскость. Хотя первый шаг неизбежно искажает некоторые свойства шара, развертываемую поверхность затем можно развернуть без дальнейшего искажения.

Аспект проекции

Эта поперечная проекция Меркатора математически аналогична стандартной проекции Меркатора, но ориентирована вокруг другой оси.

После того, как сделан выбор между проецированием на цилиндр, конус или плоскость, необходимо указать аспект формы. Аспект описывает, как развертывающаяся поверхность размещается относительно земного шара: она может быть нормальной (такой, что ось симметрии поверхности совпадает с осью Земли), поперечной (под прямым углом к ​​оси Земли) или наклонной (любой угол между ).

Известные линии

Сравнение касательных и секущих цилиндрических, конических и азимутальных проекций карты со стандартными параллелями, показанными красным цветом.

Развертывающаяся поверхность также может быть касательной или секущей к сфере или эллипсоиду. Касательная означает, что поверхность касается земного шара, но не пересекает его; секущая означает, что поверхность действительно разрезает земной шар. Отведение развертывающейся поверхности от контакта с земным шаром никогда не сохраняет и не оптимизирует метрические свойства, поэтому эта возможность далее здесь не обсуждается.

Касательные и секущие линии ( стандартные линии ) отображаются неискаженными. Если эти линии являются параллелью широты, как в конических проекциях, то она называется стандартной параллелью . Центральный меридиан — это меридиан, вокруг которого вращается земной шар перед проецированием. Центральный меридиан (обычно обозначаемый λ ₀ ) и параллель начала координат (обычно обозначаемая φ ₀ ) часто используются для определения начала координат картографической проекции.

Шкала

Дополнительная информация: Масштабный коэффициент карты.

Глобус — единственный способ представить Землю в постоянном масштабе по всей карте во всех направлениях. Карта не может достичь этого свойства для любой области, какой бы маленькой она ни была. Однако можно добиться постоянного масштаба по определенным направлениям.

Некоторые возможные свойства:

• Масштаб зависит от местоположения, а не от направления. Это эквивалентно сохранению углов, определяющей характеристики конформной карты .
• Масштаб постоянен вдоль любой параллели в направлении параллели. Это справедливо для любой цилиндрической или псевдоцилиндрической проекции в нормальном аспекте.
• Комбинация вышеперечисленного: масштаб зависит только от широты, а не от долготы или направления. Это относится к проекции Меркатора в нормальном аспекте.
• Масштаб постоянен вдоль всех прямых линий, исходящих из определенного географического местоположения. Это определяющая характеристика эквидистантной проекции, такой как азимутальная эквидистантная проекция . Существуют также проекции ( двухточечная равноудаленная проекция истинные расстояния от двух точек. Маурера, Close), где сохраняются

Выбор модели по форме тела

На построение проекции также влияет то, как аппроксимируется форма Земли или планетарного тела. В следующем разделе о категориях проекций Земля рассматривается как сфера , чтобы упростить обсуждение. Однако реальная форма Земли ближе к сплюснутому эллипсоиду . Независимо от того, имеют ли они сферическую или эллипсоидную форму, обсуждаемые принципы сохраняются без потери общности.

Выбор модели формы Земли предполагает выбор между преимуществами и недостатками сферы по сравнению с эллипсоидом. Сферические модели полезны для мелкомасштабных карт, таких как атласы мира и глобусы, поскольку ошибка в этом масштабе обычно не заметна и не настолько важна, чтобы оправдать использование более сложного эллипсоида. Эллипсоидальная модель обычно используется для построения топографических карт и других карт крупного и среднего масштаба, на которых необходимо точно отображать поверхность суши. вспомогательные широты При проектировании эллипсоида часто используются .

Третья модель — геоид , более сложное и точное представление формы Земли, совпадающее с тем, каким был бы средний уровень моря, если бы не было ветров, приливов и суши. По сравнению с эллипсоидом наилучшего соответствия геоидальная модель изменит характеристики таких важных свойств, как расстояние, конформность и эквивалентность . Следовательно, в геоидальных проекциях, сохраняющих такие свойства, отображаемая сетка будет отклоняться от сетки отображаемого эллипсоида. Однако обычно геоид не используется в качестве модели Земли для проекций, поскольку форма Земли очень правильная: волнистость геоида составляет менее 100 м от эллипсоидальной модели из радиуса Земли в 6,3 миллиона м . Однако для планетарных тел неправильной формы, таких как астероиды , иногда для проецирования карт используются модели, аналогичные геоиду.

Другие правильные твердые тела иногда используются как обобщения геоидального эквивалента меньших тел. Например, Ио лучше моделируется трехосным эллипсоидом или вытянутым сфероидом с небольшими эксцентриситетами. Хаумеа Форма представляет собой эллипсоид Якоби которого , большая ось в два раза длиннее малой, а средняя ось в полтора раза длиннее малой. см. в картографической проекции трехосного эллипсоида Дополнительную информацию .

Классификация

Один из способов классификации картографических проекций основан на типе поверхности, на которую проецируется земной шар. В этой схеме процесс проецирования описывается как размещение гипотетической проекционной поверхности размером с желаемую область исследования в контакте с частью Земли, перенос особенностей земной поверхности на проекционную поверхность, затем распутывание и масштабирование проекционной поверхности в плоская карта. Наиболее распространенными проекционными поверхностями являются цилиндрические (например, Меркатора ), конические (например, Альберса ) и плоские (например, стереографические ). Однако многие математические прогнозы не вписываются ни в один из этих трех методов прогнозирования. Следовательно, в литературе были описаны другие одноранговые категории, такие как псевдоконические, псевдоцилиндрические, псевдоазимутальные, ретроазимутальные и поликонические .

Другой способ классификации проекций — по свойствам модели, которую они сохраняют. Некоторые из наиболее распространенных категорий:

• Сохранение направления ( азимутальное или зенитное ), черта возможна только от одной или двух точек до каждой другой точки.
• Локальное сохранение формы ( конформная или ортоморфная )
• Сохранение площади ( равновеликой или равноплощадной , эквивалентной или аутентичной )
• Сохранение расстояния ( равноудаленность ), черта возможна только между одной или двумя точками и каждой другой точкой.
• Сохранение кратчайшего маршрута - черта, сохраняемая только гномонической проекцией.

Поскольку сфера не является развертывающейся поверхностью , невозможно построить картографическую проекцию, которая была бы одновременно равновеликой и конформной.

Проекции по поверхности

Три развертывающиеся поверхности (плоскость, цилиндр, конус) предоставляют полезные модели для понимания, описания и разработки картографических проекций. Однако эти модели ограничены двумя фундаментальными ограничениями. Во-первых, большинство используемых мировых прогнозов не подпадают ни под одну из этих категорий. Во-вторых, даже большинство проекций, попадающих в эти категории, естественным образом не достижимы посредством физической проекции. Как отмечает Л. П. Ли,

В приведенных выше определениях не было сделано никаких ссылок на цилиндры, конусы или плоскости. Проекции называются цилиндрическими или коническими, потому что их можно рассматривать как развернутые на цилиндре или конусе, в зависимости от обстоятельств, но лучше отказаться от изображения цилиндров и конусов, поскольку они вызывают много недоразумений. В особенности это касается конических проекций с двумя стандартными параллелями: их можно считать развитыми на конусах, но это конусы, которые не имеют простого отношения к сфере. В действительности цилиндры и конусы дают нам удобные термины для описания, но не более того.

Возражение Ли относится к тому, как термины цилиндрический , конический и плоский (азимутальный) были абстрагированы в области картографических проекций. Если бы карты проецировались, как свет, проходящий через глобус, на развертывающуюся поверхность, то расстояние между параллелями соответствовало бы очень ограниченному набору возможностей. Такой цилиндрический выступ (например) является таким, который:

1. Имеет прямоугольную форму;
2. Имеет прямые вертикальные меридианы, расположенные равномерно;
3. Имеет прямые параллели, симметрично расположенные относительно экватора;
4. Имеет параллели, ограниченные тем, куда они падают, когда свет падает через шар на цилиндр, при этом источник света находится где-то вдоль линии, образованной пересечением нулевого меридиана с экватором и центром сферы.

(Если вы повернете земной шар перед проецированием, то параллели и меридианы не обязательно останутся прямыми. В целях классификации вращения обычно игнорируются.)

Там, где источник света исходит вдоль линии, описанной в этом последнем ограничении, возникает разница между различными «естественными» цилиндрическими проекциями. Но термин «цилиндрический» , используемый в области картографических проекций, полностью ослабляет последнее ограничение. Вместо этого параллели могут быть размещены в соответствии с любым алгоритмом, который, по мнению дизайнера, соответствует потребностям карты. Знаменитая проекция Меркатора — это проекция, в которой размещение параллелей не возникает в результате проекции; вместо этого параллели располагаются так, как они должны быть, чтобы обеспечить свойство, заключающееся в том, что курс постоянного направления всегда отображается как прямая линия.

Цилиндрический

См. Также: Список картографических проекций § Цилиндрические.

Нормальный цилиндрический

В проекции Меркатора румбы показаны в виде прямых линий. Румб – это курс постоянного подшипника. Азимут – направление движения по компасу.

Нормальная цилиндрическая проекция — это любая проекция, в которой меридианы отображаются на равноотстоящих друг от друга вертикальных линиях, а круги широты (параллели) отображаются на горизонтальных линиях.

Отображение меридианов в вертикальных линиях можно визуализировать, представив цилиндр, ось которого совпадает с осью вращения Земли. Этот цилиндр обертывается вокруг Земли, проецируется на нее и затем разворачивается.

По геометрии своей конструкции цилиндрические выступы простираются на расстояния с востока на запад. Величина растяжения одинакова на любой выбранной широте во всех цилиндрических проекциях и определяется секущей широты , кратной масштабу экватора. Различные цилиндрические проекции отличаются друг от друга исключительно своим простиранием с севера на юг (где широта определяется φ):

• Растяжение с севера на юг равно растяжению с востока на запад ( сек φ ): Масштаб восток-запад соответствует масштабу север-юг: конформно-цилиндрический или Меркатора ; это чрезмерно искажает территории в высоких широтах.
• Растяжение с севера на юг увеличивается с широтой быстрее, чем растяжение с востока на запад (сек. ² φ ): Цилиндрическая перспективная (или центральная цилиндрическая ) проекция; непригоден, поскольку искажения еще хуже, чем в проекции Меркатора.
• Растяжение с севера на юг растет с широтой, но медленнее, чем растяжение с востока на запад: например, цилиндрическая проекция Миллера (сек. ⁠ 4 / 5 ⁠ φ ).
• Расстояния с севера на юг не растянуты и не сжаты (1): равноугольная проекция или «плита карре».
• Сжатие с севера на юг равно косинусу широты (обратному растяжению с востока на запад): равновеликая цилиндрическая форма . Эта проекция имеет множество названных специализаций, отличающихся только масштабной константой, например, орфографическая проекция Галла – Петерса или Галла (неискаженная на параллелях 45°), Бермана (неискаженная на параллелях 30°) и цилиндрическая равновеликая Ламберта (неискаженная на параллелях 30°). экватор). Поскольку эта проекция масштабирует расстояния с севера на юг пропорционально растяжению с востока на запад, она сохраняет площадь за счет форм.

В первом случае (Меркатор) масштаб восток-запад всегда равен масштабу север-юг. Во втором случае (центрально-цилиндрический) масштаб север-юг превышает масштаб восток-запад всюду от экватора. В каждом оставшемся случае имеется пара секущих линий — пара одинаковых широт противоположного знака (или экватора), на которых масштаб восток-запад совпадает с масштабом север-юг.

Обычные цилиндрические проекции отображают всю Землю как конечный прямоугольник, за исключением первых двух случаев, когда прямоугольник растягивается до бесконечности, сохраняя при этом постоянную ширину.

Поперечный цилиндрический

Поперечная цилиндрическая проекция — это цилиндрическая проекция, которая в касательном случае использует большую окружность вдоль меридиана в качестве линии контакта цилиндра.

См.: поперечный Меркатор .

Косой цилиндрический

Цилиндрическая равновеликая проекция с наклонной ориентацией

Косая цилиндрическая проекция совпадает с большим кругом, но не с экватором и не с меридианом.

Псевдоцилиндрический

См. Также: Список картографических проекций § псевдоцилиндрических.

Синусоидальная проекция точно показывает относительные размеры, но сильно искажает формы. Искажение можно уменьшить, « прервав » карту.

Псевдоцилиндрические проекции представляют центральный меридиан в виде отрезка прямой. Другие меридианы длиннее центрального меридиана и выгибаются наружу, в сторону от центрального меридиана. Псевдоцилиндрические проекции отображают параллели в виде прямых линий. По параллелям каждая точка поверхности отображается на расстоянии от центрального меридиана, пропорциональном ее отличию по долготе от центрального меридиана. Следовательно, меридианы равномерно расположены вдоль данной параллели. На псевдоцилиндрической карте любая точка, расположенная дальше от экватора, чем какая-либо другая точка, имеет более высокую широту, чем другая точка, сохраняя отношения север-юг. Эта черта полезна при иллюстрации явлений, зависящих от широты, например климата. Примеры псевдоцилиндрических проекций включают:

• Синусоидальная , которая была первой разработанной псевдоцилиндрической проекцией. На карте, как и в реальности, длина каждой параллели пропорциональна косинусу широты. Площадь любого региона верна.
• Проекция Коллиньона , которая в наиболее распространенных формах представляет каждый меридиан как два отрезка прямой линии, по одному от каждого полюса до экватора.

Тоблер гиперэллиптический	Молвейде	Гуд гомолозин
Эккерт IV	Эккерт VI	Каврайский VII

Гибридный

Проекция HEALPix сочетает в себе цилиндрическую проекцию равной площади в экваториальных регионах и проекцию Коллиньона в полярных областях.

Конический

конический Альберса

Термин «коническая проекция» используется для обозначения любой проекции, в которой меридианы отображаются в виде равноотстоящих друг от друга линий, исходящих от вершины, а круги широты (параллели) отображаются в дуги окружности с центром на вершине.

При создании конической карты составитель карты произвольно выбирает две стандартные параллели. Эти стандартные параллели можно визуализировать как секущие линии , где конус пересекает земной шар, или, если составитель карты дважды выбирает одну и ту же параллель, как касательную линию, где конус касается земного шара. Полученная коническая карта имеет низкие искажения масштаба, формы и площади вблизи стандартных параллелей. Расстояния по параллелям к северу от обеих стандартных параллелей или к югу от обеих стандартных параллелей растянуты; расстояния по параллелям между стандартными параллелями сжимаются. При использовании одной стандартной параллели расстояния вдоль всех остальных параллелей увеличиваются.

Обычно используются следующие конические проекции:

• Равноотстоящий конус , который сохраняет параллели на равном расстоянии вдоль меридианов, чтобы сохранить постоянный масштаб расстояний вдоль каждого меридиана, обычно тот же или аналогичный масштаб, что и вдоль стандартных параллелей.
• Коническая форма Альберса , которая регулирует расстояние с севера на юг между нестандартными параллелями, чтобы компенсировать растяжение или сжатие с востока на запад, создавая карту равной площади.
• Равноугольная коника Ламберта , которая корректирует расстояние с севера на юг между нестандартными параллелями так, чтобы оно равнялось растяжению с востока на запад, создавая равноугольную карту.

Псевдоконический

• Бонн — проекция равной площади, на которой большинство меридианов и параллелей отображаются в виде изогнутых линий. Имеет настраиваемую стандартную параллель, вдоль которой нет искажений.
• Сердцевидная Вернера , при которой расстояния правильные от одного полюса, а также по всем параллелям.
• Американская поликоническая и другие проекции класса поликонических проекций .

Азимутальные (проекции на плоскость)

См. Также: Список картографических проекций § азимутальных.

Азимутальная равноудаленная проекция точно показывает расстояния и направления от центральной точки, но искажает формы и размеры в других местах.

Азимутальные проекции обладают свойством сохранять направления от центральной точки, поэтому большие круги, проходящие через центральную точку, изображаются на карте прямыми линиями. Эти проекции также обладают радиальной симметрией в масштабах и, следовательно, в искажениях: расстояния на карте от центральной точки вычисляются с помощью функции r ( d ) истинного расстояния d , независимой от угла; соответственно, круги с центральной точкой в ​​качестве центра отображаются в круги, в центре которых находится центральная точка на карте.

Нанесение радиальных линий можно визуализировать, представив плоскость, касающуюся Земли, с центральной точкой в ​​качестве точки касания .

Радиальный масштаб равен r′ ( d ), а поперечный масштаб r ( d )/( R sin ⁠ d / R ⁠ ) где R — радиус Земли.

Некоторые азимутальные проекции являются истинными перспективными проекциями ; то есть их можно построить механически, проецируя поверхность Земли путем продления линий из точки перспективы точки касания (вдоль бесконечной линии, проходящей через точку касания и антипод ) на плоскость:

• Гномоническая проекция отображает большие круги как прямые линии. Может быть построен с использованием точки перспективы в центре Земли. р ( d ) знак равно c загар ⁠ д / р ⁠ ; так что даже одно полушарие уже бесконечно по протяженности.
• Орфографическая проекция отображает каждую точку Земли в ближайшую точку на плоскости. Может быть построен с точки зрения перспективы на бесконечном расстоянии от точки касания; р ( d ) знак равно c грех ⁠ d / R ⁠ . Может отображаться до полусферы на конечном круге. Фотографии Земли, сделанные достаточно далеко, например, Луны , приблизительно соответствуют этой перспективе.
• Ближнесторонняя перспективная проекция, которая имитирует вид из космоса на конечном расстоянии и, следовательно, показывает не полное полушарие, как, например, в The Blue Marble 2012 ).
• Проекцию общей перспективы можно построить, используя точку перспективы за пределами Земли. Фотографии Земли (например, с Международной космической станции ) дают такую ​​перспективу. Это обобщение проекции ближней перспективы, допускающее наклон.
• Стереографическая проекция точки касания , которая является конформной, может быть построена с использованием антипода в качестве точки перспективы. р ( d ) знак равно c загар ⁠ д / 2 р ⁠ ; масштаб c /(2 R cos ²  ⁠ d / 2 R ⁠ ). Может отображать почти всю поверхность сферы на конечном круге. Полная поверхность сферы требует бесконечной карты.

Другие азимутальные проекции не являются истинными перспективными проекциями:

• Азимутальная эквидистанта : r ( d ) = cd ; он используется радиолюбителями , чтобы знать, в каком направлении направить свои антенны на точку, и видеть расстояние до нее. Расстояние от точки касания на карте пропорционально расстоянию от поверхности Земли (; для случая, когда точкой касания является Северный полюс, см. флаг Организации Объединенных Наций )
• Ламберта азимутально-равновеликий . Расстояние от точки касания на карте пропорционально расстоянию по прямой через Землю: r ( d ) = c sin ⁠ d / 2 R ⁠
• Логарифмический азимут строится так, что расстояние каждой точки от центра карты равно логарифму ее расстояния от точки касания на Земле. р ( d ) знак равно c ln ⁠ д / д ₀ ⁠ ); местоположения ближе, чем на расстоянии, равном константе d _0, не показаны.

Сравнение некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в том же масштабе, упорядоченных по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

Многогранник

См. Также: Список картографических проекций § Многогранники.

Карта Dymaxion Бакминстера Фуллера

В многогранных картографических проекциях используется многогранник для разделения земного шара на грани, а затем проецируется каждая грань на земной шар. Самая известная многогранная картографическая проекция — это карта Dymaxion Бакминстера Фуллера .

Проекции с сохранением метрического свойства

Стереографическая проекция является равноугольной и перспективной, но не равновеликой или равноудаленной.

конформный

Основная статья: Конформная картографическая проекция

Конформные , или ортоморфные, картографические проекции сохраняют углы локально, подразумевая, что они отображают бесконечно малые круги постоянного размера в любой точке Земли в бесконечно малые круги разных размеров на карте. Напротив, отображения, которые не являются конформными, искажают большинство таких маленьких кругов, превращая их в эллипсы искажения . Важным следствием конформностизаключается в том, что относительные углы в каждой точке карты являются правильными, а локальный масштаб (хотя и варьируется по всей карте) во всех направлениях вокруг любой точки является постоянным. Вот некоторые конформные проекции:

• Меркатор : Ромбовидные линии представлены прямыми сегментами.
• Поперечный Меркатор
• Стереографический : любой круг сферы , большой и малый, отображается в круг или прямую линию.
• Руссилье
• Равноугольная коническая Ламберта
• Квинкунциальная проекция Пирса
• Проекция полушария Адамса в квадрате
• Проекция полушария в квадрате Гую

Равновеликая

Основная статья: Равновеликая проекция

Равновеликая проекция Моллвейде

Карты равной площади сохраняют размер площади, обычно для этого искажая формы. Карты равной площади также называются эквивалентными или аутентичными . Вот некоторые проекции, сохраняющие площадь:

• конический Альберса
• Боггс эвморфный
• Хороший
• Боттомли
• Коллиньон
• Цилиндрический равновеликий
• Эккерт II , IV и VI
• Равная Земля
• Орфографическая проекция Галла (также известная как проекция Галла – Питерса или Петерса)
• гомолозин Гуда
• Молоток
• Хобо-Дайер
• Ламберта азимутально-равновеликий
• Ламберта цилиндрический равновеликий
• Молвейде
• Синусоидальный
• Стремление 1995
• Равновеликая многогранная проекция Снайдера , используемая для геодезических сеток .
• Тоблер гиперэллиптический
• Вернер

Равноудаленный

Двухточечная равноотстоящая проекция Евразии.

Если длина отрезка, соединяющего две проецируемые точки на плоскости, пропорциональна геодезическому (кратчайшей поверхности) расстоянию между двумя неспроецированными точками на земном шаре, то мы говорим, что расстояние между этими двумя точками сохранилось. Эквидистантная проекция сохраняет расстояния от одной или двух особых точек до всех остальных точек. Особая точка или точки при проецировании могут растянуться в линию или сегмент кривой. В этом случае для измерения расстояния необходимо использовать точку на линии или сегменте кривой, ближайшую к измеряемой точке.

• Plate carrée : расстояния от двух полюсов сохраняются в экваториальном аспекте.
• Азимутальная эквидистантность : расстояния от центра и края сохраняются.
• Эквидистантная коническая : расстояния от двух полюсов сохраняются в экваториальном аспекте.
• Вернера сердцевидная. Расстояния от Северного полюса сохраняются в экваториальном аспекте.
• Двухточечная равноудаленность : две «контрольные точки» произвольно выбираются составителем карты; расстояния от каждой контрольной точки сохраняются.

гномонический

Гномоническая проекция считается старейшей картографической проекцией, разработанной Фалесом в VI веке до нашей эры.

Большие круги отображаются в виде прямых линий:

• Гномоническая проекция

Ретроазимутальный

Направление на фиксированную точку Б (азимут на начальную точку А кратчайшего маршрута) соответствует направлению на карте от А к Б:

• Литтроу — единственная конформная ретроазимутальная проекция.
• Молоток ретроазимутальный - также сохраняет расстояние от центральной точки.
• Крейг ретроазимутальный , он же Мекка или Кибла, также имеет вертикальные меридианы.

Компромиссные прогнозы

Проекция Робинсона была принята журналом National Geographic в 1988 году, но от нее отказались примерно в 1997 году в пользу трипеля Винкеля .

Компромиссные проекции отказываются от идеи идеального сохранения метрических свойств, стремясь вместо этого найти баланс между искажениями или просто заставить вещи выглядеть правильно. Большинство этих типов проекций искажают форму в полярных регионах сильнее, чем на экваторе. Вот некоторые компромиссные прогнозы:

• Робинсон
• ван дер Гринтен
• Миллера цилиндрический
• Магазин Трипель
• Димаксион Бакминстера Фуллера
• Карта бабочек BJS Кэхилла
• Проекция Каврайского VII
• Проекция Вагнера VI
• Чемберлен триметрический
• Оронса Фине Сердцевидная форма
• Проекция AuthaGraph

Пригодность прогнозов к применению

Математика проекции не позволяет какой-либо конкретной картографической проекции быть лучшей для всех. Что-то всегда будет искажено. Таким образом, существует множество проекций для различных целей использования карт и их широкого диапазона масштабов.

Современные национальные картографические системы обычно используют поперечный Меркатор или близкий его вариант для крупномасштабных карт , чтобы сохранить единообразие и небольшое изменение масштаба на небольших территориях. Для карт меньшего масштаба , например, охватывающих континенты или весь мир, обычно используются многие проекции в зависимости от их пригодности для этой цели, такие как трипель Винкеля , Робинсона и Моллвейде . Справочные карты мира часто появляются в компромиссных проекциях . Из-за искажений, присущих любой карте мира, выбор проекции становится во многом вопросом эстетики.

Тематические карты обычно требуют проекции равной площади , чтобы явления на единицу площади отображались в правильных пропорциях. Однако правильное представление соотношений площадей обязательно искажает формы больше, чем многие карты, которые не являются равновеликими.

, Проекция Меркатора разработанная для навигационных целей, часто использовалась на картах мира, где другие проекции были бы более подходящими. Эта проблема уже давно признана даже за пределами профессиональных кругов. Например, в редакционной статье New York Times 1943 года говорится:

Пришло время отказаться от [Меркатора] в пользу чего-то, что отображает континенты и направления менее обманчиво... Хотя его использование... уменьшилось... он по-прежнему очень популярен в качестве настенной карты, по-видимому, отчасти потому, что как прямоугольная карта, она заполняет прямоугольное пространство стены большим количеством карт, и, очевидно, потому, что ее узнаваемость приводит к большей популярности.

Споры по поводу карты Питерса в 1980-х годах побудили Американскую картографическую ассоциацию (ныне Общество картографии и географической информации ) выпустить серию буклетов (в том числе «Какая карта лучше») . ), предназначенный для информирования общественности о картографических проекциях и искажениях на картах. В 1989 и 1990 годах, после некоторых внутренних дебатов, семь североамериканских географических организаций приняли резолюцию, рекомендующую не использовать любую прямоугольную проекцию (включая Меркатора и Галла-Питерса) для справочных карт мира.

См. также

• Геодезическая база данных – система отсчета для измерения местоположения.
• Географическая информационная система ( ГИС ) – система для сбора, управления и представления географических данных.
• Геоинформатика - Применение методов информатики в географии и науках о Земле.
• Ссылка на сетку – декартова географическая система координат. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Список картографических проекций
• План (чертеж) – рисунки или диаграммы, используемые для описания объекта. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Резиновое покрытие
• Ориентация карты юг-вверх – Ориентация карты.
• UV-маппинг - процесс проецирования поверхности 3D-модели на 2D-изображение для наложения текстур.
• Карта мира - Карта большей части или всей поверхности Земли.
• Проекция сферического изображения — техника видеопроекции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

Источники

• Фрэн Эваниско, Американский Риверский колледж, лекции по географии 20: «Картографический дизайн для ГИС», осень 2002 г.
• Картографические проекции — PDF-версии многочисленных проекций, созданных и опубликованных в общественном достоянии Полом Б. Андерсоном... членом Комиссии Международной картографической ассоциации по картографическим проекциям.

Внешние ссылки

• «Альбом картографических проекций» (PDF) .   (12,6 МБ) , Профессиональный документ Геологической службы США 1453, авторы Джон П. Снайдер (Геологическая служба США) и Филип М. Воксленд (Университет Миннесоты), 1989 г.
• Рог изобилия картографических проекций — визуализация искажений огромного количества картографических проекций на одном изображении.
• G.Projector , бесплатное программное обеспечение, способное отображать множество проекций ( NASA GISS ).
• Цветные изображения картографических проекций и искажений (Mapthematics.com).
• Геометрические аспекты картографии: картографическая проекция (KartoWeb.itc.nl).
• Проекции карты мира Java , Генри Боттомли (SE16.info).
• Картографические проекции (MathWorld).
• MapRef: Интернет-коллекция картографических проекций и справочных систем в Европе.
• PROJ.4 – Библиотека картографических проекций .
• Справочная таблица проекций с примерами и свойствами всех распространенных проекций (RadicalCartography.net).
• «Понимание картографических проекций» (PDF) .   (1,70 МБ) , Мелита Кеннеди ( Esri ).
• Проекции карты мира , Стивен Вольфрам, на основе работы Ю-Сунг Чанга ( Демонстрационный проект Вольфрама ).
• Сравните картографические проекции
• Страница «истинный размер» показывает размеры стран без искажений от проекции Меркатора.