Скалярное произведение

«Скалярное произведение» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об абстрактном скалярном продукте, см. Внутреннее пространство продукта . Чтобы узнать о произведении вектора и скаляра, см. Скалярное умножение .

В математике скалярное произведение или скалярное произведение — это алгебраическая операция , которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии скалярное произведение декартовых координат двух векторов широко используется . Его часто называют внутренним продуктом (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства , хотя это не единственный внутренний продукт, который можно определить в евклидовом пространстве ( см. Пространство внутреннего продукта подробнее ).

С алгебраической точки зрения скалярное произведение представляет собой сумму произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной евклидовы геометрии пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора — это квадратный корень скалярного произведения самого вектора) и углов (косинус угла между двумя векторами — это частное их скалярного произведения). произведением их длин).

Название «скалярное произведение» происходит от точечного оператора « · », который часто используется для обозначения этой операции; альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор (как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве).

Определение

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины) векторов. Эквивалентность этих двух определений основана на наличии декартовой системы координат для евклидова пространства.

В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством. $\mathbf {R} ^{n}$. В таком представлении понятия длины и угла определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень скалярного произведения вектора самого по себе, а косинус ( неориентированного) угла между двумя векторами длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.

Определение координат

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]$ и $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]$, указанный относительно ортонормированного базиса , определяется как:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$$

где $\Sigma$ обозначает суммирование и $n$ — размерность векторного пространства . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов $[1,3,-5]$ и $[4,-2,-1]$ является:

$${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$$

Аналогично, скалярное произведение вектора $[1,3,-5]$ с собой:

$${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}$$

Если векторы отождествляются с векторами-столбцами , скалярное произведение также можно записать как матричное произведение.

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,$$где $a{^{\mathsf {T}}}$ обозначает транспонирование ​ $\mathbf {a}$.

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется своей уникальной записью: $${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.$$

Геометрическое определение

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения

Расчет валентных углов симметричной тетраэдрической молекулярной геометрии с использованием скалярного произведения

В евклидовом пространстве — евклидов вектор это геометрический объект, обладающий как величиной, так и направлением. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина ​ вектора $\mathbf {a}$ обозначается $\left\|\mathbf {a} \right\|$. Скалярное произведение двух евклидовых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ определяется $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,$$где $\theta$ это угол между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

В частности, если векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ ортогональны равен (т.е. их угол ${\frac {\pi }{2}}$ или $90^{\circ }$), затем $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$, что означает, что

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.$$С другой стороны, если они сонаправлены , то угол между ними равен нулю при $\cos 0=1$ и $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|$$Это означает, что скалярное произведение вектора $\mathbf {a}$ с самим собой есть $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},$$что дает $$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},$$формула евклидовой длины вектора.

Скалярная проекция и первые свойства

Скалярная проекция

Скалярная проекция (или скалярная компонента) евклидова вектора. $\mathbf {a}$ по направлению евклидова вектора $\mathbf {b}$ дается $$a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$$где $\theta$ это угол между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать как $$a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},$$где ${\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|$ - единичный вектор в направлении $\mathbf {b}$.

Распределительный закон для скалярного произведения

Таким образом, скалярное произведение характеризуется геометрически $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.$$Скалярное произведение, определенное таким образом, является однородным при масштабировании по каждой переменной, а это означает, что для любого скаляра $\alpha$, $$(\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).$$Оно также удовлетворяет распределительному закону , а это означает, что $$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$$

Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму . Более того, эта билинейная форма положительно определена , что означает, что $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$ никогда не бывает отрицательным и равен нулю тогда и только тогда, когда $\mathbf {a} =\mathbf {0}$, нулевой вектор.

Эквивалентность определений

Если $\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}$ являются стандартными базисными векторами в $\mathbf {R} ^{n}$, то мы можем написать $${\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}$$Векторы $\mathbf {e} _{i}$ являются ортонормированным базисом , что означает, что они имеют единичную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Поскольку эти векторы имеют единичную длину, $$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1$$и поскольку они образуют друг с другом прямые углы, если $i\neq j$, $$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.$$Таким образом, в целом можно сказать следующее: $$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},$$где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Векторные компоненты в ортонормированном базисе

Также по геометрическому определению для любого вектора $\mathbf {e} _{i}$ и вектор $\mathbf {a}$, отметим, что $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},$$где $a_{i}$ является компонентом вектора $\mathbf {a}$ в направлении $\mathbf {e} _{i}$. Последний шаг равенства можно увидеть на рисунке.

Теперь применение распределительности геометрической версии скалярного произведения дает $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},$$что и есть алгебраическое определение скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению.

Характеристики

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, и $\mathbf {c}$ являются действительными векторами и $r$, $c_{1}$ и $c_{2}$ являются скалярами .

коммутативный

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,$$ что следует из определения ( $\theta$ это угол между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$): $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$$

Дистрибутивное сложение по векторам

$$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$$

Билинейный

$$\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).$$

Скалярное умножение

$$(c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$$

Не ассоциативный

потому что скалярное произведение скаляра $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ и вектор $\mathbf {c}$ не определено, а это означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, $(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$ или $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$ оба плохо определены. Однако обратите внимание, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциативности для скалярного и скалярного произведения». или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что $c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )$.

Ортогональный

Два ненулевых вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ ортогональны когда тогда и только тогда, $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$.

Без отмены

В отличие от умножения обычных чисел, где если $ab=ac$, затем $b$ всегда равно $c$ пока не $a$ равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону сокращения :

Если $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$ и $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$, то мы можем написать: $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0$ по распределительному закону ; результат выше говорит, что это просто означает, что $\mathbf {a}$ перпендикулярен $(\mathbf {b} -\mathbf {c} )$, что еще позволяет $(\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0}$и, следовательно, позволяет $\mathbf {b} \neq \mathbf {c}$.

Правило продукта

Если $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — векторнозначные дифференцируемые функции , то производная ( обозначается простым числом ${}'$) из $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ дается по правилу $$(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.$$

Приложение к закону косинусов

Треугольник с векторными краями a и b , разделенными углом θ .

Основная статья: Закон косинусов

Учитывая два вектора ${\color {red}\mathbf {a} }$ и ${\color {blue}\mathbf {b} }$ разделены углом $\theta$ (см. верхнее изображение), они образуют треугольник с третьей стороной ${\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }$. Позволять $a$, $b$ и $c$ обозначим длины ${\color {red}\mathbf {a} }$, ${\color {blue}\mathbf {b} }$, и ${\color {orange}\mathbf {c} }$, соответственно. Скалярное произведение этого самого себя:

$${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}$$

что такое закон косинусов .

Тройной продукт

Основная статья: Тройной продукт

Есть две троичные операции, включающие скалярное произведение и перекрестное произведение .

Скалярное тройное произведение трех векторов определяется как $$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$$Его значение является определителем матрицы, столбцы которой представляют собой декартовы координаты трех векторов. Это знаковый объем параллелепипеда , определяемый тремя векторами, и он изоморфен трехмерному частному случаю внешнего произведения трех векторов.

Тройное векторное произведение определяется формулой $$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .$$Это тождество, также известное как формула Лагранжа , можно запомнить как «ACB минус ABC», имея в виду, какие векторы разделены точками. Эта формула имеет применение для упрощения векторных вычислений в физике .

Физика

В физике скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скалярную величину. Он также известен как «скалярное произведение». Скалярное произведение двух векторов можно определить как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами. Таким образом, $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta$$ Альтернативно, он определяется как произведение проекции первого вектора на второй вектор и величины второго вектора.

Например:

• Механическая работа – это скалярное произведение векторов силы и перемещения .
• Мощность — это скалярное произведение силы и скорости .

Обобщения

Сложные векторы

Для векторов со сложными элементами использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой может быть равно нулю, даже если вектор не является нулевым вектором (например, это произошло бы с вектором $\mathbf {a} =[1\ i]$). Это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определённая норма, можно спасти ценой отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения посредством альтернативного определения. $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},$$где ${\overline {b_{i}}}$ представляет собой сопряжение комплексное $b_{i}$. Когда векторы представлены векторами-столбцами , скалярное произведение может быть выражено как матричное произведение, включающее сопряженное транспонирование , обозначаемое верхним индексом H:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .$$

В случае векторов с вещественными компонентами это определение такое же, как и в вещественном случае. Скалярное произведение любого вектора с самим собой представляет собой неотрицательное действительное число и не равно нулю, за исключением нулевого вектора. Однако комплексное скалярное произведение является полуторалинейным, а не билинейным, поскольку оно сопряжено линейно , а не линейно по $\mathbf {a}$. Скалярное произведение не симметрично, поскольку $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.$$Тогда угол между двумя комплексными векторами определяется выражением $$\cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

Комплексное скалярное произведение приводит к понятиям эрмитовых форм и общих пространств внутреннего произведения , которые широко используются в математике и физике .

Скалярное произведение сложного вектора $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a}$, включающий сопряженное транспонирование вектора-строки, также известно как квадрат нормы , ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$, после евклидовой нормы ; это векторное обобщение абсолютного квадрата комплексного скаляра (см. также: квадрат евклидова расстояния ).

Внутренний продукт

Основная статья: Внутреннее пространство продукта

Внутренний продукт обобщает скалярное произведение на абстрактные векторные пространства над полем скаляров чисел , являющимся либо полем действительных $\mathbb {R}$ или поле комплексных чисел $\mathbb {C}$. Обычно его обозначают угловыми скобками : $\left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle$.

Внутреннее произведение двух векторов по полю комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным , а не билинейным. Пространство внутреннего продукта — это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на самого себя является действительным и положительно определенным.

Функции

Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число элементов . Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : длину $n$ вектор $u$ тогда это функция с областью определения $\{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}$, и $u_{i}$ это обозначение изображения $i$ по функции/вектору $u$.

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : точно так же, как внутренний продукт векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутренний продукт функций определяется как интеграл на некотором интервале [ a , b ] :

$$\left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)\,dx.$$

Обобщается далее на сложные функции $\psi (x)$ и $\chi (x)$, по аналогии с приведенным выше комплексным внутренним произведением, дает

$$\left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}\,dx.$$

Весовая функция

Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. е. функцию, которая присваивает каждому члену внутреннего продукта определенное значение). Явно внутренний продукт функций $u(x)$ и $v(x)$ относительно весовой функции $r(x)>0$ является

$$\left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.$$

Диадики и матрицы

Двойное скалярное произведение для матриц — это внутреннее произведение Фробениуса , которое аналогично скалярному произведению на векторах. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонент двух матриц $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ того же размера:

$$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).$$А для реальных матриц $$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).$$

Записав матрицу как диадическую , мы можем определить другое произведение с двойной точкой (см. Диадические элементы § Продукт диадного и диадического ), однако это не внутренний продукт.

Тензоры

Внутренний продукт между тензором порядка $n$ и тензор порядка $m$ является тензором порядка $n+m-2$, см. в разделе Тензорное сокращение подробности .

Вычисление

Алгоритмы

Простой алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может пострадать от катастрофической отмены . такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана Чтобы избежать этого, используются .

Библиотеки

Функция скалярного произведения включена в:

• BLAS уровень 1 настоящий SDOT, DDOT; сложный CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC, ZDOTC = X^H * Y
• Фортран как dot_product(A,B) или sum(conjg(A) * B)
• Джулия как A' * B или стандартная библиотека LinearAlgebra как dot(A, B)
• R (язык программирования) как sum(A * B) для векторов или, в более общем смысле, для матриц, как A %*% B
• Матлаб как A' * B или conj(transpose(A)) * B или sum(conj(A) .* B) или dot(A, B)
• Python (пакет NumPy ) как np.matmul(A, B) или np.dot(A, B) или np.inner(A, B)
• GNU Октава как sum(conj(X) .* Y, dim)и аналогичный код, как Matlab
• Библиотека математического ядра Intel oneAPI реальный p?dot dot = sub(x)'*sub(y); сложный p?dotc dotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

См. также

• Неравенство Коши – Шварца
• Перекрестное произведение
• Представление скалярного произведения графика
• Евклидова норма , квадратный корень из собственного скалярного произведения
• Умножение матрицы
• Метрический тензор
• Умножение векторов
• Внешний продукт

Внешние ссылки

• «Внутренний продукт» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Объяснение скалярного произведения, в том числе со сложными векторами
• «Скалярный продукт» Брюса Торренса, Демонстрационный проект Wolfram , 2007 г.