Внешний бильярд
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( июнь 2013 г. ) |
Внешний бильярд — это динамическая система , основанная на выпуклой форме на плоскости. Классически эта система определяется для евклидовой плоскости. [1] но можно рассматривать систему и в гиперболической плоскости [2] или в других пространствах, которые подходящим образом обобщают плоскость. Внешний бильярд отличается от обычного динамического бильярда тем, что он имеет дело с дискретной последовательностью ходов вне фигуры, а не внутри нее.
Определения
[ редактировать ]Внешняя карта бильярда
[ редактировать ]Пусть P — выпуклая фигура на плоскости.Учитывая точку x0 вне точки P, обычно существует уникальная точка.точку x1 (также вне точки P) так, чтобы отрезок, соединяющий точки x0 и x1, касался точки P в своей средней точке ичеловек, идущий от x0 к x1, увидит P справа. (См. рисунок.) КартаF: x0 -> x1 называется внешним отображением биллиарда .
Обратное (или обратное ) внешнее отображение биллиарда также определяется как отображение x1 -> x0. Обратное отображение можно получить, просто заменив слово «право» на слово «лево» в приведенном выше определении.На рисунке показана ситуация в евклидовой плоскости , но определение в гиперболическая плоскость по существу то же самое.
Орбиты
[ редактировать ]Внешняя бильярдная орбита — это совокупность всех итераций точки, а именно...x0 ↔ x1 ↔ x2 ↔ x3... То есть начнем с x0 иитеративно применить как внешнюю бильярдную карту, так и обратную внешнюю бильярдную карту.Когда P представляет собой строго выпуклую форму, например эллипс ,каждая точка внешности P имеет четко определенную орбиту. Когда Пявляется многоугольником , некоторые точки могут не иметь четко определенных орбит из-запотенциальная неоднозначность выбора середины соответствующей касательной. Тем не менее, вВ полигональном случае почти каждая точка имеет четко определенную орбиту.
- Орбита называется периодической, если она с течением времени повторяется.
- Орбита называется апериодической (или непериодической ), если она не является периодической.
- Орбита называется ограниченной (или устойчивой ), если некоторая ограниченная область на плоскости содержит всю орбиту.
- Орбита называется неограниченной (или неустойчивой ), если она не ограничена.
Пространства более высоких измерений
[ редактировать ]Определение внешней бильярдной системы в многомерном пространстве выходит за рамки этой статьи. В отличие от обычного бильярда , определение не является простым. Одним из естественных параметров карты является комплексное векторное пространство . В этом случае происходит естественный выбор линии, касательной к выпуклому телу в каждой точке. Эти касательные можно получить, начав с нормалей и используя сложную структуру для поворота на 90 градусов. Эти выделенные касательные линии можно использоватьчтобы определить внешнюю карту биллиарда примерно так, как указано выше. [1]
История
[ редактировать ]Большинство людей приписывают появление внешнего бильярда Бернхарду Нейману в конце 1950-х годов. [3] хотя кажется, что некоторые люди ссылаются на более раннюю постройку, построенную в 1945 году М. Деем. Юрген Мозер популяризировал эту систему в 1970-х годах как игрушечную модель для небесной механики . [4] [5] Эта система изучалась классически в евклидовой плоскости , а в последнее время — вгиперболическая плоскость . Можно также рассмотреть пространства более высокой размерности, хотя серьезных исследований пока не проводилось. Бернхард Нойман неофициально поставил вопрос о том, можно лиимеют неограниченные орбиты во внешней бильярдной системе, и Мозер письменно изложил это в 1973 году. [4] Иногда этот основной вопрос называют вопросом Мозера-Неймана . Этот вопрос, первоначально поставленный для форм на евклидовой плоскости и решенный лишь недавно, стал ведущей проблемой в этой области.
Вопрос Мозера-Неймана
[ редактировать ]Ограниченные орбиты в евклидовой плоскости
[ редактировать ]В 70-х годах Юрген Мозер набросал доказательство, основанное на теории КАМ , что внешнее бильярд относительно6-кратно дифференцируемая форма положительной кривизны имеет все орбиты ограниченными.В 1982 году Рафаэль Дуади дал полное доказательство этого результата. [6] Большой прогресс в полигональном случае произошел в течение нескольких лет, когдатри авторских коллектива, Вивальди-Шайденко, [7] Уилрайт, [8] и Гуткин-Симаньи, [9] каждый различными методами показал, что внешний бильярд относительно квазирационального многоугольника имеет все орбиты ограниченными. Понятие квазирационального является техническим.(см. ссылки), но включает класс правильных многоугольников и выпуклых рациональных многоугольников , а именно те выпуклые многоугольники , вершины которых имеют рациональные координаты. В случае рациональных многоугольников все орбитыпериодический. В 1995 году Сергей Табачников показал, что внешний бильярд правильного пятиугольника имеет некоторые апериодические орбиты.тем самым проясняя различие между динамикой в рациональном и регулярном случаях. [1] В 1996 году Филип Бойланд показал, что внешний бильярд относительно некоторых фигур может иметь орбиты, которые накапливаются наформа. [10] В 2005 году Дэниел Генен показал, что все орбиты ограничены, если форма представляет собой трапецию , таким образомпоказывая, что квазирациональность не является необходимым условием для того, чтобы в системе были ограничены все орбиты. [11] (Не все трапеции квазирациональны.)
Неограниченные орбиты в евклидовой плоскости
[ редактировать ]В 2007 году Ричард Шварц показал, что внешний бильярд имеет несколько неограниченных орбит, если его определить.относительно воздушного змея Пенроуза , таким образом отвечая на первоначальный вопрос Мозера-Неймана утвердительно. [12] Воздушный змей Пенроуза — это выпуклый четырехугольник состоящей из воздушных змеев и дартс из мозаики Пенроуза, . Впоследствии Шварц показал, что внешний бильярд имеет неограниченные орбиты, если определить относительнуюлюбому иррациональному воздушному змею. [13] Иррациональный воздушный змей — это четырехугольник, обладающий следующим свойством: Одна из диагоналей четырехугольника . делит область на два треугольника равной площади а другая диагональ делит область на два треугольника , площади которых не кратны рациональным числам.друг друга. В 2008 году Дмитрий Долгопят и Басам Фаяд показали, что внешний бильярд, определенный относительно полудиска, имеетнеограниченные орбиты. [14] Полудиск — это область , которую можно получить, разрезав диск пополам.Доказательство Долгопята-Фаяда является надежным и также работает для областей, полученных путем разрезания диска почти пополам, когда слово « почти» интерпретируется соответствующим образом.
Неограниченные орбиты в гиперболической плоскости
[ редактировать ]В 2003 году Филиз Доуру и Сергей Табачников показали, что все орбиты неограниченны для определенного класса выпуклых многоугольников в гиперболической плоскости . [15] Такие многоугольники авторы называют большими . (См. определение в ссылке.) Филиз Доуру и Сэмюэл Оттен затем расширили эту работу в 2011 году, указав условия, при которых все орбиты правильного многоугольного стола в гиперболической плоскости имеют неограниченные, то есть большие орбиты. [16]
Существование периодических орбит
[ редактировать ]В обычном многоугольном бильярде существование периодическихорбит является серьезной нерешенной проблемой. Например, неизвестно, каждый лиСтол треугольной формы имеет периодическую бильярдную дорожку. Больший прогресс достигнутбыло сделано для внешнего бильярда, хотя ситуация еще далека от понимания.Как упоминалось выше, все орбиты являются периодическими, когда система определенаотносительно выпуклого рационального многоугольника на евклидовой плоскости . Более того, этонедавняя теорема Криса Калтера (записанная Сергеем Табачниковым) о том, что внешняябильярд относительно любого выпуклого многоугольника имеет периодические орбиты - фактическипериодическая орбита вне любой заданной ограниченной области. [17]
Открытые вопросы
[ редактировать ]Внешний бильярд - это предмет, который все еще находится на начальной стадии. Большинство проблем до сих пор не решены. Вот некоторые открытые проблемы в этой области.
- Покажите, что внешний бильярд относительно почти любого выпуклого многоугольника имеет неограниченные орбиты.
- Покажите, что во внешнем биллиарде относительно правильного многоугольника орбита является почти каждая периодической. Случаи равностороннего треугольника и квадрата тривиальны, и Табачников ответил на это для правильного пятиугольника. Это единственные известные случаи.
- в более широком смысле характеризуют структуру множества периодических орбит относительно типичного выпуклого многоугольника .
- понять структуру периодических орбит относительно простых фигур в гиперболической плоскости, таких как маленькие равносторонние треугольники.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Табачников, Серж (1995). Бильярд . Панорамы и синтезы. Математическое общество Франции. ISBN 978-2-85629-030-9 .
- ^ Табачников, Сергей (2002). «Двойной бильярд в гиперболической плоскости». Нелинейность . 15 (4): 1051–1072. Бибкод : 2002Nonli..15.1051T . CiteSeerX 10.1.1.408.9436 . дои : 10.1088/0951-7715/15/4/305 . S2CID 250758250 .
- ^ Нойманн, Бернхард Х. (25 января 1959 г.). «Делимся ветчиной и яйцами». Йота: Журнал студентов-математиков Манчестерского университета .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Мозер, Юрген (1973). Устойчивые и хаотические движения в динамических системах . Анналы математических исследований. Том. 77. Издательство Принстонского университета.
- ^ Мозер, Юрген (1978). «Стабильна ли Солнечная система?». Математический интеллект . 1 (2): 65–71. дои : 10.1007/BF03023062 .
- ^ Р. Дуади (1982). «эти де 3-емного цикла». Парижский университет 7.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Вивальди, Франко; Шайденко, Анна Васильевна (1987). «Глобальная устойчивость класса разрывных биллиардов» . Связь в математической физике . 110 (4): 625–640. Бибкод : 1987CMaPh.110..625V . дои : 10.1007/BF01205552 . S2CID 111386812 .
- ^ Колодзей, Рафал (1989). «Антимиллиард за пределами многоугольника». Бык. Польский акад. наук. Математика . 34 : 163–168.
- ^ Гуткин, Евгений; Симаньи, Нандор (1991). «Двуполигональный бильярд и динамика ожерелья» . Связь в математической физике . 143 (3): 431–450. Бибкод : 1992CMaPh.143..431G . дои : 10.1007/BF02099259 . S2CID 121776396 .
- ^ Бойленд, Филип (1996). «Двойной бильярд, твист-карты и ударные генераторы». Нелинейность . 9 (6): 1411–1438. arXiv : математика/9408216 . Бибкод : 1996Nonli...9.1411B . дои : 10.1088/0951-7715/9/6/002 . S2CID 18709638 .
- ^ Генин, Дэниел И. (2005). Регулярная и хаотическая динамика внешнего биллиарда (кандидатская диссертация). Государственный университет Пенсильвании.
- ^ Шварц, Ричард Э. (2007). «неограниченные орбиты для внешнего биллиарда I». Журнал современной динамики . 1 (3): 371–424. arXiv : математика/0702073 . Бибкод : 2007math......2073S . дои : 10.3934/jmd.2007.1.371 . S2CID 119146537 .
- ^ Шварц, Ричард Э. (2009). «наружный бильярд на воздушных змеях». Анналы математических исследований. 171 . Издательство Принстонского университета.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Долгопят, Дмитрий; Фаяд, Басам (2009). «неограниченные орбиты для полукруглых внешних биллиардов» . Анналы Анри Пуанкаре . 10 (2): 357–375. Бибкод : 2009АнХП...10..357Д . дои : 10.1007/s00023-009-0409-9 .
- ^ Доуру, Филиз; Табачников, Сергей (2003). «О многоугольном двойственном бильярде в гиперболической плоскости». Регулярная и хаотическая динамика . 8 (1): 67–82. Бибкод : 2003RCD.....8...67D . дои : 10.1070/RD2003v008n01ABEH000226 .
- ^ Доуру, Филиз; Оттен, Сэмюэл (2011). «Оценка внешних бильярдных столов» . Американский журнал студенческих исследований . 10 : 1–8. дои : 10.33697/ajur.2011.008 .
- ^ Табачников, Серж (2007). «Доказательство теоремы Калтера о существовании периодических орбит в многоугольных внешних биллиардах» . Геометрии посвященные . 129 : 83–87. arXiv : 0706.1003 . Бибкод : 2007arXiv0706.1003T . дои : 10.1007/s10711-007-9196-y .
