Динамический бильярд

Частица, движущаяся внутри стадиона Бунимовича, известного хаотического бильярда. См. раздел «Программное обеспечение» для создания такой анимации.

Динамический бильярд — это динамическая система , в которой частица попеременно движется между свободным движением (обычно по прямой линии) и зеркальными отражениями от границы. При попадании на границу частица отражается от нее без потери скорости (т.е. упругие столкновения). Бильярд — это гамильтонова идеализация игры в бильярд , но область, содержащаяся границей, может иметь форму, отличную от прямоугольной, и даже быть многомерной. Динамический бильярд также можно изучать на основе неевклидовой геометрии ; действительно, первые исследования бильярда установили их эргодическое движение на поверхностях постоянной отрицательной кривизны . Изучение бильярда, который находится за пределами региона, а не внутри региона, известно как внешнего бильярда теория .

Движение частицы в бильярде представляет собой прямую линию с постоянной энергией между отражениями от границы ( геодезическая , если риманова метрика бильярдного стола не плоская). Все отражения зеркальны : угол падения непосредственно перед столкновением равен углу отражения сразу после столкновения. Последовательность , отражений описывается бильярдным отображением полностью характеризующим движение частицы.

Бильярд отражает всю сложность гамильтоновых систем, от интегрируемости до хаотического движения , без трудностей, связанных с интегрированием уравнений движения для определения его отображения Пуанкаре . Биркгоф показал, что бильярдная система с эллиптическим столом интегрируема.

Уравнения движения

Гамильтониан свободно для частицы массы m, движущейся без трения по поверхности, равен:

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)$

где $V(q)$ это потенциал, рассчитанный на ноль внутри области $\Omega$ в котором частица может двигаться, и бесконечность в противном случае:

$V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}$

Такая форма потенциала гарантирует зеркальное отражение на границе. Кинетический член гарантирует, что частица движется по прямой линии без какого-либо изменения энергии. Если частица должна двигаться по неевклидову многообразию , то гамильтониан заменяется на:

$H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)$

где $g_{ij}(q)$ – метрический тензор в точке $q\;\in \;\Omega$. Из-за очень простой структуры этого гамильтониана уравнения движения частицы, уравнения Гамильтона–Якоби , представляют собой не что иное, как уравнения геодезических на многообразии: частица движется по геодезическим .

Известные бильярд и классы бильярда

Бильярд Адамара

Основная статья: динамическая система Адамара

Бильярд Адамара касается движения свободной точечной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшей компактной римановой поверхности отрицательной кривизны — поверхности рода 2 (бублик с двумя отверстиями). Модель точно разрешима и задается геодезическим потоком на поверхности. Это самый ранний из когда-либо изученных примеров детерминированного хаоса , представленный Жаком Адамаром в 1898 году.

Бильярд Артина

Основная статья: Артинский бильярд

Бильярд Артина рассматривает свободное движение точечной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, по простейшей некомпактной римановой поверхности — поверхности с одним выступом. Он примечателен тем, что точно разрешим, но при этом не только эргодичен , но и сильно перемешивает . Это пример системы Аносова . Эту систему впервые изучил Эмиль Артин в 1924 году.

Дисперсионный и полудисперсионный бильярд.

Пусть M — полное гладкое риманово многообразие без края, максимальная секционная кривизна которого не превышает K и с радиусом инъективности $\rho >0$. Рассмотрим набор из n геодезически выпуклых подмножеств (стен) $B_{i}\subset M$, $i=1,\ldots ,n$, такие, что их границы являются гладкими подмногообразиями коразмерности один. Позволять $B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))$, где $\operatorname {Int} (B_{i})$ обозначает внутреннюю часть множества $B_{i}$. Набор $B\subset M$ будем называть бильярдным столом.Рассмотрим теперь частицу, которая движется внутри множества B с единичной скоростью по геодезической до тех пор, покаоно достигает одного из множеств B _i (такое событие называется столкновением), где отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (если оно достигает одного из множеств $B_{i}\cap B_{j}$ , $i\neq j$, после этого момента траектория не определена). Такая динамическая система называется полудисперсионным биллиардом . Если стенки строго выпуклые, то бильярд называется дисперсионным . Название мотивировано наблюдением, что локально параллельный пучок траекторий расходится после столкновения со строго выпуклой частью стены, но остается локально параллельным после столкновения с плоским участком стены.

Дисперсионная граница играет для биллиардов ту же роль, что и отрицательная кривизна для геодезических потоков, вызывая экспоненциальную неустойчивость динамики. Именно этот механизм диспергирования придает диспергирующим биллиардам сильнейшие хаотические свойства, как это установил Я. Г. Синай . А именно, бильярды являются эргодическими , перемешивающими , бернуллиевскими , имеющими положительную энтропию -Синая и экспоненциальное затухание корреляций Колмогорова .

Хаотические свойства обычных полудисперсионных биллиардов изучены недостаточно хорошо, однако свойства одного важного типа полудисперсионного бильярда - газа твердых шаров - изучались в некоторых деталях с 1975 года (см. следующий раздел).

Общие результаты Дмитрия Бураго и Сержа Ферлегера по равномерной оценке числа столкновений в невырожденном полудисперсионном биллиарде позволяют установить конечность его топологической энтропии и не более чем экспоненциальный рост периодических траекторий. Напротив, вырожденный полудисперсионный бильярд может иметь бесконечную топологическую энтропию.

Газ Лоренца, он же Синайский бильярд

Частица, движущаяся внутри синайского бильярда, также известная как газ Лоренца.

Таблица газа Лоренца (также известная как Синайский бильярд) представляет собой квадрат, из центра которого удален диск; стол ровный, не имеющий кривизны. Бильярд возник в результате изучения поведения двух взаимодействующих дисков, отскакивающих внутри квадрата, отражающихся от границ квадрата и друг от друга. Исключив центр масс как конфигурационную переменную, динамика двух взаимодействующих дисков сводится к динамике синайского биллиарда.

Бильярд был введен Я. Г. Синаем как пример взаимодействующей гамильтоновой системы , проявляющей физические термодинамические свойства: почти все (вплоть до нулевой меры) ее возможные траектории эргодичны и имеют положительный показатель Ляпунова .

Большим достижением Синая с этой моделью было то, что он показал, что классический ансамбль Больцмана-Гиббса для идеального газа по сути представляет собой максимально хаотический бильярд Адамара.

Бильярд с прыгающим шаром

На частицу действует постоянная сила (например, гравитация Земли) и она неупруго разлетается на периодически гофрированном вибрирующем полу. Когда пол выполнен в виде дуги или кругов - в определенном интервале частот - можно дать полуаналитические оценки скорости экспоненциального разделения траекторий.

Стадион Бунимовича

Стол под названием стадион Бунимовича представляет собой прямоугольник, увенчанный полукругами, фигуру, называемую стадионом . До тех пор, пока он не был введен Леонидом Бунимовичем бильярд с положительными показателями Ляпунова , считалось, что нуждается в выпуклых разбросах, таких как диск в синайском бильярде, для создания экспоненциальной расходимости орбит. Бунимович показал, что, рассматривая орбиты за точкой фокусировки вогнутой области, можно получить экспоненциальную расходимость.

Магнитный бильярд

Движение заряженной частицы внутри синайского бильярда с перпендикулярным магнитным полем.

Магнитный бильярд представляет собой бильярд, в котором заряженная частица распространяется в присутствии перпендикулярного магнитного поля. В результате траектория частицы меняется с прямой на дугу окружности. Радиус этого круга обратно пропорционален напряженности магнитного поля. Такой бильярд оказался полезен в реальных приложениях бильярда, обычно при моделировании наноустройств (см. «Приложения»).

Обобщенный бильярд

Обобщенный бильярд (ГБ) описывает движение массовой точки (частицы) внутри замкнутой области. $\Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}$ с кусочно гладкой границей $\Gamma$. На границе $\Gamma$ скорость точки преобразуется, когда частица подвергается действию обобщенного закона биллиарда. были введены Л. Д. Пустыльниковым : ГБ в общем случае и в случае, когда $\Pi$ это параллелепипед в связи с обоснованием второго начала термодинамики . С физической точки зрения ГБ описывают газ, состоящий из конечного числа частиц, движущихся в сосуде, при этом стенки сосуда нагреваются или остывают. Суть обобщения состоит в следующем. Когда частица достигает границы $\Gamma$, его скорость преобразуется с помощью заданной функции $f(\gamma ,\,t)$, определенный в прямом произведении $\Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}$ (где $\mathbb {R} ^{1}$ это настоящая линия, $\gamma \,\in \,\Gamma$ является точкой границы и $t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}$ время) по следующему закону. Предположим, что траектория частицы, движущейся со скоростью $v$, пересекается $\Gamma$ в точку $\gamma \,\in \,\Gamma$ во время $t^{*}$. Тогда во время $t^{*}$ частица приобретает скорость $v^{*}$, как если бы он подвергся упругому толчку со стороны бесконечно-тяжелой плоскости $\Gamma ^{*}$, что касается $\Gamma$ в точку $\gamma$, и во время $t^{*}$ движется по нормали к $\Gamma$ в $\gamma$ со скоростью $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})$. Подчеркнем, что положение самой границы фиксировано, а ее действие на частицу определяется через функцию $f$.

Примем положительное направление движения плоскости $\Gamma ^{*}$ быть ближе к внутренней части $\Pi$. Таким образом, если производная $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0$, то частица после удара ускоряется.

Если скорость $v^{*}$, приобретенное частицей в результате указанного выше закона отражения, направлено внутрь области $\Pi$, то частица покинет границу и продолжит движение внутрь $\Pi$ до следующего столкновения с $\Gamma$. Если скорость $v^{*}$ направлена ​​наружу $\Pi$, то частица остается на $\Gamma$ в точку $\gamma$ пока в какое-то время ${\tilde {t}}\;>\;t^{*}$ взаимодействие с границей заставит частицу покинуть ее.

Если функция $f(\gamma ,\,t)$ не зависит от времени $t$; то есть, $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0$, обобщенный бильярд совпадает с классическим.

Этот обобщенный закон отражения очень естественен. Во-первых, это отражает очевидный факт, что стенки сосуда с газом неподвижны. Во-вторых, действие стенки на частицу по-прежнему представляет собой классический упругий толчок. По сути, мы рассматриваем бесконечно мало движущиеся границы с заданными скоростями.

Считается отражением от границы $\Gamma$ как в рамках классической механики (ньютоновский случай), так и теории относительности (релятивистский случай).

Основные результаты: в ньютоновском случае энергия частицы ограничена, энтропия Гиббса постоянна, (в Примечаниях) а в релятивистском случае энергия частицы, энтропия Гиббса, энтропия по отношению к фазовому объёму растут до бесконечности, (в Примечаниях) ссылки на обобщенный бильярд.

Квантовый хаос

Квантовая версия бильярда легко изучается несколькими способами. Классический гамильтониан для бильярда, приведенный выше, заменяется стационарным уравнением Шредингера $H\psi \;=\;E\psi$ или, точнее,

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)$

где $\nabla ^{2}$ является лапласианом . Потенциал, который бесконечен за пределами региона $\Omega$ но ноль внутри него соответствует граничным условиям Дирихле :

$\psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega$

Как обычно, волновые функции считаются ортонормированными :

$\int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}$

Любопытно, что уравнение Шредингера в свободном поле совпадает с уравнением Гельмгольца :

$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0$

с

$k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}$

Это означает, что двух- и трехмерный квантовый бильярд можно моделировать классическими резонансными модами резонатора радара заданной формы, открывая тем самым дверь для экспериментальной проверки. (Изучение мод резонатора радара должно быть ограничено поперечными магнитными (TM) модами, поскольку именно они подчиняются граничным условиям Дирихле).

Квазиклассический предел соответствует $\hbar \;\to \;0$ что, как можно видеть, эквивалентно $m\;\to \;\infty$, масса увеличивается, поэтому он ведет себя классически.

В качестве общего утверждения можно сказать, что если классические уравнения движения интегрируемы ( например, прямоугольные или круглые бильярдные столы), то квантово-механическая версия бильярда полностью разрешима. Когда классическая система хаотична, квантовая система, как правило, не совсем разрешима и представляет многочисленные трудности при ее квантовании и оценке. Общее исследование хаотических квантовых систем известно как квантовый хаос .

Особенно яркий пример рубцевания на эллиптическом столе дает наблюдение так называемого квантового миража .

Приложения

Бильярд, как квантовый, так и классический, применялся в нескольких областях физики для моделирования весьма разнообразных систем реального мира. Примеры включают лучевую оптику , лазеры , акустика , оптические волокна (например, волокна с двойной оболочкой ), или квантово-классическое соответствие. Одно из наиболее частых их применений — моделирование частиц, движущихся внутри наноустройств, например квантовых точек . pn-переходы , антиточечные сверхрешетки, среди других. Причина столь широко распространенной эффективности бильярда как физической модели заключается в том, что в ситуациях с небольшим беспорядком или шумом движение, например, частиц, таких как электроны или световые лучи, очень похоже на движение точки. частицы в бильярде. Кроме того, энергосберегающий характер столкновений частиц является прямым отражением закона сохранения энергии гамильтоновой механики.

Программное обеспечение

Программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования бильярда существует для различных языков программирования. Ниже перечислены существующие программы (от самых последних до самых старых): DynamicalBilliards.jl (Julia), Bill2D (C++) и Billiard Simulator (Matlab). Анимации, представленные на этой странице, были созданы с помощью DynamicalBilliards.jl.

См. также

• Модель Ферми – Улама (бильярд с колеблющимися стенками)
• Любачевского-Стиллинджера Алгоритм сжатия моделирует твердые сферы, сталкивающиеся не только с границами, но и между собой при увеличении размеров.
• Арифметический бильярд
• Проблема с освещением

Ссылки

Бильярд Синая

• Синай, Я. Г. (1963). «[Об основах эргодической гипотезы динамической системы статистической механики]». Доклады Академии наук СССР . 153 (6): 1261–1264. (на англ. языке: Сов. мат. докл. 4 (1963), стр. 1818–1822).
• Я. Г. Синай, «Динамические системы с упругими отражениями», Российский математический обзор , 25 , (1970) стр. 137–191.
• В. И. Арнольд и А. Аллез, Эргодическая теория динамических систем , (1967), Готье-Виллар, Париж. (Английское издание: Бенджамин-Каммингс, Ридинг, Массачусетс, 1968 г.). (Содержит обсуждение и ссылки на бильярд Синая.)
• Д. Хайтманн, Дж. П. Коттхаус, «Спектроскопия массивов квантовых точек», Physics Today (1993), стр. 56–63. (Содержит обзор экспериментальных испытаний квантовых версий бильярда Синая, реализованных в виде наноразмерных (мезоскопических) структур на кремниевых пластинах.)
• С. Шридхар и В.Т. Лу, « Синайский бильярд, дзета-функции Рюэля и резонансы Рюэля: микроволновые эксперименты », (2002) Журнал статистической физики , Vol. 108 № 5/6, стр. 755–766.
• Линас Вепстас, Бильярд Синая , (2001). (Предоставляет изображения биллиарда Синая в трехмерном пространстве с помощью трассировки лучей. Эти изображения обеспечивают графическую, интуитивную демонстрацию сильной эргодичности системы.)
• Н. Чернов и Р. Маркарян, «Хаотический бильярд», 2006, Математический обзор и монографии № 127, АМН.

Странный бильярд

• Т. Шюрманн и И. Хоффманн. Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. Дж. Физ. A28, стр. 5033ff, 1995 г. PDF-документ.

Стадион Бунимовича

• Л.А.Бунимович (1979). «Об эргодических свойствах никуда не рассеивающихся бильярдов» . Коммунальная математическая физика . 65 (3): 295–312. Бибкод : 1979CMaPh..65..295B . дои : 10.1007/BF01197884 . S2CID   120456503 .
• Л.А.Бунимович и Я. Г. Синай (1980). «Марковские разбиения для дисперсного бильярда» . Коммунальная математическая физика . 78 (2): 247–280. Бибкод : 1980CMaPh..78..247B . дои : 10.1007/bf01942372 . S2CID   123383548 .
• Флеш-анимация, изображающая хаотичный стадион Бунимовича.

Обобщенный бильярд

• М. В. Дерябин и Л. Д. Пустыльников, "Обобщенный релятивистский бильярд", Рег. и Хаотическая Дин. 8 (3), стр. 283–296 (2003).
• М. В. Дерябин, Л. Д. Пустыльников, "Об обобщенно-релятивистском биллиарде во внешних силовых полях", Письма по математической физике , 63(3), стр. 195–207 (2003).
• М. В. Дерябин, Л. Д. Пустыльников, "Экспоненциальные аттракторы в обобщенном релятивистском биллиарде", Сообщение. Математика. Физ. 248(3), стр. 527–552 (2004).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Бильярд» . Математический мир .
• Статья в Scholarpedia о динамическом бильярде (Леонид Бунимович)
• Введение в динамические системы с использованием биллиарда , Институт Макса Планка физики сложных систем