Локсодромная последовательность касательных окружностей Кокстера

Синий круг 0 касается кругов 1, 2 и 3, а также предыдущих кругов -1, -2 и -3.

В геометрии локсодромная последовательность касательных окружностей Коксетера представляет собой бесконечную последовательность окружностей, расположенных так, что любые четыре последовательных окружности в этой последовательности попарно касаются друг друга. Это означает, что каждый круг в последовательности касается трех окружностей, которые ему предшествуют, а также трех кругов, следующих за ним.

Характеристики

Радиусы окружностей в последовательности образуют геометрическую прогрессию с соотношением $k=\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,$ где $\varphi$ это золотое сечение . Это соотношение $k$ и обратное ему уравнение удовлетворяет уравнению $(1+x+x^{2}+x^{3})^{2}=2(1+x^{2}+x^{4}+x^{6})\ ,$ и поэтому любые четыре последовательных круга в последовательности удовлетворяют условиям теоремы Декарта . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Центры окружностей последовательности лежат на логарифмической спирали . Если смотреть из центра спирали, угол между центрами последовательных кругов равен ^{[ 1 ]} $\cos ^{-1}\left({\frac {-1}{\varphi }}\right)\approx 128.173^{\circ }\ .$ Угол между последовательными тройками центров равен $\theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ },$ то же, что один из углов треугольника Кеплера , прямоугольного треугольника, в построении которого также используется квадратный корень золотого сечения. ^{[ 3 ]}

История и связанные с ней конструкции

Конструкция названа в честь геометра Х.С.М. Коксетера , который обобщил двумерный случай на последовательности сфер и гиперсфер в более высоких измерениях. ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Ее можно интерпретировать как вырожденный частный случай спирали Дойла . ^{[ 2 ]}

См. также

Аполлоническая прокладка

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Коксетер, HSM (1968), «Локсодромные последовательности касательных сфер», Mathematical Equations , 1 (1–2): 104–121, doi : 10.1007/BF01817563 , MR 0235456 , S2CID 119897862
^ Перейти обратно: ^а ^б Ахаронов Д.; Стивенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлоновой упаковке» , Алгебра и анализ , 9 (3): 104–140, MR 1466797
^ Кочик, Ежи (январь 2019 г.), Заметка о неограниченных упаковках аполлоновых дисков , arXiv : 1910.05924
^ Коксетер, HSM (1997), «Численные расстояния между сферами в локсодромной последовательности», The Mathematical Intelligencer , 19 (4): 41–47, doi : 10.1007/BF03024413 , MR 1488865 , S2CID 120436625
^ Коксетер, HSM (1998), «Численные расстояния между кругами в локсодромной последовательности», Nieuw Archief voor Mathematics , 16 (1–2): 1–9, MR 1645232

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Локсодромная последовательность касательных окружностей Кокстера» , MathWorld

[cox1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Коксетер, HSM (1968), «Локсодромные последовательности касательных сфер», Mathematical Equations , 1 (1–2): 104–121, doi : 10.1007/BF01817563 , MR 0235456 , S2CID 119897862

[ahaste-2] Перейти обратно: ^а ^б Ахаронов Д.; Стивенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлоновой упаковке» , Алгебра и анализ , 9 (3): 104–140, MR 1466797

[kocik-3] Кочик, Ежи (январь 2019 г.), Заметка о неограниченных упаковках аполлоновых дисков , arXiv : 1910.05924

[cox2-4] Коксетер, HSM (1997), «Численные расстояния между сферами в локсодромной последовательности», The Mathematical Intelligencer , 19 (4): 41–47, doi : 10.1007/BF03024413 , MR 1488865 , S2CID 120436625

[cox3-5] Коксетер, HSM (1998), «Численные расстояния между кругами в локсодромной последовательности», Nieuw Archief voor Mathematics , 16 (1–2): 1–9, MR 1645232

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]