Теорема Бляшке – Лебега

Треугольник Рело — кривая постоянной ширины , площадь которой минимальна среди всех выпуклых множеств одинаковой ширины.

В плоской геометрии теорема Бляшке -Лебега утверждает, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь из всех кривых заданной постоянной ширины . В той форме, в которой каждая кривая заданной ширины имеет площадь, по крайней мере, такую ​​же большую, как треугольник Рело, это также известно как неравенство Бляшке-Лебега . Он назван в честь Вильгельма Бляшке и Анри Лебега , которые опубликовали его отдельно в начале 20 века.

Заявление

Ширина выпуклого множества $K$ в евклидовой плоскости определяется как минимальное расстояние между любыми двумя параллельными прямыми, окружающими ее. Обе линии минимального расстояния обязательно являются касательными к $K$, на противоположных сторонах. Кривая постоянной ширины — это граница выпуклого множества, свойство которого состоит в том, что для каждого направления параллельных линий две касательные линии с этим направлением, которые касаются противоположных сторон кривой, находятся на расстоянии, равном ширине. Эти кривые включают в себя как круг, так и треугольник Рело , изогнутый треугольник, образованный дугами трех кругов одинакового радиуса, центр каждого из которых находится в точке пересечения двух других кругов. Площадь, заключенная в треугольник Рело шириной $w$ является

${\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})w^{2}\approx 0.70477w^{2}.$

Теорема Бляшке-Лебега утверждает, что это единственная минимальная возможная площадь кривой постоянной ширины, а неравенство Бляшке-Лебега утверждает, что каждое выпуклое множество ширины $w$ имеет площадь не менее этой величины, причем равенство достигается только тогда, когда множество ограничено треугольником Рело.

История

Теорема Бляшке-Лебега была независимо опубликована в 1914 году Анри Лебегом. и в 1915 году Вильгельм Бляшке . После их работы было опубликовано еще несколько доказательств.

В других самолетах

Та же теорема верна и в гиперболической плоскости . Для любой выпуклой функции расстояния на плоскости (расстояния, определяемого как норма векторной разности точек для любой нормы) справедлива аналогичная теорема, согласно которой кривая минимальной площади постоянной ширины является пересечением трех метрических диски, каждый из которых сосредоточен на граничной точке двух других.

Приложение

Теорема Бляшке-Лебега использовалась для обеспечения эффективной стратегии обобщения игры « Морской бой» , в которой у одного игрока есть корабль, образованный пересечением целочисленной сетки с выпуклым множеством, а другой игрок, найдя одну точку на этом Корабль стремится определить свое местоположение, используя как можно меньше промахов. Для корабля с $n$ точках сетки, можно ограничить количество пропущенных бросков $O(\log \log n)$.

Связанные проблемы

По изопериметрическому неравенству кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости наибольшей площади представляет собой круг . Периметр ширины кривой постоянной $w$ является $\pi w$, независимо от его формы; это теорема Барбье .

Неизвестно, какие поверхности постоянной ширины в трехмерном пространстве имеют минимальный объем. Боннесен и Фенхель в 1934 году предположили, что минимизаторы — это два тела Мейснера, полученные скруглением некоторых ребер тетраэдра Рело . но это остается недоказанным.