Косое отражение

Примеры наклонного отражения

В евклидовой геометрии наклонные отражения обобщают обычные отражения , не требуя, чтобы отражение осуществлялось с использованием перпендикуляров . Если две точки являются косыми отражениями друг друга, они все равно останутся таковыми при аффинных преобразованиях .

Рассмотрим плоскость P в трехмерном евклидовом пространстве . Обычное отражение точки А в пространстве относительно плоскости Р — это другая точка В в пространстве, такая, что середина отрезка АВ находится в плоскости, а АВ перпендикулярна плоскости. Для наклонного отражения вместо перпендикулярности требуется, чтобы AB была параллельна заданной опорной линии.

существует плоскость P Формально, пусть в трехмерном пространстве и линия L в пространстве, не параллельная P . Чтобы получить наклонное отражение точки A в пространстве относительно плоскости P , проводят через A линию, параллельную L , и пусть косое отражение A будет точкой B на этой линии на другой стороне плоскости, такой середина AB находится в P. что Если опорная линия L перпендикулярна плоскости, получается обычное отражение.

Например, рассмотрим плоскость P как плоскость xy , то есть плоскость, заданную уравнением z =0 в декартовых координатах . Пусть направление опорной линии L задается вектором ( a , b , c ) с c ≠0 (то есть L не параллельно P ). Тогда наклонное отражение точки ( x , y , z ) будет

$\left(x-{\frac {2za}{c}},y-{\frac {2zb}{c}},-z\right).$

Понятие наклонного отражения легко обобщается на наклонное отражение относительно аффинной гиперплоскости в R. ^н с линией, снова служащей ссылкой, или, в более общем смысле, наклонным отражением по отношению к k -мерному аффинному подпространству, с n - k -мерным аффинным подпространством, служащим ссылкой. Возвращаясь к трем измерениям, можно затем определить наклонное отражение по отношению к линии, используя плоскость в качестве ориентира.

Наклонное отражение — это аффинное преобразование , и это инволюция , означающая, что отражение отражения точки — это сама точка.