Четырехтензорный

В физике , особенно в специальной теории относительности и общей теории относительности , четырёхтензор — это аббревиатура, обозначающая тензор в четырёхмерном пространстве-времени . ^[1]

Общие сведения

Общие четыре-тензоры обычно записываются в индексной записи тензора как

A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}}

индексы принимают целые значения от 0 до 3, где 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов. Существует n контравариантных индексов и m ковариантных индексов. ^[1]

В специальной и общей теории относительности многие представляющие интерес четыре тензора имеют первый порядок ( четыре вектора ) или второй порядок, но встречаются тензоры более высокого порядка. Примеры перечислены далее.

В специальной теории относительности векторный базис может быть ограничен ортонормированным, и в этом случае все четыре тензора преобразуются при преобразованиях Лоренца . В общей теории относительности необходимы более общие преобразования координат, поскольку такое ограничение вообще невозможно.

Примеры

Тензоры первого порядка

В специальной теории относительности одним из простейших нетривиальных примеров четырехтензора является четырехсмещение

x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)

четырехтензор с контравариантным рангом 1 и ковариантным рангом 0. Четырёхтензоры такого типа обычно называют четырёхвекторами . Здесь компонента x ⁰ = ct дает перемещение тела во времени (координата времени t умножается на скорость света c так, что x ⁰ имеет размерность длины). Остальные компоненты четырехсмещения образуют вектор пространственного смещения x = ( x ¹, х ², х ³). ^[1]

Четырехимпульс равен для массивных или частиц безмассовых

p^{\mu }=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)

объединяя свою энергию (деленную на c ) p ⁰ = E / c и 3- импульс p = ( p ¹, п ², п ³). ^[1]

Для частицы с инвариантной массой $m_{0}$ , также известная как масса покоя , четыре импульса определяются выражением

p^{\mu }=m_{0}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}

с $\tau$ собственное время частицы.

– Релятивистская масса это $m=\gamma m_{o}$ с фактором Лоренца

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}

Тензоры второго порядка

Метрический тензор Минковского с ортонормированным базисом для соглашения (−+++) имеет вид

\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,

используется для расчета элемента строки и повышения и понижения индексов . Вышесказанное относится к декартовым координатам. В общей теории относительности метрический тензор задается гораздо более общими выражениями для криволинейных координат.

Угловой момент L = x ∧ p частицы с релятивистской массой m и релятивистским моментом p (измеренный наблюдателем в лабораторной системе координат ) объединяется с другой векторной величиной N = m x − p t (без стандартного названия) в углового момента релятивистский тензор ^[2]^[3]

M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}

с компонентами

M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }

Тензор энергии-импульса континуума или поля обычно принимает форму тензора второго порядка и обычно обозначается T . Времениподобный компонент соответствует плотности энергии (энергия на единицу объема), смешанные пространственно-временные компоненты — плотности импульса (импульс на единицу объема), а чисто пространственноподобные части — трехмерному тензору напряжений.

Тензор электромагнитного поля объединяет электрическое поле и E и магнитное поле B. ^[4]

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Тензор электромагнитного смещения объединяет поле электрического смещения D и напряженность магнитного поля H следующим образом: ^[5]

{\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.

Тензор намагниченности - поляризации объединяет P и M поля ^[4]

{\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},

Три тензора поля связаны соотношением

{\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,

что эквивалентно определениям D и H. полей

Электрический дипольный момент d и магнитный дипольный момент ц частицы объединены в единый тензор ^[6]

\sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},

Тензор кривизны Риччи — еще один тензор второго порядка.

Тензоры высшего порядка

В общей теории относительности существуют тензоры кривизны, которые имеют тенденцию быть более высокого порядка, такие как тензор кривизны Римана и тензор кривизны Вейля , которые оба являются тензорами четвертого порядка.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ламбурн, Роберт Дж. А. Относительность, гравитация и космология. Издательство Кембриджского университета. 2010.
^ Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0 . Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя общепринято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
^ М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Уайли и сыновья . стр. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вандерлинде, Джек (2004), классическая электромагнитная теория , Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997
^ Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 96. ИСБН 978-0-486-64038-9 .
^ Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 73. ИСБН 978-0-486-64038-9 . В этой книге в тензоре не фигурирует множитель c, поскольку существуют разные соглашения о тензоре электромагнитного поля.

[Lambourne_2010-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ламбурн, Роберт Дж. А. Относительность, гравитация и космология. Издательство Кембриджского университета. 2010.

[2] Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0 . Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя общепринято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.

[3] М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Уайли и сыновья . стр. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4 .

[Vanderlinde-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вандерлинде, Джек (2004), классическая электромагнитная теория , Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997

[5] Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 96. ИСБН 978-0-486-64038-9 .

[6] Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 73. ИСБН 978-0-486-64038-9 . В этой книге в тензоре не фигурирует множитель c, поскольку существуют разные соглашения о тензоре электромагнитного поля.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]