Jump to content

Линейная форма

(Перенаправлено из Двойного вектора )

В математике ( линейная форма также известная как линейный функционал , [1] одноформа линейное , или ковектор ) — отображение [номер 1] из векторного пространства в его ( часто поле скаляров действительных или комплексных чисел ).

Если V — векторное пространство над полем k , набор всех линейных функционалов от V до k сам по себе является векторным пространством над k определением сложения и скалярного умножения с поточечным . Это пространство называется пространством двойственным к V или иногда алгебраическим двойственным пространством , если топологическое двойственное пространство также рассматривается . Его часто обозначают Hom( V , k ) , [2] или, когда поле k понятно, ; [3] используются и другие обозначения, например , [4] [5] или [2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как обычно, когда базис фиксирован), тогда линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).

Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь k ).

  • Индексирование в вектор: второй элемент трехвектора задается одной формой То есть второй элемент является
  • Среднее : средний элемент -вектор задается одной формой То есть,
  • Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
  • Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока , задаётся одной формой где это ставка дисконтирования . То есть,

Линейные функционалы в R н

[ редактировать ]

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены в виде векторов-столбцов

Для каждого вектора-строки существует линейный функционал определяется и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки. и вектор-столбец :

След квадратной матрицы

[ редактировать ]

След квадратной матрицы представляет собой сумму всех элементов на его главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из множества всех матрицы. След является линейным функционалом в этом пространстве, поскольку и для всех скаляров и все матрицы

(Определенная) интеграция

[ редактировать ]

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана. — линейный функционал из векторного пространства непрерывных функций на интервале к реальным цифрам. Линейность следует из стандартных фактов об интеграле:

Позволять обозначаем векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени определяется на интервале Если тогда пусть быть функционалом оценки Отображение является линейным, поскольку

Если являются отдельные точки в тогда оценочные функционалы составляют основу дуального пространства ( Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ).

Непример

[ редактировать ]

Функция имея уравнение прямой с (например, ) не является линейным функционалом на , поскольку оно не линейно . [номер 2] Однако оно аффинно-линейно .

Визуализация

[ редактировать ]
Геометрическая интерпретация 1-формы α как стека гиперплоскостей постоянного значения, каждая из которых соответствует тем векторам, которые α сопоставляются с заданным скалярным значением, показанным рядом с ним вместе с «смыслом» увеличения.   нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера , Торна и Уиллера (1973) .

Приложения

[ редактировать ]

Приложение к квадратуре

[ редактировать ]

Если являются различные точки в [ a , b ] , то линейные функционалы определенные выше, образуют базис двойственного к P n пространства многочленов степени Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P n и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах есть коэффициенты для чего для всех Это составляет основу теории числовых квадратур . [6]

В квантовой механике

[ редактировать ]

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны Квантово - . своим собственным двойственным пространствам Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .

Распределения

[ редактировать ]

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах основных функций .

Двойные векторы и билинейные формы

[ редактировать ]
Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трёхмерном евклидовом пространстве . Количество гиперплоскостей (1-формы) , пересекаемых вектором, равно скалярному произведению . [7]

Каждая невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V V  : v v такой, что

где билинейная форма на V обозначается (например, в евклидовом пространстве , является скалярным произведением v ) и w .

Обратный изоморфизм — это V V  : v v , где v — единственный элемент V такой, что для всех

Определенный выше вектор v V называется двойственным вектором

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса . Существует отображение V V из V в его непрерывное дуальное пространство V .

Отношение к базам

[ редактировать ]

Основа двойного пространства

[ редактировать ]

Пусть векторное пространство V имеет базис , не обязательно ортогонально . Тогда двойственное пространство имеет основу называется двойственным базисом, определяемым особым свойством, которое

Или, более кратко,

где это дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.

Линейный функционал принадлежность к двойственному пространству может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u i ,

Тогда, применяя функционал к базисному вектору урожайность

вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем

Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт

[ редактировать ]

Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис можно записать явно для где ε символ Леви-Чивита , а внутренний продукт (или скалярное произведение на V. )

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом где оператор звезды Ходжа .

Через кольцо

[ редактировать ]

Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M — это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom k ( V , k ) независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V — левый модуль.

Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности . [8]

Лемма о двойственном базисе . модуль R - и только тогда , M проективен тогда когда существует подмножество и линейные формы такой, что для каждого только конечное число ненулевые, и

Смена поля

[ редактировать ]

Предположим, что является векторным пространством над Ограничение скалярного умножения порождает реальное векторное пространство [9] называется реализацией Любое векторное пространство над также является векторным пространством над наделен сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство так что мы можем (формально) написать как -векторные пространства.

Действительные и сложные линейные функционалы

[ редактировать ]

Каждый линейный функционал на является комплекснозначным, а каждый линейный функционал на имеет реальную ценность. Если то линейный функционал от любого из или нетривиально (то есть не тождественно ) тогда и только тогда, когда оно сюръективно (потому что если тогда для любого скаляра ), где образ линейного функционала на является а образ линейного функционала на является Следовательно, единственная функция на это одновременно линейный функционал от и линейная функция на – тривиальный функционал; другими словами, где пространства обозначает алгебраическое двойственное пространство . Однако каждый -линейный функционал по это -линейный оператор (это означает, что он аддитивен и однороден по ), но если это не тождественно это не -линейный функционал по потому что его диапазон (который ) двумерен над И наоборот, ненулевое -линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть -линейный функционал.

Действительные и мнимые части

[ редактировать ]

Если то обозначим его действительную часть через и его часть мнимая Затем и являются линейными функционалами от и Тот факт, что для всех подразумевает, что для всех [9] и, следовательно, что и [10]

Задание определяет биективу [10] -линейный оператор чьей обратной является карта определяется заданием который отправляет к линейному функционалу определяется Реальная часть является и биекция это -линейный оператор, что означает, что и для всех и [10] Аналогично для мнимой части присваивание вызывает -линейная биекция чьей обратной является карта определяется отправкой к линейному функционалу на определяется

Эта связь была открыта Генри Лёвигом в 1934 году (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею). [11] обобщено на произвольные конечные расширения поля и может быть естественным образом . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.

Свойства и отношения

[ редактировать ]

Предполагать является линейным функционалом от с реальной частью и мнимая часть

Затем тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

Предположим, что является топологическим векторным пространством . Затем непрерывно тогда и только тогда, когда его действительная часть непрерывно тогда и только тогда, когда мнимая часть является непрерывным. То есть либо все три и являются непрерывными или ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, тогда и только тогда, когда пространства где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство . [9]

Позволять Если для всех скаляров единичной длины (имеется в виду ) затем [доказательство 1] [12] Аналогично, если обозначает комплексную часть затем подразумевает Если это нормированное пространство с нормой и если — замкнутый единичный шар, то приведенные выше верхние грани — это операторные нормы (определенные обычным способом) и так что [12] Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .

  • Если представляет собой комплексное гильбертово пространство с (комплексным) скалярным произведением антилинейный тогда по первой координате (и линейный по второй), становится настоящим гильбертовым пространством, если наделить его реальной частью Явно, этот реальный внутренний продукт на определяется для всех и это индуцирует ту же норму на как потому что для всех векторов Применяя теорему о представлении Рисса к (соответственно ) гарантирует существование уникального вектора (соответственно ) такой, что (соответственно ) для всех векторов Теорема также гарантирует, что и Легко проверить, что Сейчас и предыдущие равенства означают, что это тот же вывод, который был сделан выше.

В бесконечных измерениях

[ редактировать ]

Ниже все векторные пространства относятся либо к действительным числам, либо к действительным числам. или комплексные числа

Если топологическое векторное пространство , пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если является банаховым пространством , то и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного.

Линейный функционал f (не обязательно локально выпуклом ) в топологическом векторном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что [13]

Характеристика замкнутых подпространств

[ редактировать ]

Непрерывные линейные функционалы обладают приятными для анализа свойствами : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто. [14] и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. [15]

Гиперплоскости и максимальные подпространства

[ редактировать ]

Векторное подпространство из называется максимальным, если (значение и ) и не существует векторного подпространства из такой, что Векторное подпространство из максимальна тогда и только тогда, когда она является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на (то есть, для некоторого линейного функционала на это не тождественно 0 ). Аффинная гиперплоскость в является трансляцией максимального векторного подпространства. По линейности подмножество из является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал на такой, что [11] Если является линейным функционалом и тогда это скаляр Это равенство можно использовать для связи наборов различных уровней. Более того, если тогда ядро можно восстановить по аффинной гиперплоскости к

Отношения между несколькими линейными функционалами

[ редактировать ]

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема [16] [17] - Если являются линейными функционалами на X , то следующие условия эквивалентны:

  1. f можно записать как линейную комбинацию ; то есть существуют скаляры такой, что ;
  2. ;
  3. существует действительное число r такое, что для всех и все

Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , удовлетворяет и U сбалансированное подмножество X , тогда тогда и только тогда, когда для всех [15]

Теорема Хана – Банаха

[ редактировать ]

Любой (алгебраический) линейный функционал в векторном подпространстве можно расширить на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки могут быть расширены до векторного пространства полиномов на всех Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,

Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении [18] ( Рудин 1991 , Т. 3.2) Если является сублинейной функцией и линейный функционал на линейном подпространстве который доминирует p на M , то существует линейное расширение f , т. е на все пространство X , в котором доминирует p . существует линейный функционал F такой, что для всех и для всех

Равнонепрерывность семейств линейных функционалов

[ редактировать ]

Пусть X топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством

Для любого H подмножества следующие эквивалентны: [19]

  1. H равностепенно непрерывен ;
  2. H содержится в поляре некоторой окрестности в Х ;
  3. точка (пре)полярная H является окрестностью в Х ;

Если H — равностепенно непрерывное подмножество то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание , сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . [19] Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое замыкание равнонепрерывного подмножества является слабенько-* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо-* относительно компактно). [20] [19]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ В некоторых текстах роли меняются местами, и векторы определяются как линейные отображения ковекторов в скаляры.
  2. ^ Например,

Доказательства

[ редактировать ]
  1. ^ Это правда, если так что предположим обратное. С для всех скаляров отсюда следует, что Если тогда пусть и быть таким, что и где если тогда возьми Затем и потому что это действительное число, По предположению так С было произвольным, отсюда следует, что
  1. ^ Экслер (2015) с. 101, §3.92
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вы (2011) стр. 19, §3.1.
  3. ^ Кацнельсон и Кацнельсон (2008), стр. 37, §2.1.3.
  4. ^ Экслер (2015) с. 101, §3.94
  5. ^ Халмос (1974) с. 20, §13
  6. ^ Лакс 1996
  7. ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973), с. 57
  8. ^ Кларк, Пит Л. Коммутативная алгебра (PDF) . Неопубликовано. Лемма 3.12.
  9. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Рудин 1991 , стр. 57.
  10. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 9–11.
  11. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 10–11.
  12. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 126–128.
  13. ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 126.
  14. ^ Рудин 1991 , Теорема 1.18.
  15. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 128.
  16. ^ Рудин 1991 , стр. 63–64.
  17. ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.
  18. ^ Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 177–220.
  19. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 225–273.
  20. ^ Шефер и Вольф 1999 , Следствие 4.3.

Библиография

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5a1b079c0a2a30327b0e795fe0bfdb52__1718494440
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5a/52/5a1b079c0a2a30327b0e795fe0bfdb52.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Linear form - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)