Аффинная инволюция

В евклидовой геометрии особый интерес представляют инволюции , которые представляют собой линейные или аффинные преобразования над евклидовым пространством R. ^н. Такие инволюции легко охарактеризовать и описать геометрически. ^[1]

Линейные инволюции

Дать линейную инволюцию - это то же самое, что дать инволютивную матрицу , квадратную матрицу A такую, что

A^{2}=I\quad \quad \quad \quad (1)

где I — единичная матрица .

Можно быстро проверить, что квадратная матрица D , все элементы которой равны нулю вне главной диагонали и ±1 на диагонали, то есть сигнатурная матрица вида

D={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}

удовлетворяет (1), т.е. является матрицей линейной инволюции. Оказывается, все матрицы, удовлетворяющие (1), имеют вид

А = У ⁻¹ИЗ ,

где U обратим, а D такой же, как указано выше. То есть матрица любой линейной инволюции имеет вид D с точностью до матричного подобия . Геометрически это означает, что любую линейную инволюцию можно получить, взяв наклонные отражения от любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через начало координат. (Термин «косое отражение» , используемый здесь, включает обычные отражения.)

Легко проверить, что A представляет собой линейную инволюцию тогда и только тогда, когда A имеет вид

А = ±(2П – Я)

для линейной проекции P .

Аффинные инволюции

Если A представляет собой линейную инволюцию, то x → A ( x − b )+ b является аффинной инволюцией. Можно проверить, что любая аффинная инволюция действительно имеет такой вид. Геометрически это означает, что любую аффинную инволюцию можно получить, взяв наклонные отражения от любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через точку b .

Аффинные инволюции можно разделить на категории по размерности аффинного пространства неподвижных точек ; это соответствует числу значений 1 на диагонали аналогичной матрицы D (см. выше), т. е. размерности собственного пространства для собственного значения 1.

Аффинные инволюции в 3D:

личность
наклонное отражение относительно плоскости
наклонное отражение относительно линии
отражение относительно точки. ^[2]

Изометрические инволюции

В случае, если собственное пространство для собственного значения 1 является ортогональным дополнением к собственному значению -1, т.е. каждый собственный вектор с собственным значением 1 ортогонален каждому собственному вектору с собственным значением -1, такая аффинная инволюция является изометрией . Два крайних случая, к которым это всегда применимо, — это тождественная функция и инверсия в точке .

Другие инволютивные изометрии — это инверсия в линии (в 2D, 3D и вверх; в 2D это отражение , а в 3D — поворот вокруг линии на 180°), инверсия в плоскости (в 3D и вверх; в 3D). это отражение в плоскости), инверсия в 3D пространстве (в 3D: тождество) и т.д.

Ссылки

^ ООО, Книги (2010). Аффинная геометрия: аффинное преобразование, гиперплоскость, теорема Чевы, аффинная кривизна, барицентрические координаты, центроид, аффинное пространство . ООО «Дженерал Букс», 2010 . ISBN 9781155313931 .
^ Марберг, Эрик; Чжан, Ифэн (март 2022 г.). «Аффинные переходы для инволюционных симметричных функций Стэнли». Европейский журнал комбинаторики . 101 : 103463. arXiv : 1812.04880 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103463 . S2CID 119290424 .

[1] ООО, Книги (2010). Аффинная геометрия: аффинное преобразование, гиперплоскость, теорема Чевы, аффинная кривизна, барицентрические координаты, центроид, аффинное пространство . ООО «Дженерал Букс», 2010 . ISBN 9781155313931 .

[2] Марберг, Эрик; Чжан, Ифэн (март 2022 г.). «Аффинные переходы для инволюционных симметричных функций Стэнли». Европейский журнал комбинаторики . 101 : 103463. arXiv : 1812.04880 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103463 . S2CID 119290424 .

[1]

[2]