Линейная форма
В математике ( линейная форма также известная как линейный функционал , [1] одноформа линейное , или ковектор ) — отображение [номер 1] из векторного пространства в его ( часто поле скаляров действительных или комплексных чисел ).
Если V — векторное пространство над полем k , набор всех линейных функционалов от V до k сам по себе является векторным пространством над k определением сложения и скалярного умножения с поточечным . Это пространство называется пространством двойственным к V или иногда алгебраическим двойственным пространством , если топологическое двойственное пространство также рассматривается . Его часто обозначают Hom( V , k ) , [2] или, когда поле k понятно, ; [3] используются и другие обозначения, например , [4] [5] или [2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как обычно, когда базис фиксирован), тогда линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).
Примеры
[ редактировать ]Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь k ).
- Индексирование в вектор: второй элемент трехвектора задается одной формой То есть второй элемент является
- Среднее : средний элемент -вектор задается одной формой То есть,
- Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
- Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока , задаётся одной формой где это ставка дисконтирования . То есть,
Линейные функционалы в R н
[ редактировать ]Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены в виде векторов-столбцов
Для каждого вектора-строки существует линейный функционал определяется и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.
Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки. и вектор-столбец :
След квадратной матрицы
[ редактировать ]След квадратной матрицы представляет собой сумму всех элементов на его главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из множества всех матрицы. След является линейным функционалом в этом пространстве, поскольку и для всех скаляров и все матрицы
(Определенная) интеграция
[ редактировать ]Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана. — линейный функционал из векторного пространства непрерывных функций на интервале к реальным цифрам. Линейность следует из стандартных фактов об интеграле:
Оценка
[ редактировать ]Позволять обозначаем векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени определяется на интервале Если тогда пусть быть функционалом оценки Отображение является линейным, поскольку
Если являются отдельные точки в тогда оценочные функционалы составляют основу дуального пространства ( Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ).
Непример
[ редактировать ]Функция имея уравнение прямой с (например, ) не является линейным функционалом на , поскольку оно не линейно . [номер 2] Однако оно аффинно-линейно .
Визуализация
[ редактировать ]В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера , Торна и Уиллера (1973) .
Приложения
[ редактировать ]Приложение к квадратуре
[ редактировать ]Если являются различные точки в [ a , b ] , то линейные функционалы определенные выше, образуют базис двойственного к P n пространства многочленов степени Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P n и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах есть коэффициенты для чего для всех Это составляет основу теории числовых квадратур . [6]
В квантовой механике
[ редактировать ]Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны Квантово - . своим собственным двойственным пространствам Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .
Распределения
[ редактировать ]В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах основных функций .
Двойные векторы и билинейные формы
[ редактировать ]Каждая невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V ∗ : v ↦ v ∗ такой, что
где билинейная форма на V обозначается (например, в евклидовом пространстве , является скалярным произведением v ) и w .
Обратный изоморфизм — это V ∗ → V : v ∗ ↦ v , где v — единственный элемент V такой, что для всех
Определенный выше вектор v ∗ ∈ V ∗ называется двойственным вектором
В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса . Существует отображение V ↦ V ∗ из V в его непрерывное дуальное пространство V ∗ .
Отношение к базам
[ редактировать ]Основа двойного пространства
[ редактировать ]Пусть векторное пространство V имеет базис , не обязательно ортогонально . Тогда двойственное пространство имеет основу называется двойственным базисом, определяемым особым свойством, которое
Или, более кратко,
где это дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.
Линейный функционал принадлежность к двойственному пространству может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u i ,
Тогда, применяя функционал к базисному вектору урожайность
вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем
Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.
Двойной базис и внутренний продукт
[ редактировать ]Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис можно записать явно для где ε — символ Леви-Чивита , а внутренний продукт (или скалярное произведение на V. )
В более высоких измерениях это обобщается следующим образом где — оператор звезды Ходжа .
Через кольцо
[ редактировать ]Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M — это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom k ( V , k ) независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V — левый модуль.
Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности . [8]
Лемма о двойственном базисе . модуль R - и только тогда , M проективен тогда когда существует подмножество и линейные формы такой, что для каждого только конечное число ненулевые, и
Смена поля
[ редактировать ]Предположим, что является векторным пространством над Ограничение скалярного умножения порождает реальное векторное пространство [9] называется реализацией Любое векторное пространство над также является векторным пространством над наделен сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство так что мы можем (формально) написать как -векторные пространства.
Действительные и сложные линейные функционалы
[ редактировать ]Каждый линейный функционал на является комплекснозначным, а каждый линейный функционал на имеет реальную ценность. Если то линейный функционал от любого из или нетривиально (то есть не тождественно ) тогда и только тогда, когда оно сюръективно (потому что если тогда для любого скаляра ), где образ линейного функционала на является а образ линейного функционала на является Следовательно, единственная функция на это одновременно линейный функционал от и линейная функция на – тривиальный функционал; другими словами, где пространства обозначает алгебраическое двойственное пространство . Однако каждый -линейный функционал по это -линейный оператор (это означает, что он аддитивен и однороден по ), но если это не тождественно это не -линейный функционал по потому что его диапазон (который ) двумерен над И наоборот, ненулевое -линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть -линейный функционал.
Действительные и мнимые части
[ редактировать ]Если то обозначим его действительную часть через и его часть мнимая Затем и являются линейными функционалами от и Тот факт, что для всех подразумевает, что для всех [9] и, следовательно, что и [10]
Задание определяет биективу [10] -линейный оператор чьей обратной является карта определяется заданием который отправляет к линейному функционалу определяется Реальная часть является и биекция это -линейный оператор, что означает, что и для всех и [10] Аналогично для мнимой части присваивание вызывает -линейная биекция чьей обратной является карта определяется отправкой к линейному функционалу на определяется
Эта связь была открыта Генри Лёвигом в 1934 году (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею). [11] обобщено на произвольные конечные расширения поля и может быть естественным образом . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.
Свойства и отношения
[ редактировать ]Предполагать является линейным функционалом от с реальной частью и мнимая часть
Затем тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда
Предположим, что является топологическим векторным пространством . Затем непрерывно тогда и только тогда, когда его действительная часть непрерывно тогда и только тогда, когда мнимая часть является непрерывным. То есть либо все три и являются непрерывными или ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, тогда и только тогда, когда пространства где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство . [9]
Позволять Если для всех скаляров единичной длины (имеется в виду ) затем [доказательство 1] [12] Аналогично, если обозначает комплексную часть затем подразумевает Если это нормированное пространство с нормой и если — замкнутый единичный шар, то приведенные выше верхние грани — это операторные нормы (определенные обычным способом) и так что [12] Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .
- Если представляет собой комплексное гильбертово пространство с (комплексным) скалярным произведением антилинейный тогда по первой координате (и линейный по второй), становится настоящим гильбертовым пространством, если наделить его реальной частью Явно, этот реальный внутренний продукт на определяется для всех и это индуцирует ту же норму на как потому что для всех векторов Применяя теорему о представлении Рисса к (соответственно ) гарантирует существование уникального вектора (соответственно ) такой, что (соответственно ) для всех векторов Теорема также гарантирует, что и Легко проверить, что Сейчас и предыдущие равенства означают, что это тот же вывод, который был сделан выше.
В бесконечных измерениях
[ редактировать ]Ниже все векторные пространства относятся либо к действительным числам, либо к действительным числам. или комплексные числа
Если — топологическое векторное пространство , пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если является банаховым пространством , то и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного.
Линейный функционал f (не обязательно локально выпуклом ) в топологическом векторном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что [13]
Характеристика замкнутых подпространств
[ редактировать ]Непрерывные линейные функционалы обладают приятными для анализа свойствами : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто. [14] и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. [15]
Гиперплоскости и максимальные подпространства
[ редактировать ]Векторное подпространство из называется максимальным, если (значение и ) и не существует векторного подпространства из такой, что Векторное подпространство из максимальна тогда и только тогда, когда она является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на (то есть, для некоторого линейного функционала на это не тождественно 0 ). Аффинная гиперплоскость в является трансляцией максимального векторного подпространства. По линейности подмножество из является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал на такой, что [11] Если является линейным функционалом и тогда это скаляр Это равенство можно использовать для связи наборов различных уровней. Более того, если тогда ядро можно восстановить по аффинной гиперплоскости к
Отношения между несколькими линейными функционалами
[ редактировать ]Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.
Теорема [16] [17] - Если являются линейными функционалами на X , то следующие условия эквивалентны:
- f можно записать как линейную комбинацию ; то есть существуют скаляры такой, что ;
- ;
- существует действительное число r такое, что для всех и все
Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , удовлетворяет и U — сбалансированное подмножество X , тогда тогда и только тогда, когда для всех [15]
Теорема Хана – Банаха
[ редактировать ]Любой (алгебраический) линейный функционал в векторном подпространстве можно расширить на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки могут быть расширены до векторного пространства полиномов на всех Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,
Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении [18] ( Рудин 1991 , Т. 3.2) — Если является сублинейной функцией и — линейный функционал на линейном подпространстве который доминирует p на M , то существует линейное расширение f , т. е на все пространство X , в котором доминирует p . существует линейный функционал F такой, что для всех и для всех
Равнонепрерывность семейств линейных функционалов
[ редактировать ]Пусть X — топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством
Для любого H подмножества следующие эквивалентны: [19]
- H равностепенно непрерывен ;
- H содержится в поляре некоторой окрестности в Х ;
- точка (пре)полярная H является окрестностью в Х ;
Если H — равностепенно непрерывное подмножество то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание , сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . [19] Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое замыкание равнонепрерывного подмножества является слабенько-* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо-* относительно компактно). [20] [19]
См. также
[ редактировать ]- Прерывистая линейная карта
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Положительный линейный функционал – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком.
- Мультилинейная форма – отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
- Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
Примечания
[ редактировать ]Сноски
[ редактировать ]Доказательства
[ редактировать ]- ^ Это правда, если так что предположим обратное. С для всех скаляров отсюда следует, что Если тогда пусть и быть таким, что и где если тогда возьми Затем и потому что это действительное число, По предположению так С было произвольным, отсюда следует, что
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Экслер (2015) с. 101, §3.92
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вы (2011) стр. 19, §3.1.
- ^ Кацнельсон и Кацнельсон (2008), стр. 37, §2.1.3.
- ^ Экслер (2015) с. 101, §3.94
- ^ Халмос (1974) с. 20, §13
- ^ Лакс 1996
- ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973), с. 57
- ^ Кларк, Пит Л. Коммутативная алгебра (PDF) . Неопубликовано. Лемма 3.12.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Рудин 1991 , стр. 57.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 9–11.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 10–11.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 126–128.
- ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 126.
- ^ Рудин 1991 , Теорема 1.18.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 128.
- ^ Рудин 1991 , стр. 63–64.
- ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.
- ^ Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 177–220.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 225–273.
- ^ Шефер и Вольф 1999 , Следствие 4.3.
Библиография
[ редактировать ]- Экслер, Шелдон (2015), Правильно выполненная линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
- Бишоп, Ричард ; Гольдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий , Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
- Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
- Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3 . OCLC 18412261 .
- Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN 0-387-90093-4
- Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
- Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
- Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
- Шутц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
- Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
- Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
- Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .