Число Грассмана

В математической физике число Грассмана , названное в честь Германа Грассмана (также называемое антикоммутирующим числом или сверхчислом ), является элементом внешней алгебры над комплексными числами. ^[1] Частный случай одномерной алгебры известен как двойственное число . Числа Грассмана рано использовались в физике для выражения представления интеграла по траекториям для фермионных полей , хотя сейчас они широко используются в качестве основы для суперпространства , на котором суперсимметрия строится .

Неформальное обсуждение

Числа Грассмана генерируются антикоммутирующими элементами или объектами. Идея антикоммутирующих объектов возникает во многих областях математики: их обычно можно увидеть в дифференциальной геометрии , где дифференциальные формы антикоммутируют. Дифференциальные формы обычно определяются в терминах производных на многообразии; однако можно созерцать ситуацию, когда кто-то «забывает» или «игнорирует» существование какого-либо основного многообразия, и «забывает» или «игнорирует», что формы были определены как производные, и вместо этого просто созерцают ситуацию, когда у нас есть объекты которые не допускают коммутации и не имеют других заранее определенных или предполагаемых свойств. Такие объекты образуют алгебру , а именно алгебру Грассмана или внешнюю алгебру.

Числа Грассмана являются элементами этой алгебры. Название «число» оправдано тем, что они ведут себя мало чем отличаясь от «обычных» чисел: их можно складывать, умножать и делить: они ведут себя почти как поле . Можно сделать больше: можно рассматривать полиномы чисел Грассмана, что приводит к идее голоморфных функций . Можно взять производные от таких функций, а затем рассмотреть и первообразные. Каждую из этих идей можно тщательно определить, и они достаточно хорошо соответствуют эквивалентным концепциям обычной математики. На этом аналогия не заканчивается: существует целая ветвь суперматематики , где аналогом евклидова пространства является суперпространство , аналогом многообразия является супермногообразие , аналогом алгебры Ли является супералгебра Ли и так далее. Числа Грассмана — это основная конструкция, которая делает все это возможным.

Конечно, можно было бы реализовать аналогичную программу для любой другой области или даже кольца , и это действительно широко и обычно делается в математике. Однако суперматематика приобретает особое значение в физике, поскольку антикоммутационное поведение можно сильно отождествить с квантово-механическим поведением фермионов: антикоммутация — это антикоммутация принципа Паули . Таким образом, изучение чисел Грассмана и суперматематики в целом во многом обусловлено их полезностью в физике.

В частности, в квантовой теории поля или, более узко, во втором квантовании , используются лестничные операторы , которые создают многочастичные квантовые состояния. Лестничные операторы для фермионов создают кванты поля, которые обязательно должны иметь антисимметричные волновые функции , поскольку это обусловлено принципом исключения Паули. В этой ситуации число Грассмана немедленно и непосредственно соответствует волновой функции, которая содержит некоторое (обычно неопределенное) количество фермионов.

Когда число фермионов фиксировано и конечно, явная связь между антикоммутационными соотношениями и спинорами задается с помощью спиновой группы . Эту группу можно определить как подмножество векторов единичной длины в алгебре Клиффорда , и она естественным образом разлагается на антикоммутирующие спиноры Вейля . И антикоммутация, и выражение в виде спиноров возникают естественным образом для спиновой группы. По сути, числа Грассмана можно рассматривать как отбрасывающие соотношения, возникающие из-за спина, и сохраняющие только соотношения, обусловленные антикоммутацией.

Общее описание и свойства

Числа Грассмана — это отдельные элементы или точки внешней алгебры, порожденные набором из $n$ переменных Грассмана , направлений Грассмана или суперзарядов . $\{\theta _{i}\}$ , причем $n,$ возможно, бесконечно. Использование термина «переменные Грассмана» имеет историческое значение; они не являются переменными сами по себе ; их лучше понимать как базисные элементы единичной алгебры . Эта терминология исходит из того факта, что основное использование заключается в определении интегралов и что переменная интегрирования имеет значение Грассмана и поэтому, злоупотребляя языком, называется переменной Грассмана. Точно так же понятие направления происходит от понятия суперпространства , где обычное евклидово пространство расширяется дополнительными «направлениями» со значениями Грассмана. Название заряда происходит от понятия зарядов в физике , которые соответствуют генераторам физической симметрии (через теорему Нётер ). Предполагаемая симметрия заключается в том, что умножение на одну переменную Грассмана меняет местами $\mathbb {Z} _{2}$ градация между фермионами и бозонами; более подробно это обсуждается ниже.

Переменные Грассмана являются базисными векторами векторного пространства (размерности $n$ ). Они образуют алгебру над полем , причем полем обычно считаются комплексные числа , хотя можно рассматривать и другие поля, например действительные числа. Алгебра является алгеброй с единицей , а образующие антикоммутируют:

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}

Поскольку $\theta _{i}$ являются элементами векторного пространства над комплексными числами, они по определению коммутируют с комплексными числами. То есть для комплексного $x$ имеем

\theta _{i}x=x\theta _{i}.

Квадраты образующих исчезают:

(\theta _{i})^{2}=0,

с

\theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.

Другими словами, переменная Грассмана — это ненулевой квадратный корень из нуля.

Формальное определение

Формально, пусть $—$ V $n$ -мерное комплексное векторное пространство с базисом $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ . Алгебра Грассмана, переменные Грассмана которой равны $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ определяется как внешняя алгебра $V$ , а именно

\Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,

где $\wedge$ является внешним продуктом и $\oplus$ это прямая сумма . Отдельные элементы этой алгебры тогда называются числами Грассмана . Символ клина обычно опускается. $\wedge$ при записи числа Грассмана после того, как определение установлено. Общее число Грассмана можно записать как

z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},

где $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})$ являются строго возрастающими $k$ -кортежами с $1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k$ и $c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$ являются комплексными вполне антисимметричными тензорами ранга $k$ . Опять же, $\theta _{i}$ и $\theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}$ (при условии $i<j$ ), и более крупные конечные произведения, как видно, играют здесь роль базисных векторов подпространств $\Lambda$ .

Алгебра Грассмана, порожденная $n$ линейно независимыми переменными Грассмана, имеет размерность $2. н$ ; это следует из биномиальной теоремы, примененной к указанной выше сумме, и того факта, что $(n + 1)$ -кратное произведение переменных должно обращаться в нуль в соответствии с антикоммутационными соотношениями, указанными выше. Размерность $\Lambda ^{k}V$ задается $n,$ выберите $k$ , биномиальный коэффициент . Особый случай $n = 1$ называется двойственным числом и был введен Уильямом Клиффордом в 1873 году.

В случае, если $V$ бесконечномерно, приведенный выше ряд не заканчивается, и определяется

\Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .

Общий элемент теперь

z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},

где $z_{B}$ иногда называют телом и $z_{S}$ как душа сверхномера $z$ .

Характеристики

В конечномерном случае (используя ту же терминологию) душа нильпотентна , т.е.

z_{S}^{n+1}=0,

но это не обязательно так в бесконечномерном случае. ^[2]

Если $V$ конечномерно, то

\theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,

и если $V$ бесконечномерно ^[3]

\theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.

Конечные и счетные множества генераторов

В литературе обычно встречаются два различных типа сверхчислов: с конечным числом генераторов, обычно $n$ = 1, 2, 3 или 4, и со счетным бесконечным числом генераторов. Эти две ситуации не так уж не связаны друг с другом, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, в определении супермногообразия один вариант использует счетно-бесконечное число образующих, но затем использует топологию, которая эффективно сводит размерность к небольшому конечному числу. ^[4]^[5]

В другом случае можно начать с конечного числа генераторов, но в ходе вторичного квантования возникает необходимость в бесконечном числе генераторов: по одному на каждый возможный импульс, который может нести фермион.

Инволюция, выбор поля

Комплексные числа обычно выбираются в качестве поля для определения чисел Грассмана, а не действительных чисел, поскольку это позволяет избежать странного поведения при сопряжения или инволюции введении . Обычно в числах Грассмана вводят оператор * такой, что:

\theta =\theta ^{*}

когда $\theta$ является генератором и такой, что

(\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}

Затем можно рассмотреть числа Грассмана z, для которых $z=z^{*}$ и назовем их (супер)реальными , а те, которые подчиняются $z^{*}=-z$ называются (супер) воображаемыми . Эти определения прекрасно работают, даже если числа Грассмана используют действительные числа в качестве базового поля; однако в таком случае многие коэффициенты вынуждены обращаться в нуль, если количество образующих меньше 4. Таким образом, по соглашению числа Грассмана обычно определяются над комплексными числами.

Возможны и другие соглашения; вышеизложенное иногда называют соглашением ДеВитта; Роджерс нанимает $\theta ^{*}=i\theta$ для инволюции. Согласно этому соглашению, реальные сверхчисла всегда имеют действительные коэффициенты; тогда как в соглашении ДеВитта действительные сверхчисла могут иметь как действительные, так и мнимые коэффициенты. Несмотря на это, обычно проще всего работать с соглашением ДеВитта.

Анализ

Произведения нечетного числа переменных Грассмана антикоммутируют друг с другом; такое произведение часто называют числом . Произведения четного числа переменных Грассмана коммутируют (со всеми числами Грассмана); их часто называют c-номерами . Злоупотребляя терминологией, a-число иногда называют антикоммутирующим c-числом . Это разложение на четные и нечетные подпространства дает $\mathbb {Z} _{2}$ выставление оценок по алгебре; таким образом, алгебры Грассмана являются прототипами суперкоммутативных алгебр . Обратите внимание, что c-числа образуют подалгебру $\Lambda$ , а a-числа — нет (они являются подпространством, а не подалгеброй).

Определение чисел Грассмана позволяет математический анализ проводить по аналогии с анализом комплексных чисел. То есть можно определить суперголоморфные функции , определить производные, а также определить интегралы. Некоторые основные понятия более подробно развиты в статье о двойственных числах .

Как правило, суперсимметричные аналоги обычных математических объектов обычно легче определить, работая с числами Грассмана с бесконечным числом генераторов: большинство определений становятся простыми и могут быть заимствованы из соответствующих бозонных определений. Например, одно число Грассмана можно рассматривать как порождающее одномерное пространство. Векторное пространство, $m$ -мерное суперпространство , тогда появляется как $m$ -кратное декартово произведение этих одномерных $\Lambda .$ ^{[ нужны разъяснения ]} Можно показать, что это по существу эквивалентно алгебре с $m$ генераторами, но это требует работы. ^[6]^{[ нужны разъяснения ]}

Спинорное пространство

Спинорное пространство определяется как Грассманова или внешняя алгебра. $\textstyle {\bigwedge }W$ пространства спиноров Вейля $W$ (и антиспиноры ${\overline {W}}$ ), такие, что волновые функции n фермионов принадлежат $\textstyle {\bigwedge }^{n}W$ .

Интеграция

Интегралы по числам Грассмана известны как интегралы Березина (иногда называемые интегралами Грассмана). Чтобы воспроизвести интеграл по путям для поля Ферми, определение интегрирования Грассмана должно иметь следующие свойства:

линейность $\int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta$
формула частичного интегрирования $\int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.$

Более того, разложение Тейлора любой функции $f(\theta )=A+B\theta$ прекращается после двух сроков, поскольку $\theta ^{2}=0$ , а квантовая теория поля дополнительно требует инвариантности относительно сдвига переменных интегрирования $\theta \to \theta +\eta$ такой, что

\int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).

Единственная линейная функция, удовлетворяющая этому условию, — это константа (условно 1), умноженная на $B$ , поэтому Березин определил ^[7]

\int d\theta (A+B\theta )\equiv B.

Это приводит к следующим правилам интегрирования величины Грассмана:

$\int \,1\,d\theta =0$
$\int \,\theta \,d\theta =1.$

Таким образом, мы заключаем, что операции интегрирования и дифференцирования числа Грассмана идентичны.

В в виде интеграла по путям формулировке квантовой теории поля следующий гауссов интеграл для фермионных антикоммутирующих полей необходим от грассмановых величин, где A представляет собой матрицу размера N × N :

\int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A

.

Соглашения и сложная интеграция

Неоднозначность возникает при интегрировании по нескольким числам Грассмана. Соглашение, которое сначала выполняет самый внутренний интеграл, дает

\int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.

Некоторые авторы также определяют комплексное сопряжение, подобное эрмитовому сопряжению операторов: ^[8]

(\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.

С дополнительным соглашением

\theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},

мы можем рассматривать $θ$ и $θ*$ как независимые числа Грассмана и принять

\int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.

Таким образом, гауссовский интеграл имеет вид

\int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b

а дополнительный коэффициент $θθ*$ эффективно вводит множитель $(1/b)$ , как и обычный гауссиан,

\int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.

После доказательства унитарности мы можем вычислить общий гауссов интеграл, включающий эрмитову матрицу $B$ с собственными значениями $b i$ , ^[8]^[9]

\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.

Матричные представления

Числа Грассмана могут быть представлены матрицами . Рассмотрим, например, алгебру Грассмана, порожденную двумя числами Грассмана $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ . Эти числа Грассмана могут быть представлены матрицами 4 × 4:

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.

В общем случае алгебра Грассмана с n образующими может быть представлена двумя ^н × 2 ^н квадратные матрицы. Физически эти матрицы можно рассматривать как повышающие операторы, в гильбертовом пространстве n действующие одинаковых фермионов в базисе чисел заполнения. Поскольку число заполнения каждого фермиона равно 0 или 1, существует 2 ^н возможные базисные состояния. Математически эти матрицы можно интерпретировать как линейные операторы, соответствующие левому внешнему умножению на самой алгебре Грассмана.

Обобщения

Есть некоторые обобщения чисел Грассмана. Для этого требуются правила в терминах N переменных, такие, что:

\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0

где индексы суммируются по всем перестановкам, так что как следствие:

(\theta _{i})^{N}=0\,

для некоторого N > 2. Они полезны для вычисления гиперопределителей -тензоров N , где N > 2, а также для вычисления дискриминантов полиномов для степеней, больших 2. Существует также предельный случай, когда N стремится к бесконечности, и в этом случае можно определить аналитические функции над числами. Например, в случае N = 3 одно число Грассмана можно представить матрицей:

\theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad

так что $\theta ^{3}=0$ . Для двух чисел Грассмана матрица будет иметь размер 10×10.

Например, правила для N = 3 с двумя переменными Грассмана подразумевают:

\theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0

так что можно показать, что

\theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}

и так

(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},

что дает определение гиперопределителя тензора 2×2×2 как

(A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.

См. также

Примечания

^ ДеВитт 1984 , Глава 1, страница 1.
^ ДеВитт 1984 , стр. 1–2.
^ ДеВитт 1984 , с. 2.
^ Роджерс 2007a , Глава 1 (доступно онлайн)
^ Роджерс 2007 , Глава 1 и Глава 8.
^ Роджерс 2007
^ Березин, Ф.А. (1966). Метод второго квантования . Чистая и прикладная физика. Том. 24. Нью-Йорк. ISSN 0079-8193 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленное) печат. изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975 .
^ В исходнике присутствует опечатка индексов.

Ссылки

ДеВитт, Б. (1984). Супермногообразия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42377-5 .
Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленное) печат. изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975 .
Роджерс, Алиса (2007a). Супермногообразия: теория и приложения (PDF) . Всемирная научная. Глава 1. дои : 10.1142/1878 . ISBN 978-981-3203-21-1 .
Роджерс, Алиса (2007). Супермногообразия: теория и приложения . Всемирная научная. ISBN 978-981-3203-21-1 .

[1] ДеВитт 1984 , Глава 1, страница 1.

[2] ДеВитт 1984 , стр. 1–2.

[3] ДеВитт 1984 , с. 2.

[4] Роджерс 2007a , Глава 1 (доступно онлайн)

[5] Роджерс 2007 , Глава 1 и Глава 8.

[6] Роджерс 2007

[7] Березин, Ф.А. (1966). Метод второго квантования . Чистая и прикладная физика. Том. 24. Нью-Йорк. ISSN 0079-8193 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[peskin-8] Jump up to: ^а ^б Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленное) печат. изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975 .

[9] В исходнике присутствует опечатка индексов.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]