Личность Парсеваля

В математическом анализе тождество Парсеваля , названное в честь Марка-Антуана Парсеваля , является фундаментальным результатом о суммируемости ряда Фурье функции. Тождество утверждает равенство энергии периодического сигнала (задаваемой как интеграл от квадрата амплитуды сигнала) и энергии его представления в частотной области (задаваемой как сумма квадратов амплитуд). Геометрически это обобщенная теорема Пифагора для пространств со скалярным произведением (которые могут иметь несчетное количество базисных векторов).

Тождество утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье функции равна интегралу от квадрата функции: $$\Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}$$где коэффициенты Фурье $c_{n}$ из $f$ даны $$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.$$

Результат остается таким, как указано при условии $f$ — функция, интегрируемая с квадратом , или, в более общем смысле, в пространстве Lp $L^{2}[-\pi ,\pi ].$ Аналогичным результатом является теорема Планшереля , утверждающая, что интеграл от квадрата преобразования Фурье функции равен интегралу от квадрата самой функции. В одном измерении для $f\in L^{2}(\mathbb {R} ),$$$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.$$

Обобщение теоремы Пифагора

Тождество . связано с теоремой Пифагора в более общей ситуации сепарабельного гильбертова пространства следующим образом Предположим, что $H$ является гильбертовым пространством со внутренним произведением $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .$ Позволять $\left(e_{n}\right)$ быть ортонормированным базисом $H$; т. е. линейный размах $e_{n}$ плотный ​ в $H,$ и $e_{n}$ взаимно ортонормированы:

$\langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}$

Тогда тождество Парсеваля утверждает, что для каждого $x\in H,$$$\sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}.$$

Это прямой аналог теоремы Пифагора , которая утверждает, что сумма квадратов компонент вектора в ортонормированном базисе равна квадрату длины вектора. Можно восстановить версию личности Парсеваля в виде ряда Фурье, если $H$ быть гильбертовым пространством $L^{2}[-\pi ,\pi ],$ и настройка $e_{n}={\frac {e^{-inx}}{\sqrt {2\pi }}}$ для $n\in \mathbb {Z} .$

В более общем смысле, тождество Парсеваля справедливо в любом пространстве внутреннего произведения , а не только в сепарабельных гильбертовых пространствах. Итак, предположим, что $H$ представляет собой пространство внутреннего продукта. Позволять $B$ быть ортонормированным базисом $H$; то есть ортонормированное множество, которое является полным в том смысле, что линейная оболочка $B$ плотный в $H.$ Затем $$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.$$

Предположение, что $B$ является полным, необходимо для действительности личности. Если $B$ не тотально, то равенство в тождестве Парсеваля необходимо заменить на $\,\geq ,$ что приводит к неравенству Бесселя . Эту общую форму тождества Парсеваля можно доказать с помощью теоремы Рисса-Фишера .

См. также

• Теорема Парсеваля - Теорема по математике

Ссылки

• «Равенство Парсеваля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джонсон, Ли В.; Рисс, Р. Дин (1982), Численный анализ (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-10392-3 .
• Титчмарш, Э. (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press .
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9 .