Классификация алгебр Клиффорда

В абстрактной алгебре , в частности в теории невырожденных квадратичных форм на векторных пространствах , конечномерные действительные и комплексные алгебры Клиффорда для невырожденной квадратичной формы были полностью классифицированы как кольца . В каждом случае алгебра Клиффорда является алгеброй, изоморфной полному кольцу матриц над R , C или H ( кватернионам ) или прямой сумме двух копий такой алгебры, хотя и не каноническим образом. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебра-изоморфными , как это имеет место Cl _1,1 ( R ) и Cl _2,0 ( R ), которые обе изоморфны как кольца кольцу чисел два на два. матрицы над действительными числами.

Обозначения и соглашения

Произведение Клиффорда является явным кольцевым произведением алгебры Клиффорда, и все гомоморфизмы алгебр в этой статье относятся к этому кольцевому произведению. Другие продукты, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешний продукт и другая структура, такая как выделенное подпространство генераторов V , здесь не используются. В этой статье используется соглашение о знаках (+) для умножения Клиффорда, так что $v^{2}=Q(v)1$ для всех векторов v в векторном пространстве образующих V , где Q — квадратичная форма в векторном V. пространстве будем обозначать размера n × n Алгебру матриц с элементами тела K M _n ( K ) или End( K ^н). Прямую сумму двух таких одинаковых алгебр будем обозначать M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) , которая изоморфна M _n ( K ⊕ K ) .

Периодичность Ботта

Алгебры Клиффорда обладают 2-кратной периодичностью по комплексным числам и 8-кратной периодичностью по действительным числам, которая связана с теми же периодичностями для гомотопических групп стабильной унитарной группы и стабильной ортогональной группы и называется периодичностью Ботта . Связь объясняется приближением геометрической модели пространств петель к периодичности Ботта: их 2-кратные/8-кратные периодические вложения классических групп друг в друга (соответствующие группам изоморфизмов алгебр Клиффорда), а их последовательные факторы являются симметрическими пространствами. которые гомотопически эквивалентны пространствам петель унитарной/ортогональной группы.

Сложный случай

Сложный случай особенно прост: каждая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме.

Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2},

где n = dim( V ) , поэтому по существу существует только одна алгебра Клиффорда для каждого измерения. Это связано с тем, что комплексные числа включают i, посредством которого − u _k² = +( iu _k ) ² и поэтому положительные или отрицательные термины эквивалентны. Обозначим алгебру Клиффорда на C ^н со стандартной квадратичной формой по Cl _n ( C ).

Необходимо рассмотреть два отдельных случая в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Когда n четно, алгебра Cl _n ( C ) является центрально простой и поэтому по теореме Артина – Веддерберна изоморфна матричной алгебре над C .

Когда n нечетно, в центр входят не только скаляры, но псевдоскаляры (элементы степени n и ). Мы всегда можем найти нормированный псевдоскаляр ω такой, что ω ² = 1 . Определение операторов

P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).

Эти два оператора образуют полный набор ортогональных идемпотентов и, поскольку они центральные, дают разложение Cl _n ( C ) в прямую сумму двух алгебр.

\mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),

где

\mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).

Алгебры Cl _n^±( C ) — это просто положительные и отрицательные собственные пространства ω , а P _± — это просто операторы проектирования. Поскольку ω нечетно, эти алгебры смешиваются по α (линейному отображению на V, определяемому v ↦ − v ):

\alpha \left(\mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right)=\mathrm {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} ),

и, следовательно, изоморфен (поскольку α — автоморфизм ) . Каждая из этих двух изоморфных алгебр является центрально простой и, следовательно, снова изоморфна матричной алгебре над C . Размеры матриц можно определить из того, что размерность Cl _n ( C ) равна 2 ^н. Тогда мы имеем следующую таблицу:

Классификация комплексных алгебр Клиффорда
н	Кл _н ( С )	кл. ^[0] _п ( С )	Н
даже	Конец( С ^Н)	Конец( С ^{Н /2}) ⊕ Конец( C ^{Н /2})	2 ^{н /2}
странный	Конец( С ^Н) ⊕ Конец( C ^Н)	Конец( С ^Н)	2 ^{( п -1)/2}

Четная подалгебра Cl ^[0]
_n ( C ) группы Cl _n ( C ) (неканонически) изоморфно Cl _{n −1} ( C ). Когда n четно, четную подалгебру можно отождествить с блочными диагональными матрицами (при разбиении на 2 × 2 блочные матрицы ). Когда n нечетно, четная подалгебра состоит из элементов End( C ^Н) ⊕ Конец( C ^Н), для которого обе части идентичны. Выбор любой части дает изоморфизм с Cl _n ( C ) ≅ End( C ^Н) .

Комплексные спиноры в четном измерении

Классификация позволяет спиноры Дирака и спиноры Вейля в четной размерности. определить ^[1]

В четной размерности n алгебра Клиффорда Cl _n ( C ) изоморфна End( C ^Н), которое имеет фундаментальное представление на ∆ _n := C ^Н. Комплексный спинор Дирака является элементом Δ _n . Термин «комплекс» означает, что это элемент пространства представления комплексной алгебры Клиффорда, а не элемент комплексного векторного пространства.

Чётная подалгебра Cl _n⁰( C ) изоморфен End( C ^{Н /2}) ⊕ Конец( C ^{Н /2}) и, следовательно, разлагается в прямую сумму двух неприводимых пространств представлений ∆ ⁺
_п ⊕ Д ⁻
_n , каждый изоморфен C ^{Н /2}. Левый (соответственно правый) комплексный спинор Вейля является элементом ∆ ⁺
_n (соответственно ∆ ⁻
_н ).

Доказательство структурной теоремы для комплексных алгебр Клиффорда.

Структурную теорему легко доказать индуктивно. Для базовых случаев Cl ₀ ( C ) — это просто C ≅ End( C ) , а Cl ₁ ( C ) задается алгеброй C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) путем определения единственной гамма-матрицы как γ ₁ = (1, −1) .

Нам также понадобится Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ²) . Матрицы Паули можно использовать для создания алгебры Клиффорда, полагая γ ₁ = σ ₁ , γ ₂ = σ ₂ . Пространство сгенерированной алгебры — End( C ²).

Доказательство завершается построением изоморфизма Cl _{n +2} ( C ) ≅ Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) . Пусть γ _a порождает Cl _n ( C ), и ${\tilde {\gamma }}_{a}$ генерировать Cl ₂ ( C ). Пусть ω = i ${\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}$ – элемент киральности, удовлетворяющий ω ² = 1 и ${\tilde {\gamma }}_{a}$ ох + ох ${\tilde {\gamma }}_{a}$ = 0 . Их можно использовать для построения гамма-матриц для Cl _{n +2} ( C ), установив Γ _a = γ _a ⊗ ω для 1 ≤ a ≤ n и Γ _a = 1 ⊗ ${\tilde {\gamma }}_{a-n}$ для а = п + 1, п + 2 . Можно показать, что они удовлетворяют требуемой алгебре Клиффорда, и в силу универсального свойства алгебр Клиффорда существует изоморфизм Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) → Cl _{n +2} ( C ) .

Наконец, в четном случае это означает по предположению индукции Cl _{n +2} ( C ) ≅ End( C ^Н) ⊗ Конец( C ²) ≅ Конец( C ^{Н +1}) . Нечетный случай аналогичен тому, что тензорное произведение распределяется по прямым суммам.

Реальный случай

Реальный случай значительно сложнее: периодичность равна 8, а не 2, и существует 2-параметрическое семейство алгебр Клиффорда.

Классификация квадратичных форм

Во-первых, существуют неизоморфные квадратичные формы данной степени, классифицируемые по сигнатуре.

Каждая невырожденная квадратичная форма в вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}

где n = p + q — размерность векторного пространства. Пара целых чисел ( p , q ) называется сигнатурой квадратичной формы. Действительное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается R ^{п , д}. Алгебра Клиффорда на R ^{п , д} обозначается Cl _{p , q} ( R ).

Стандартный ортонормированный базис { e _i } для R ^{п , д} состоит из n = p + q взаимно ортогональных векторов, p из которых имеют норму +1 и q имеют норму −1.

Единичный псевдоскаляр

Учитывая стандартный базис { e _i }, как определено в предыдущем подразделе, единичный псевдоскаляр в Cl _{p , q} ( R ) определяется как

\omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.

Это одновременно своего рода элемент Кокстера (продукт отражений) и самый длинный элемент группы Кокстера в порядке Брюа ; это аналогия. Он соответствует форме объема и обобщает ее (во внешней алгебре ; для тривиальной квадратичной формы единичный псевдоскаляр является формой объема) и усиливает отражение через начало координат (это означает, что образ единичного псевдоскаляра является отражением через начало координат, в ортогональной группе ).

Чтобы вычислить квадрат ω ² = ( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ е _n )( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ е _n ) , можно либо изменить порядок второй группы, в результате чего sn( σ ) e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n ⋅⋅⋅ e ₂ e ₁ , или применить идеальную перетасовку , получив Sign( σ ) e ₁ e ₁ e ₂ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n . Оба они имеют знак (-1). ^{⌊ n /2⌋} = (−1) ^{п ( п -1)/2}, который является 4-периодическим ( = ± 1 _, это _{доказательство), и в сочетании с ei ei i} показывает , что квадрат ω определяется выражением

\omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}

Обратите внимание, что, в отличие от комплексного случая, обычно невозможно найти псевдоскаляр, приводящий в квадрат +1.

Центр

Если n (эквивалентно, p − q ) четно, алгебра Cl _{p , q} ( R ) центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над R или H по теореме Артина–Веддерберна .

Если n (эквивалентно p − q ) нечетно, то алгебра больше не является центральной простой, а имеет центр, который включает в себя как псевдоскаляры, так и скаляры. Если n нечетно и ω ² = +1 (эквивалентно, если p − q ≡ 1 (mod 4) ), то, как и в комплексном случае, алгебра Cl _{p , q} ( R ) разлагается в прямую сумму изоморфных алгебр

\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),

каждая из которых центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над R или H .

Если n нечетно и ω ² = −1 (эквивалентно, если p − q ≡ −1 (mod 4) ), то центр Cl _{p , q} ( R ) изоморфен C и может рассматриваться как комплексная алгебра. Как комплексная алгебра, она центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над C .

Классификация

Всего есть три свойства, определяющие класс алгебры Cl _{p , q} ( R ):

мод подписи 2: n четное/нечетное: центральный простой или нет
подпись мод 4: ω ² = ±1 : если не центральный простой, то центр равен R ⊕ R или C
сигнатура по модулю 8: класс Брауэра алгебры ( n четный) или четной подалгебры ( n нечетный) равен R или H.

Каждое из этих свойств зависит только от сигнатуры p − q по модулю 8. Полная таблица классификации приведена ниже. Размер матриц определяется требованием, чтобы Cl _{p , q} ( R ) имели размерность 2 ^{п + д}.

п - q мод 8	ой ²	Cl _{p , q} (R) ( Н = 2 ^{( п + q )/2})	п - q мод 8	ой ²	Cl _{p , q} (R) ( Н = 2 ^{( p + q −1)/2})
0	+	М _Н ( Р )	1	+	М _N ( р ) ⊕ М _N ( р )
2	−	М _Н ( Р )	3	−	М _Н ( С )
4	+	М _{Н /2} ( Ч )	5	+	M _{N /2} ( ЧАС ) ⊕ M _{N /2} ( ЧАС )
6	−	М _{Н /2} ( Ч )	7	−	М _Н ( С )

Можно видеть, что из всех упомянутых типов матричных колец существует только один тип, общий для комплексных и вещественных алгебр: тип M _{2 ^м}( С ). Например, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) оба определены как M ₂ ( C ). Важно отметить, что существует разница в используемых классифицирующих изоморфизмах. Поскольку Cl ₂ ( C ) является алгеброй, изоморфной посредством C -линейного отображения (которое обязательно является R -линейным), а Cl _3,0 ( R ) является алгеброй, изоморфной посредством R -линейного отображения, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) R -алгебры изоморфны.

Ниже представлена таблица этой классификации для p + q ≤ 8 . Здесь p + q проходит вертикально, а p − q — горизонтально (например, алгебра Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) находится в строке 4, столбце −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0

Р

1

Р ²

С

2

М ₂ ( Р )

ЧАС

3

М2 ( С )

М ²
₂ ( Р )

М2 ( С )

ЧАС ²

4

М ₂ ( Ч )

M ₄( R )

М ₂ ( Ч )

5

М ²
₂ ( Ч )

M ₄( C )

М ²
₄ ( Р )

M ₄( C )

М ²
₂ ( Ч )

M ₄( C )

6

М ₄ ( Ч )

М ₈ ( Р )

М ₄ ( Ч )

М ₈ ( Р )

7

М ₈ ( С )

М ²
₄ ( Ч )

М ₈ ( С )

М ²
₈ ( Р )

М ₈ ( С )

М ²
₄ ( Ч )

М ₈ ( С )

М ²
₈ ( Р )

8

М ₁₆ ( Р )

М ₈ ( Ч )

М ₁₆ ( Р )

М ₈ ( Ч )

М ₁₆ ( Р )

ой ²

+

−

+

−

+

−

+

−

+

Симметрии

В приведенной выше таблице представлена запутанная паутина симметрий и отношений.

{\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ))\\\operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )\end{aligned}}

Если пройти по 4 точкам в любой строке, получится идентичная алгебра.

Из этой периодичности Ботта следует:

\operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).

Если подпись удовлетворяет условию p − q ≡ 1 (mod 4), то

\operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).

(Таблица симметрична относительно столбцов с сигнатурой ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Таким образом, если подпись удовлетворяет условию p − q ≡ 1 (mod 4) ,

\operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p-k,q}(\mathbf {R} ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,q-k}(\mathbf {R} )).

См. также

Алгебра Дирака Cl _1,3 ( C )
Алгебра Паули Cl _3.0 ( R )
Алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( R )
Модуль Клиффорда
Спиновое представление

Ссылки

^ Гамильтон, Марк Джей Ди (2017). Математическая калибровочная теория: с приложениями к стандартной модели физики элементарных частиц . Чам, Швейцария. стр. 346–347. ISBN 9783319684383 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Источники

Будинич, Паоло; Траутман, Анджей (1988). Спинориальная шахматная доска . Издательство Спрингер. ISBN 978-3-540-19078-3 .
Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (2016). Спиновая геометрия . Принстонская математическая серия. Том. 38. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-8391-2 .
Портеус, Ян Р. (1995). Алгебры Клиффорда и классические группы . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 50. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55177-9 .

[1] Гамильтон, Марк Джей Ди (2017). Математическая калибровочная теория: с приложениями к стандартной модели физики элементарных частиц . Чам, Швейцария. стр. 346–347. ISBN 9783319684383 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]