Кристаллографическая точечная группа

В кристаллографии кристаллографическая точечная группа — это трехмерная точечная группа , операции симметрии которой совместимы с трехмерной кристаллографической решеткой . По кристаллографическому ограничению он может содержать только одно-, двух-, трех-, четырех- и шестикратные повороты или ротоинверсии. Это уменьшает количество кристаллографических точечных групп до 32 (из бесконечного числа общих точечных групп). Эти 32 группы тождественны 32 типам морфологической (внешней) кристаллической симметрии, выведенным в 1830 году Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.

В классификации кристаллов каждой пространственной группе сопоставляют кристаллографическую точечную группу путем «забывания» трансляционных составляющих операций симметрии. То есть, превращая вращения винта во вращения, скольжение отражений в отражения и перемещение всех элементов симметрии в начало координат. Каждая кристаллографическая точечная группа определяет (геометрический) кристаллический класс кристалла.

Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, направленное изменение физических свойств, возникающих из его структуры, включая оптические свойства, такие как двойное лучепреломление , или электрооптические особенности, такие как эффект Поккельса .

Обозначения

Группы точек названы в соответствии с симметрией их компонентов. Существует несколько стандартных обозначений, используемых кристаллографами, минералогами и физиками .

Чтобы узнать о соответствии двух систем ниже, см. Кристаллическую систему .

Обозначение Шенфлиса

В нотации Шенфлиса группы точек обозначаются буквенным символом с индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:

C _n (для циклического ) указывает на то, что группа имеет ось вращения n -кратного порядка. C _nh — это C _n с добавлением зеркальной (отражательной) плоскости, перпендикулярной оси вращения . C _nv — это C _n с добавлением n зеркальных плоскостей, параллельных оси вращения.
S _2n (от Spiegel , по-немецки зеркало ) обозначает группу только с 2n -кратной осью вращения-отражения .
D _n (для двугранного или двустороннего) указывает, что группа имеет ось вращения n-го порядка плюс n осей двойного порядка, перпендикулярных этой оси. D _nh Кроме того, имеет зеркальную плоскость, перпендикулярную оси n -кратности. D _nd имеет, помимо элементов D _n , зеркальные плоскости, параллельные оси n -кратности.
Буква Т (от тетраэдра ) указывает на то, что группа имеет симметрию тетраэдра. T _d включает в себя неправильные операции вращения, T исключает неправильные операции вращения, а Th _{представляет} собой T с добавлением инверсии.
Буква О (от октаэдра ) указывает на то, что группа имеет симметрию октаэдра, с ( О _h ) или без ( О ) неправильных операций (тех, которые меняют направленность).

Согласно кристаллографической ограничительной теореме n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.

н	1	2	3	4	6
С _н	С ₁	С ₂	С ₃	С ₄	C_С6
С _нв	С _1в = С _1h	С _{2 в}	С _3В	С _4В	С _6в
С _нх	С _{1 час}	С _{2 часа}	С _{3 часа}	С _{4 часа}	С _{6 часов}
Д _н	Д ₁ = С ₂	D_Д2	Д ₃	Д ₄	Д ₆
Д _нх	Д _1h = С _2в	Д _{2 часа}	Д _{3 часа}	Д _{4 часа}	Д _6ч
Д _нд	Д _1д = С _2ч	Д _2д	Д _3д	Д _4д	Д _6д
С _2н	S_S2	С ₄	S_S6	С ₈	С ₁₂

D _4d и D _6d фактически запрещены, поскольку содержат неправильные вращения с n=8 и 12 соответственно. таблице плюс , Td , _Oh Th , _{групп в} O и составляют 27 точечных _T 32 кристаллографические точечные группы.

Обозначения Германа – Могена

Сокращенная форма обозначений Германа – Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Названия групп

Кристальная семья	Кристаллическая система	Имена групп
Кубический		23	m 3		432	4 3м	м 3 м
Шестиугольный	Шестиугольный	6	6	⁶⁄ _m	622	6 мм	6 м2	6/ммм
Шестиугольный	Треугольный	3	3		32	3m	3 m
четырехугольный		4	4	⁴⁄ _m	422	4 мм	4 2 м	4/ммм
орторомбический					222		мм2	М-м-м
Моноклиника		2		²⁄ _m		м
Триклиника		1	1

Соответствие между разными обозначениями

Кристальная семья	Кристаллическая система	Герман-Моген		Шубников ^[1]	Шенфлис	Орбифолд	Коксетер	Заказ
Кристальная семья	Кристаллическая система	(полный)	(короткий)	Шубников ^[1]	Шенфлис	Орбифолд	Коксетер	Заказ
Триклиника		1	1	$1\$	С ₁	11	[ ] ⁺	1
Триклиника		1	1	${\tilde {2}}$	С _я = S ₂	×	[2 ⁺,2 ⁺]	2
Моноклиника		2	2	$2\$	С ₂	22	[2] ⁺	2
		м	м	$m\$	С _с = С _1h	*	[ ]	2
		${\tfrac {2}{m}}$	2/м	$2:m\$	С _{2 часа}	2*	[2,2 ⁺]	4
орторомбический		222	222	$2:2\$	D ₂ = V	222	[2,2] ⁺	4
		мм2	мм2	$2\cdot m\$	С _{2 в}	*22	[2]	4
		${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	М-м-м	$m\cdot 2:m\$	Д _2h = V _ч	*222	[2,2]	8
четырехугольный		4	4	$4\$	С ₄	44	[4] ⁺	4
		4	4	${\tilde {4}}$	С ₄	2×	[2 ⁺,4 ⁺]	4
		${\tfrac {4}{m}}$	4/м	$4:m\$	С _{4 часа}	4*	[2,4 ⁺]	8
		422	422	$4:2\$	Д ₄	422	[4,2] ⁺	8
		4 мм	4 мм	$4\cdot m\$	С _4В	*44	[4]	8
		4 2 м	4 2 м	${\tilde {4}}\cdot m$	Д _2д = В _д	2*2	[2 ⁺,4]	8
		${\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/ммм	$m\cdot 4:m\$	Д _{4 часа}	*422	[4,2]	16
Шестиугольный	Треугольный	3	3	$3\$	С ₃	33	[3] ⁺	3
		3	3	${\tilde {6}}$	С _3и = С ₆	3×	[2 ⁺,6 ⁺]	6
		32	32	$3:2\$	Д ₃	322	[3,2] ⁺	6
		3m	3m	$3\cdot m\$	С _3В	*33	[3]	6
		3 ${\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	Д _3д	2*3	[2 ⁺,6]	12
	Шестиугольный	6	6	$6\$	C_С6	66	[6] ⁺	6
		6	6	$3:m\$	С _{3 часа}	3*	[2,3 ⁺]	6
		${\tfrac {6}{m}}$	6/м	$6:m\$	С _{6 часов}	6*	[2,6 ⁺]	12
		622	622	$6:2\$	Д ₆	622	[6,2] ⁺	12
		6 мм	6 мм	$6\cdot m\$	С _6в	*66	[6]	12
		6 м2	6 м2	$m\cdot 3:m\$	Д _{3 часа}	*322	[3,2]	12
		${\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/ммм	$m\cdot 6:m\$	Д _6ч	*622	[6,2]	24
Кубический		23	23	$3/2\$	Т	332	[3,3] ⁺	12
		${\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	Т _ч	3*2	[3 ⁺,4]	24
		432	432	$3/4\$	ТО	432	[4,3] ⁺	24
		4 3м	4 3м	$3/{\tilde {4}}$	Т _д	*332	[3,3]	24
		${\tfrac {4}{m}}$ 3 ${\tfrac {2}{m}}$	м 3 м	${\tilde {6}}/4$	Ой	*432	[4,3]	48

Изоморфизмы

Многие кристаллографические точечные группы имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1 , 2 и m содержат разные операции геометрической симметрии (инверсию, вращение и отражение соответственно), но все они разделяют структуру циклической группы C ₂ . Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок , но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Точечные группы, которые являются изоморфными, показаны в следующей таблице: ^[2]

Герман-Моген	Шенфлис	Заказ	Абстрактная группа
1	С ₁	1	С ₁	$G_{1}^{1}$
1	С _я = S ₂	2	С ₂	$G_{2}^{1}$
2	С ₂	2
м	С _с = С _1h	2
3	С ₃	3	С ₃	$G_{3}^{1}$
4	С ₄	4	С ₄	$G_{4}^{1}$
4	С ₄	4	С ₄	$G_{4}^{1}$
2/м	С _{2 часа}	4	Д ₂ = С ₂ × С ₂	$G_{4}^{2}$
222	D ₂ = V	4
мм2	С _{2 в}	4
3	С _3и = С ₆	6	C_С6	$G_{6}^{1}$
6	C_С6	6
6	С _{3 часа}	6
32	Д ₃	6	Д ₃	$G_{6}^{2}$
3m	С _3В	6	Д ₃	$G_{6}^{2}$
М-м-м	Д _2h = V _ч	8	Д ₂ × С ₂	$G_{8}^{3}$
4/м	С _{4 часа}	8	С ₄ × С ₂	$G_{8}^{2}$
422	Д ₄	8	Д ₄	$G_{8}^{4}$
4 мм	С _4В	8
4 2 м	Д _2д = В _д	8
6/м	С _{6 часов}	12	С ₆ × С ₂	$G_{12}^{2}$
23	Т	12	A ₄	$G_{12}^{5}$
3 m	Д _3д	12	Д ₆	$G_{12}^{3}$
622	Д ₆	12
6 мм	С _6в	12
6 м2	Д _{3 часа}	12
4/ммм	Д _{4 часа}	16	Д ₄ × С ₂	$G_{16}^{9}$
6/ммм	Д _6ч	24	Д ₆ × С ₂	$G_{24}^{5}$
m 3	Т _ч	24	А ₄ × С ₂	$G_{24}^{10}$
432	ТО	24	С ₄	$G_{24}^{7}$
4 3м	Т _д	24	С ₄	$G_{24}^{7}$
м 3 м	Ой	48	С ₄ × С ₂	$G_{48}^{7}$

В этой таблице используются циклические группы (C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , C ₆ ), группы диэдра (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆ ), одна из чередующихся групп (A ₄ ), и одна из симметрических групп (S ₄ ). Здесь символ «×» указывает на прямое произведение .

Вывод кристаллографической точечной группы (кристаллического класса) из пространственной группы

Оставьте тип решетки Браве .
Преобразуйте все элементы симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии. (Плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости, оси винтов преобразуются в простые оси вращения.)
Оси вращения, оси ротоинверсии и плоскости зеркал остаются неизменными.

См. также

Ссылки

^ «(Международные таблицы) Аннотация» . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 г. Проверено 25 ноября 2011 г.
^ Новак, Я (18 июля 1995 г.). «Молекулярный изоморфизм». Европейский журнал физики . 16 (4). Издательство ИОП: 151–153. Бибкод : 1995EJPh...16..151N . дои : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .

Внешние ссылки

[1] «(Международные таблицы) Аннотация» . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 г. Проверено 25 ноября 2011 г.

[2] Новак, Я (18 июля 1995 г.). «Молекулярный изоморфизм». Европейский журнал физики . 16 (4). Издательство ИОП: 151–153. Бибкод : 1995EJPh...16..151N . дои : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .

[1]

[2]

v т и Кристаллические системы
Решетка Браве Кристаллографическая точечная группа
Семь 3D-систем	триклинный (анортикальный) моноклинический орторомбический четырехугольный тригональные и шестиугольные кубический (изометрический)
Четыре 2D-системы	косой прямоугольный квадрат шестиугольный