Циклическая симметрия в трех измерениях

Выбранные группы точек в трех измерениях
Группа многогранников , [n,3], (*n32)
Инволюционная симметрия С ₎ , (* [ ] =	Циклическая симметрия C _нв , (*nn) [н] =	Двугранная симметрия Днх _, (*n22) [п,2] =
Тетраэдрическая симметрия Т _д , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О _х , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h, (*532) [5,3] =

В трехмерной геометрии существуют четыре бесконечные серии точечных групп в трех измерениях ( n ≥1) с n -кратной вращательной или отражательной симметрией относительно одной оси (на угол 360°/ n ), что не меняет объект.

Это конечные группы симметрии на конусе . При n = ∞ им соответствуют четыре группы фризов . Шёнфлиса Использованы обозначения . Термины «горизонтальный» (h) и «вертикальный» (v) подразумевают наличие и направление отражений относительно вертикальной оси симметрии. Также показаны обозначения Кокстера в скобках и в скобках обозначения орбифолда .

Типы

Хиральный

С _н , [н] ⁺, ( nn ) порядка n — n -кратной вращательной симметрии — акро-n-гональная группа (абстрактная группа Z _n ); для n =1: нет симметрии ( тривиальная группа )

Ачирал

C _nh , [n ⁺,2], ( n *) порядка 2 n - призматическая симметрия или орто-n-гональная группа (абстрактная группа Z _n × Dih ₁ ); для n =1 это обозначается C _s (1*) и называется отражательной симметрией , а также двусторонней симметрией . Он обладает зеркальной симметрией относительно плоскости, перпендикулярной оси n -кратного вращения.
C _nv , [n], (* nn ) порядка 2 n - пирамидальной симметрии или полная акро-n-гональная группа (абстрактная группа Dih _n ); в биологии C _2v называется бирадиальной симметрией . При n =1 мы снова имеем C _s (1*). Имеет вертикальные зеркальные плоскости. Это группа симметрии правильной n -сторонней пирамиды .
С _2н , [2 ⁺,2н ⁺], ( n ×) порядка 2 n — гиро-n-гональная группа (не путать с симметрическими группами , для которых используются те же обозначения; абстрактная группа Z _2n ); Он имеет 2 n -кратную ось роторного отражения , называемую также 2 n -кратной осью несобственного вращения, т.е. группа симметрии содержит комбинацию отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 180°/n. Таким образом, как и D _nd , он содержит ряд неправильных вращений, но не содержит соответствующих вращений.
- для n =1 имеем S ₂ ( 1× ), также обозначаемый C _i ; это инверсионная симметрия .

С _2h , [2,2 ⁺] (2*) и C _2v , [2], (*22) порядка 4 — два из трех типов трехмерных групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. C _2v применяется, например, для прямоугольной плитки, верхняя сторона которой отличается от нижней.

Фризовые группы

В пределе эти четыре группы представляют собой евклидовы плоские группы фризов как C _∞ , C _∞h , C _∞v и S _∞ . В пределе вращения становятся перемещениями. Части бесконечной плоскости также можно разрезать и соединить в бесконечный цилиндр.

Фризовые группы
Обозначения				Примеры
МУК	Орбифолд	Коксетер	Шенфлис ^*	Евклидова плоскость	Цилиндрический (n=6)
п1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞
п1м1	*∞∞	[∞]	C _∞v
п11м	∞*	[∞ ⁺,2]	C _∞h
p11g	∞×	[∞ ⁺,2 ⁺]	S _∞

Примеры

S ₂ / C _i (1x):	С _4в (*44):		С _{5 В} (*55):
Параллелепипед	Квадратная пирамида	Вытянутая квадратная пирамида	Пятиугольная пирамида

См. также

Диэдральная симметрия в трех измерениях

Ссылки

Сэндс, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 165 . ISBN 0-486-67839-3 .
О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит. ISBN 978-1-56881-134-5
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера