Коническая спираль

Коническая спираль с архимедовой спиралью в качестве проекции пола.

Проекция пола: спираль Ферма

Проекция пола: логарифмическая спираль

Проекция пола: гиперболическая спираль

В математике , коническая спираль также известная как коническая спираль , — пространственная кривая на правом круговом конусе , проекция дна которого представляет собой плоскую спираль . Если проекция пола представляет собой логарифмическую спираль , она называется конхоспиральной (от conch ).

Параметрическое представление

В $x$- $y$-плоскость спирали с параметрическим представлением

$x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi$

третья координата $z(\varphi )$ можно добавить так, чтобы пространственная кривая лежала на конусе с уравнением $\;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;$ :

• $x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .$

Такие кривые называются коническими спиралями. Они были известны Паппу .

Параметр $m$ - наклон линий конуса относительно $x$- $y$-самолет.

Вместо этого коническую спираль можно рассматривать как ортогональную проекцию спирали плана этажа на конус.

Примеры

1) Начиная с архимедовой спирали $\;r(\varphi )=a\varphi \;$ дает коническую спираль (см. схему)

$x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .$

В этом случае коническую спираль можно рассматривать как кривую пересечения конуса с геликоидом .

2) На второй схеме изображена коническая спираль со спиралью Ферма. $\;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;$ как план этажа.

3) Третий пример имеет логарифмическую спираль. $\;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;$ как план этажа. Его особенностью является постоянный наклон (см. ниже).

Знакомство с аббревиатурой $K=e^{k}$дает описание: $r(\varphi )=aK^{\varphi }$.

4) Пример 4 основан на гиперболической спирали. $\;r(\varphi )=a/\varphi \;$. Такая спираль имеет асимптоту (черная линия), которая представляет собой план гиперболы ( фиолетовый цвет). Коническая спираль приближается к гиперболе для $\varphi \to 0$.

Характеристики

Следующее исследование посвящено коническим спиралям вида $r=a\varphi ^{n}$ и $r=ae^{k\varphi }$, соответственно.

Склон

Угол наклона в точке конической спирали

Наклон в точке конической спирали — это наклон касательной к этой точке относительно $x$- $y$-самолет. Соответствующий угол является углом его наклона (см. схему):

$\tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .$

Спираль с $r=a\varphi ^{n}$ дает:

• $\tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .$

Ведь архимедова спираль $n=1$ и, следовательно, его наклон равен $\ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .$

• Для логарифмической спирали с $r=ae^{k\varphi }$ наклон $\ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\$ ( $\color {red}{\text{ constant!}}$ ).

Из-за этого свойства конхоспираль называется равноугольной конической спиралью.

Длина дуги

Длину дуги конической спирали можно определить по формуле

$L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .$

Для архимедовой спирали интеграл можно решить с помощью таблицы интегралов аналогично плоскому случаю:

$L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left(\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .$

Для логарифмической спирали интеграл легко решается:

$L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .$

В других случаях встречаются эллиптические интегралы .

Разработка

Развитие (зеленый) конической спирали (красный), справа: вид сбоку. Самолет, содержащий разработку, спроектирован $\pi$. Первоначально конус и плоскость касаются фиолетовой линии.

Для развития конической спирали расстояние $\rho (\varphi )$ точки кривой $(x,y,z)$ до вершины конуса $(0,0,z_{0})$ и связь между углом $\varphi$ и соответствующий угол $\psi$ развития необходимо определить:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,$

$\varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .$

Следовательно, полярное представление развитой конической спирали таково:

• $\rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )$

В случае $r=a\varphi ^{n}$ полярное представление развитой кривой имеет вид

$\rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},$

которое описывает спираль того же типа.

• Если план конической спирали представляет собой архимедову спираль, то ее развитие является архимедовой спиралью.

В случае гиперболической спирали ( $n=-1$) застройка соответствует спирали плана этажа.

В случае логарифмической спирали $r=ae^{k\varphi }$ развитие представляет собой логарифмическую спираль:

$\rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .$

Касательная трасса

След (фиолетовый) касательных конической спирали к гиперболической спирали в качестве плана этажа. Черная линия — асимптота гиперболической спирали.

Совокупность точек пересечения касательных конической спирали с $x$- $y$-плоскость (плоскость, проходящая через вершину конуса) называется его касательной трассой .

Для конической спирали

$(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)$

касательный вектор

$(r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}$

и касательная:

$x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,$

$y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,$

$z(t)=mr+tmr'\ .$

Точка пересечения с $x$- $y$-плоскость имеет параметр $t=-r/r'$ и точка пересечения

• $\left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .$

$r=a\varphi ^{n}$ дает $\ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\$ а касательная линия представляет собой спираль. В случае $n=-1$ (гиперболическая спираль) касательная дорожка вырождается в окружность радиуса $a$ (см. схему). Для $r=ae^{k\varphi }$ у одного есть $\ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\$ а касательная трасса представляет собой логарифмическую спираль, которая конгруэнтна плану этажа из-за самоподобия логарифмической спирали.

Раковины улиток ( Neptunea angulata слева, справа: Neptunea despecta).

Внешние ссылки

• Jamnitzer -Галерея: 3D-Spiralen. Архивировано 2 июля 2021 г. в Wayback Machine .
• Вайсштейн, Эрик В. «Коническая спираль» . Математический мир .