Румпельная линия

Изображение локсодрома, или прямой линии, идущей по спирали к Северному полюсу.

В навигации прямая линия , румб ( / rʌm , / пересекающая ), или локсодром — это дуга, все меридианы долготы углом под одним и тем же , то есть путь с постоянным пеленгом , измеренным относительно истинного севера .

Введение

Эффект следования прямой линии на поверхности земного шара был впервые обсужден португальским математиком Педро Нуньесом в 1537 году в его «Трактате в защиту морской карты » с дальнейшим математическим развитием Томасом Харриотом в 1590-х годах.

Прямую линию можно противопоставить большому кругу , который представляет собой путь кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности сферы. На большом круге азимут на пункт назначения не остается постоянным. Если бы кто-то вел машину по большому кругу, нужно было бы держать руль неподвижно, но чтобы следовать по прямой линии, нужно было бы поворачивать колесо, поворачивая его тем сильнее по мере приближения к столбам. Другими словами, большой круг локально «прям» с нулевой геодезической кривизной , тогда как прямая линия имеет ненулевую геодезическую кривизну.

Меридианы долготы и параллели широты представляют собой частные случаи прямой линии, где углы их пересечения составляют соответственно 0° и 90°. При проходе с севера на юг курс прямой линии совпадает с большим кругом, как и при проходе с востока на запад вдоль экватора .

На карте проекции Меркатора любая прямая линия является прямой; На такой карте можно провести прямую линию между любыми двумя точками Земли, не выходя за край карты. Но теоретически локсодром может выходить за правый край карты и затем продолжаться до левого края с тем же наклоном (при условии, что карта охватывает ровно 360 градусов долготы).

Румбические линии, пересекающие меридианы под косыми углами, представляют собой локсодромные кривые, спирально идущие к полюсам. ^[1] В проекции Меркатора северный и южный полюса находятся в бесконечности и поэтому никогда не показаны. Однако полный локсодром на бесконечно высокой карте будет состоять из бесконечного числа отрезков между двумя краями. На карте стереографической проекции локсодром представляет собой равноугольную спираль , центром которой является северный или южный полюс.

Все локсодромы спирально перемещаются от одного полюса к другому. Вблизи полюсов они близки к логарифмическим спиралям (какими они являются именно на стереографической проекции , см. ниже), поэтому они обвивают каждый полюс бесконечное число раз, но достигают полюса на конечном расстоянии. Длина локсодрома от полюса до полюса (при условии, что это идеальная сфера ) — это длина меридиана , разделенная на косинус азимута от истинного севера. На полюсах локсодромы не определяются.

Три вида локсодрома от полюса к полюсу

Этимология и историческое описание

Слово локсодром происходит от древнегреческого λοξός loxós : «косой» + δρόμος drómos : «бег» (от δραμεῖν drameîn : «бежать»). Слово румб может происходить от испанского или португальского rumbo/rumo («курс» или «направление») и греческого ῥόμβος rhómbos . ^[2] из рембена .

В «Глобальной энциклопедии универсальной информации» описывается 1878 года локсодромная линия как: ^[3]

Локсодромная линия — это кривая, которая разрезает каждый член системы линий кривизны данной поверхности под одним и тем же углом. Корабль, плывущий к одной и той же точке компаса, описывает такую линию, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом. В проекции Меркатора (см.) локсодромные линии явно прямые. ^[3]

Недоразумение могло возникнуть из-за того, что термин «румб» не имел точного значения, когда он вошел в употребление. Он одинаково хорошо применялся как к линиям розы ветров , так и к локсодромам, потому что этот термин применялся только «локально» и означал только то, что моряк делал, чтобы плыть с постоянным пеленгом , со всей вытекающей из этого неточностью. Следовательно, «румб» применим к прямым линиям на портоланах, когда портоланы использовались, а также всегда применим к прямым линиям на картах Меркатора. На коротких дистанциях «румбы»-портоланы существенно не отличаются от румбов Меркатора, но в наши дни «румб» является синонимом математически точного «локсодрома», потому что ретроспективно он стал синонимом.

Как утверждает Лео Багроу: ^[4] «Слово («Rumbline») ошибочно применяется к морским картам этого периода, поскольку локсодром дает точный курс только тогда, когда карта нарисована на подходящей проекции. Картометрическое исследование показало, что в ранние времена никакая проекция не использовалась. карты, для которых мы поэтому сохраняем название «портолан».

Математическое описание

Для сферы радиуса 1 азимутальный угол $λ$ , полярный угол $— .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π / 2 ⁠ ≤ φ ≤ ⁠ π / 2 ⁠$ (определенный здесь соответствует широте), а декартовы единичные векторы $i$ , $j$ и $k$ можно использовать для записи радиус-вектора $r$ как

\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.

Ортогональные единичные векторы ^{[ сломанный якорь ]} в азимутальном и полярном направлениях сферы можно записать

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}

которые имеют скалярные произведения

{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.

$λ̂$ для постоянного $φ$ отслеживает параллель широты, а $φ̂$ для постоянного $λ$ отслеживает меридиан долготы, и вместе они образуют плоскость, касающуюся сферы.

Единичный вектор

\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

имеет постоянный угол $β$ с единичным вектором $φ̂$ для любых $λ$ и $φ$ , поскольку их скалярное произведение равно

{\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.

Локсодром определяется как кривая на сфере, которая имеет постоянный угол $β$ со всеми меридианами долготы и, следовательно, должна быть параллельна единичному вектору $β̂$ . В результате разница в длине $ds$ вдоль локсодрома будет вызывать дифференциальное смещение.

{\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}

где $\operatorname {gd}$ и $\operatorname {gd} ^{-1}$ – функция Гудермана и обратная к ней, $\operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),$ $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),$ и $\operatorname {arsinh}$ является обратным гиперболическим синусом .

При таком соотношении между $λ$ и $φ$ радиус-вектор становится параметрической функцией одной переменной, отслеживая локсодром на сфере:

\mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,

где

\psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi

это изометрическая широта . ^[5]

В линии Румба при стремлении широты к полюсам $φ \to \pm ⁠ π / 2 ⁠$ , $sin φ \to \pm1$ , изометрическая широта $arsinh(tan φ) \to \pm \infty$ и долгота $λ$ неограниченно увеличиваются, очень быстро вращая сферу по спирали к полюсу, стремясь при этом к конечной сумме длина дуги Δ $s,$ определяемая выражением

\Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}

Подключение к проекции Меркатора

Пусть $λ$ — долгота точки сферы, а $φ —$ ее широта. Тогда, если мы определим координаты карты проекции Меркатора как

{\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}

локсодром с постоянным пеленгом $β$ от истинного севера будет прямой линией, поскольку (используя выражение из предыдущего раздела)

y=mx

с уклоном

m=\cot \beta \,.

Нахождение локсодромий между двумя заданными точками можно выполнить графически на карте Меркатора или путем решения нелинейной системы двух уравнений с двумя неизвестными $m = cot β$ и $λ 0$ . Существует бесконечно много решений; самый короткий - тот, который покрывает фактическую разницу долгот, т.е. не делает дополнительных оборотов и не идет «в обратную сторону».

Расстояние между двумя точками $Δ s$ , измеренное вдоль локсодрома, представляет собой просто абсолютное значение секущего азимута , умноженного на расстояние с севера на юг (за исключением кругов широты , для которых расстояние становится бесконечным):

\Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}

где $R$ — один из средних радиусов Земли .

Приложение

Его использование в навигации напрямую связано со стилем или проекцией определенных навигационных карт. прямая линия выглядит как прямая линия На карте проекции Меркатора . ^[1]

Название происходит от старофранцузского или испанского языка соответственно: «румб» или «румбо», линия на карте, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом. ^[1] На плоской поверхности это будет кратчайшее расстояние между двумя точками. Над поверхностью Земли на низких широтах или на небольших расстояниях его можно использовать для прокладки курса корабля, самолета или корабля. ^[1] На больших расстояниях и/или в более высоких широтах маршрут большого круга значительно короче прямой линии между теми же двумя точками. Однако неудобство, связанное с необходимостью постоянно менять пеленги во время путешествия по большому круговому маршруту, в некоторых случаях делает навигацию по румпельной линии привлекательной. ^[1]

Эту точку можно проиллюстрировать проходом с востока на запад на протяжении более 90 градусов долготы вдоль экватора , для которого расстояния по большому кругу и прямой линии одинаковы и составляют 10 000 километров (5 400 морских миль). На 20 градусах северной широты расстояние по большому кругу составляет 9 254 км (4 997 морских миль), а расстояние по прямой линии составляет 9 397 км (5 074 морских миль), что примерно на 1,5% больше. Но на 60 градусах северной широты расстояние по большому кругу составляет 4602 км (2485 морских миль), а по прямой линии — 5000 км (2700 морских миль), разница составляет 8,5%. Более крайним случаем является воздушный маршрут между Нью-Йорком и Гонконгом , для которого длина прямой линии составляет 18 000 км (9 700 морских миль). Маршрут большого круга через Северный полюс составляет 13 000 км (7 000 морских миль), или меньше при обычной часа Время полета на 5 + 1/2 крейсерской скорости .

На некоторых старых картах в проекции Меркатора есть сетки, состоящие из линий широты и долготы , но также показаны прямые линии, ориентированные прямо на север, под прямым углом с севера или под некоторым углом с севера, что представляет собой некоторую простую рациональную дробь от севера. прямой угол. Эти прямые линии будут нарисованы так, чтобы они сходились в определенных точках карты: линии, идущие во всех направлениях, сходились бы в каждой из этих точек. См. компасную розу . Такие карты обязательно должны были быть в проекции Меркатора, поэтому не на всех старых картах можно было отображать прямые линии.

Радиальные линии на компасной розе также называются румбами . Выражение «плывущий по румбу» использовалось в XVI–XIX веках для обозначения определенного курса компаса. ^[1]

Ранние мореплаватели во времена, предшествовавшие изобретению морского хронометра, использовали курсы по прямой линии при длительных переходах через океан, поскольку широту корабля можно было точно установить по наблюдениям Солнца или звезд, но не было точного способа определить долготу. Корабль будет плыть на север или юг до тех пор, пока не будет достигнута широта пункта назначения, а затем корабль будет плыть на восток или запад вдоль прямой линии (фактически параллели , которая является частным случаем прямой линии), сохраняя постоянную широту и регулярно записывая оценки расстояния, пройденного до тех пор, пока не были замечены признаки суши. ^[6]

Обобщения

На сфере Римана

Математически поверхность Земли можно понимать как сферу Римана , то есть как проекцию сферы на комплексную плоскость . В этом случае под локсодромами можно понимать определенные классы преобразований Мёбиуса .

Сфероид

Приведенную выше формулировку можно легко распространить на сфероид . ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] Ход прямой линии можно найти просто с помощью эллипсоидной изометрической широты . В формулах выше на этой странице замените широту на сфере равноугольной широтой на эллипсоиде. Аналогично расстояния находятся путем умножения длины дуги эллипсоидного меридиана на секанс азимута.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Оксфордского университета . Пресса Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Получено с Encyclopedia.com 18 июля 2009 г.
^ Румб в TheFreeDictionary
^ Jump up to: ^а ^б Росс, Дж. М. (редактор) (1878). Всемирная энциклопедия универсальной информации , Vol. IV, Эдинбург-Шотландия, Томас К. Джек, Grange Publishing Works, получено из Google Книги 18 марта 2009 г.;
^ Лео Багроу (2010). История картографии . Издатели транзакций. п. 65. ИСБН 978-1-4128-2518-4 .
^ Джеймс Александер, Локсодромы: румбический путь, «Журнал математики», Vol. 77. № 5, декабрь 2004 г. [1]
^ Краткая история британской морской мощи, Дэвид Ховарт, паб. Констебль и Робинсон, Лондон, 2003 г., глава 8.
^ Смарт, WM (1946). «О проблеме навигации» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 106 (2): 124–127. Бибкод : 1946МНРАС.106..124С . дои : 10.1093/mnras/106.2.124 .
^ Уильямс, JED (1950). «Локсодромные расстояния на земном сфероиде». Журнал навигации . 3 (2): 133–140. дои : 10.1017/S0373463300045549 . S2CID 128651304 .
^ Карлтон-Випперн, КЦ (1992). «О локсодромном мореплавании». Журнал навигации . 45 (2): 292–297. дои : 10.1017/S0373463300010791 . S2CID 140735736 .
^ Беннетт, Г.Г. (1996). «Практические расчеты по прямой линии на сфероиде». Журнал навигации . 49 (1): 112–119. Бибкод : 1996JNav...49..112B . дои : 10.1017/S0373463300013151 . S2CID 128764133 .
^ Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Методы решения прямых и обратных геодезических задач с высокой точностью] (PDF) . Вестник Санкт-Петербургского государственного политехнического университета (на русском языке). 3 (198): 49–58.

Примечание: в эту статью включен текст из издания 1878 года «Глобальной энциклопедии универсальной информации» , произведения, находящегося в свободном доступе.

Дальнейшее чтение

Монмонье, Марк (2004). Румбальные линии и войны на картах. Социальная история проекции Меркатора . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226534329 .

Внешние ссылки

Постоянные заголовки и прямые линии на MathPages.
RhumbSolve(1) — утилита для расчета эллипсоидных прямых линий (компонент GeographicLib ); дополнительная документация .
Онлайн-версия RhumbSolve .
Навигационные алгоритмы. Архивировано 16 октября 2018 года в журнале Wayback Machine Paper: The Sailings.
Chart Work - Навигационные алгоритмы. Бесплатное программное обеспечение Chart Work: прямая линия, большой круг, составное плавание, меридиональные части. Линии положения Лоцманское управление – течение и береговая привязка.
Математический мир Локсодром.

[EOS-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Оксфордского университета . Пресса Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Получено с Encyclopedia.com 18 июля 2009 г.

[2] Румб в TheFreeDictionary

[Globe-3] Jump up to: ^а ^б Росс, Дж. М. (редактор) (1878). Всемирная энциклопедия универсальной информации , Vol. IV, Эдинбург-Шотландия, Томас К. Джек, Grange Publishing Works, получено из Google Книги 18 марта 2009 г.;

[Bagrow2010-4] Лео Багроу (2010). История картографии . Издатели транзакций. п. 65. ИСБН 978-1-4128-2518-4 .

[5] Джеймс Александер, Локсодромы: румбический путь, «Журнал математики», Vol. 77. № 5, декабрь 2004 г. [1]

[6] Краткая история британской морской мощи, Дэвид Ховарт, паб. Констебль и Робинсон, Лондон, 2003 г., глава 8.

[7] Смарт, WM (1946). «О проблеме навигации» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 106 (2): 124–127. Бибкод : 1946МНРАС.106..124С . дои : 10.1093/mnras/106.2.124 .

[8] Уильямс, JED (1950). «Локсодромные расстояния на земном сфероиде». Журнал навигации . 3 (2): 133–140. дои : 10.1017/S0373463300045549 . S2CID 128651304 .

[9] Карлтон-Випперн, КЦ (1992). «О локсодромном мореплавании». Журнал навигации . 45 (2): 292–297. дои : 10.1017/S0373463300010791 . S2CID 140735736 .

[10] Беннетт, Г.Г. (1996). «Практические расчеты по прямой линии на сфероиде». Журнал навигации . 49 (1): 112–119. Бибкод : 1996JNav...49..112B . дои : 10.1017/S0373463300013151 . S2CID 128764133 .

[11] Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Методы решения прямых и обратных геодезических задач с высокой точностью] (PDF) . Вестник Санкт-Петербургского государственного политехнического университета (на русском языке). 3 (198): 49–58.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]