Berezin integral

В математической физике , интеграл Березин названный в честь Феликса Березина (также известный как интеграл Грассмана , в честь Германа Грассмана ), является способом определения интегрирования для функций переменных Грассмана (элементов внешней алгебры ). Это не интеграл в смысле Лебега ; Слово «интеграл» используется потому, что интеграл Березин имеет свойства, аналогичные интегралу Лебега, и потому, что он расширяет интеграл по путям в физике, где он используется как сумма по историям фермионов .

Определение

Позволять $\Lambda ^{n}$ — внешняя алгебра многочленов от антикоммутирующих элементов $\theta _{1},\dots ,\theta _{n}$ над полем комплексных чисел. (Порядок генераторов $\theta _{1},\dots ,\theta _{n}$ фиксирован и определяет ориентацию внешней алгебры.)

Одна переменная

по Интеграл Березина единственной переменной Грассмана $\theta =\theta _{1}$ определяется как линейный функционал

$\int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C}$

где мы определяем

$\int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0$

так что :

$\int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.$

Эти свойства однозначно определяют интеграл и подразумевают

$\int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .$

Обратите внимание, что $f(\theta )=a\theta +b$ является наиболее общей функцией $\theta$ поскольку переменные Грассмана равны нулю, поэтому $f(\theta )$ не может иметь ненулевых членов за пределами линейного порядка.

Несколько переменных

The Berezin integral on $\Lambda ^{n}$ определяется как единственный линейный функционал $\int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta$ со следующими свойствами:

$\int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,$

$\int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n$

для любого $f\in \Lambda ^{n},$ где $\partial /\partial \theta _{i}$ означает левую или правую частную производную. Эти свойства однозначно определяют интеграл.

Обратите внимание, что в литературе существуют разные соглашения: некоторые авторы вместо этого определяют

$\int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.$

Формула

$\int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}$

выражает закон Фубини. В правой части внутренний интеграл монома $f=g(\theta ')\theta _{1}$ настроено быть $g(\theta '),$ где $\theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)$; интеграл $f=g(\theta ')$ исчезает. Интеграл по $\theta _{2}$ рассчитывается аналогичным образом и так далее.

Замена переменных Грассмана

Позволять $\theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,$ быть нечетными полиномами от некоторых антисимметричных переменных $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$. Якобиан — это матрица

$D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},$

где $\partial /\partial \xi _{j}$ относится к правой производной ( $\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}$). Формула изменения координат имеет вид

$\int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi .$

Интегрирование четных и нечетных переменных

Определение

Рассмотрим теперь алгебру $\Lambda ^{m\mid n}$ функций вещественных коммутирующих переменных $x=x_{1},\ldots ,x_{m}$ и антикоммутирующих переменных $\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ (которая называется свободной супералгеброй размерности $(m|n)$). Интуитивно, функция $f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}$ является функцией m четных (бозонных, коммутирующих) переменных и n нечетных (фермионных, антикоммутирующих) переменных. Более формально, элемент $f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}$ является функцией аргумента $x$ это варьируется в открытом наборе $X\subset \mathbb {R} ^{m}$ со значениями в алгебре $\Lambda ^{n}.$ Предположим, что эта функция непрерывна и обращается в нуль в дополнении к компакту $K\subset \mathbb {R} ^{m}.$ Интеграл Березина – это число

$\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .$

Замена четных и нечетных переменных

Пусть преобразование координат задается формулой $x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,$ где $x_{i}$ четные и $\theta _{j}$ являются нечетными полиномами $\xi$ в зависимости от четных переменных $y.$ Матрица Якоби этого преобразования имеет блочную форму:

$\mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$

где каждая четная производная $\partial /\partial y_{j}$ коммутирует со всеми элементами алгебры $\Lambda ^{m\mid n}$; нечетные производные коммутируют с четными элементами и антикоммутируют с нечетными элементами. Записи диагональных блоков $A=\partial x/\partial y$ и $D=\partial \theta /\partial \xi$ четные, а записи недиагональных блоков $B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y$ являются нечетными функциями, где $\partial /\partial \xi _{j}$ снова означают правые производные .

Теперь нам понадобится Березиниан (или суперопределитель ) матрицы $\mathrm {J}$, что является четной функцией

$\operatorname {Ber} \mathrm {J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}$

определяется, когда функция $\det D$ обратима в $\Lambda ^{m\mid n}.$ Предположим, что действительные функции $x_{i}=x_{i}(y,0)$ определить гладкое обратимое отображение $F:Y\to X$ открытых наборов $X,Y$ в $\mathbb {R} ^{m}$ и линейная часть карты $\xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )$ обратима для каждого $y\in Y.$ Общий закон преобразования интеграла Березина имеет вид

${\begin{aligned}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}$

где $\varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y$) — знак ориентации карты $F.$ Суперпозиция $f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))$ определяется очевидным образом, если функции $x_{i}(y,\xi )$ не зависеть от $\xi .$ В общем случае пишем $x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},$ где $\delta _{i},i=1,\ldots ,m$ являются даже нильпотентными элементами $\Lambda ^{m\mid n}$ и установить

$f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,$

где ряд Тейлора конечен.

Полезные формулы

Следующие формулы для гауссовских интегралов часто используются в формулировке интеграла по путям квантовой теории поля :

• $\int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A$

с $A$ будучи комплексом $n\times n$ матрица.

• $\int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}$

с $M$ являющийся сложной кососимметричной $n\times n$ матрица и $\mathrm {Pf} \,M$ будучи пфаффианцем ​ $M$, который выполняет $(\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M$.

В приведенных выше формулах используются обозначения $d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}$ используется. Из этих формул следуют другие полезные формулы (см. Приложение А в ) :

• $\int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]$

с $A$ будучи обратимым $n\times n$ матрица. Обратите внимание, что все эти интегралы имеют форму статистической суммы .

История

Интеграл Березина, вероятно, был впервые представлен Дэвидом Джоном Кэндлином в 1956 году. Позже он был независимо открыт Феликсом Березиным в 1966 году.

К сожалению, статья Кэндлина не привлекла внимания и была предана забвению. Работа Березина стала широко известна и цитировалась почти повсеместно. становится незаменимым инструментом для рассмотрения квантовой теории поля фермионов с помощью функционального интеграла.

В эти разработки внесли свой вклад и другие авторы, в том числе физики Халатников. (хотя его статья содержит ошибки), Мэтьюз и Салам, и Мартин.

См. также

• Супермногообразие
• в Березине

Дальнейшее чтение

• Теодор Воронов: Геометрическая теория интегрирования на супермногообразиях , Harwood Academic Publisher, ISBN   3-7186-5199-8
• Березин Феликс Александрович: Введение в суперанализ , Springer Нидерланды, ISBN   978-90-277-1668-2