Гипердетерминант

В алгебре гиперопределитель обобщением является определителя . В то время как определитель представляет собой функцию скалярную , определенную на n × n квадратной матрице размера , гипердетерминант определяется на многомерном массиве чисел или тензоре . Как и определитель, гиперопределитель представляет собой однородный многочлен с целыми коэффициентами в компонентах тензора. Многие другие свойства определителей каким-то образом обобщаются на гиперопределители, но в отличие от определителя, гиперопределитель не имеет простой геометрической интерпретации в терминах объемов .

Существует как минимум три определения гипердетерминанта. Первый был открыт Артуром Кэли в 1843 году и представлен Кембриджскому философскому обществу . Он состоит из двух частей, и первый гипердетерминант Кэли рассматривается во второй части. Обычно его обозначают det ₀ . Второй гипердетерминант Кэли возник в 1845 году. и часто обозначается «Дет». Это определение является дискриминантом особой точки на скалярнозначной полилинейной карте .

Первый гиперопределитель Кэли определен только для гиперкубов, имеющих четное число измерений (хотя существуют вариации и в нечетных измерениях). Второй гипердетерминант Кэли определен для ограниченного диапазона форматов гиперматриц (включая гиперкубы любых измерений). , последний раз определенный Глинном, встречается только для полей простой характеристики Третий гипердетерминант p . Оно обозначается det _p и действует на всех гиперкубах над таким полем.

Только первый и третий гипердетерминанты являются «мультипликативными», за исключением второго гипердетерминанта в случае «граничных» форматов. Первый и третий гиперопределители также имеют замкнутые формулы как многочлены, и поэтому их степени известны, тогда как второй гиперопределитель, по-видимому, не имеет замкнутой формулы или степени во всех известных случаях.

Обозначения определителей можно распространить на гипердетерминанты без изменений или двусмысленности. Следовательно, гиперопределитель гиперматрицы A можно записать с использованием обозначения вертикальной черточки как | А | или как det ( A ).

Стандартным современным учебником по второму гипердетерминанту Кэли Det (как и многим другим результатам) является «Дискриминанты, результанты и многомерные определители» Гельфанда , Капранова и Зелевинского . Их обозначения и терминология приведены в следующем разделе.

Кэли

В частном случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 гипердетерминант известен как гипердетерминант Кэли в честь открывшего его британского математика Артура Кэли. Выражение четвертой степени для гиперопределителя Кэли гиперматрицы A с компонентами a _ijk , i , j , k ∊ {0, 1 } имеет вид

Это( А ) 000 ₌ ² 111 _​ ² + 001 _​ ² 110 _​ ² + 010 _​ ² 101 _​ ² + 100 _​ ² из ₀₁₁ ²

- 2 а ₀₀₀ а ₀₀₁ а ₁₁₀ а ₁₁₁ - а ₀₀₀ а ₀₁₀ а ₁₀₁ а ₁₁₁ 2 - 2 а ₀₀₀ а ₀₁₁ а ₁₀₀ а ₁₁₁ - 2 а ₀₀₁ а ₀₁₀ а ₁₀₁ а ₁₁₀ - 2 а ₀₀₁ а ₀₁₁ а ₁₁₀ а ₁₀₀ − 2 а ₀₁₀ а ₀₁₁ а ₁₀₁ а ₁₀₀ + 4 а ₀₀₀ а ₀₁₁ а ₁₀₁ а ₁₁₀ + 4 а ₀₀₁ а ₀₁₀ а ₁₀₀ а ₁₁₁ .

Это выражение действует как дискриминант в том смысле, что оно равно нулю тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение с шестью неизвестными x. ^я , и ^я , С ^я , (с верхним индексом i = 0 или 1) следующей системы уравнений

000 _​ х ⁰ и ⁰ + а ₀₁₀ х ⁰ и ¹ + 100 _​ х ¹ и ⁰ + 110 _​ х ¹ и ¹ = 0

а ₀₀₁ х ⁰ и ⁰ + а ₀₁₁ х ⁰ и ¹ + 101 _​ х ¹ и ⁰ + 111 _​ х ¹ и ¹ = 0

000 _​ х ⁰ С ⁰ + 001 _​ х ⁰ С ¹ + 100 _​ х ¹ С ⁰ + 101 _​ х ¹ С ¹ = 0

а ₀₁₀ х ⁰ С ⁰ + а ₀₁₁ х ⁰ С ¹ + 110 _​ х ¹ С ⁰ + 111 _​ х ¹ С ¹ = 0

лет ₀₀₀ ​ ⁰ С ⁰ + 001 _​ г ⁰ С ¹ + г. ₀₁₀ ​ ¹ С ⁰ + 011 _​ г. ¹ С ¹ = 0

100 _лет ​ ⁰ С ⁰ + год ₁₀₁ ​ ⁰ С ¹ + 110 _​ лет ¹ С ⁰ + 111 _​ лет ¹ С ¹ = 0.

Гиперопределитель можно записать в более компактной форме, используя соглашение Эйнштейна о суммировании по индексам и символ Леви-Чивита , который представляет собой знакопеременную тензорную плотность с компонентами ε ^ij заданный ε ⁰⁰ = е ¹¹ = 0, е ⁰¹ = -е ¹⁰ = 1:

б _кн = (1/2)ε ^ilе ^Джейм эй _, а _я

It( A ) = (1/2)ε ^ilе ^Джейм б _ij б _лм .

Используя те же соглашения, мы можем определить полилинейную форму

ж ( Икс , y , z ) знак равно а _ijk Икс ^я и ^дж С ^к

Тогда гиперопределитель равен нулю тогда и только тогда, когда существует нетривиальная точка, в которой все частные производные f обращаются в нуль.

Как тензорное выражение

Приведенный выше определитель можно записать в терминах обобщения символа Леви-Чивита :

$\mathrm {Det} (A)=f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}$

где f — обобщение символа Леви-Чивита, позволяющее совпадать двум индексам:

$f^{0011}=f^{1100}=f^{0110}=f^{1001}=-1/2$

$f^{0101}=f^{1010}=1$

где f удовлетворяет:

$f^{...abc...}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba...}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0.$

Как дискриминант

Для симметричных гиперматриц размером 2 × 2 × 2 × ⋯ гиперопределителем является дискриминант многочлена. Например,

$a_{000}=a$

$a_{001}=a_{010}=a_{100}=b$

$a_{110}=a_{101}=a_{011}=c$

$a_{111}=d$

Тогда Det( ​​A ) является дискриминантом $ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d.$

Кэли

Определения

В общем случае гипердетерминант определяется как дискриминант полилинейного отображения f конечномерных , векторных пространств в _Vi их основное поле K которое может быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.

$f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K$

f можно отождествить с тензором в тензорном произведении каждого дуального пространства V ^* _я

$f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^{*}$

По определению гиперопределитель Det ( f ) — это многочлен от компонент тензора f, который равен нулю тогда и только тогда, когда отображение f имеет нетривиальную точку, в которой все частные производные по компонентам его векторных аргументов обращаются в нуль (не -тривиальная точка означает, что ни один из аргументов вектора не равен нулю.)

Векторные пространства V _i не обязательно должны иметь одинаковые размерности, и говорят, что гиперопределитель имеет ( k 1 _, ..., k _r ) k _i > 0, если размерность каждого пространства Vi _равна формат k _i + 1. Можно показать, что гипердетерминант существует для данного формата и уникален с точностью до скалярного множителя тогда и только тогда, когда наибольшее число в формате меньше или равно сумме других чисел в формате.

Это определение не дает возможности построить гиперопределитель и вообще это трудная задача. Для гипердетерминантов с форматами, где r ≥ 4, количество членов обычно слишком велико, чтобы записать гипердетерминант полностью. При больших r даже степень многочлена быстро возрастает и не имеет удобной общей формулы.

Примеры

Случай форматов с r = 1 имеет дело с векторами длины k ₁ + 1. В этом случае сумма чисел других форматов равна нулю, а k ₁ всегда больше нуля, поэтому гипердетерминанты не существуют.

Случай r = 2 имеет дело с ( k ₁ + 1) × ( k ₂ + 1) матрицами . Каждый номер формата должен быть больше или равен другому, поэтому только квадратные матрицы S имеют гиперопределители и их можно идентифицировать с помощью определителя det( S ). Применение определения гипердетерминанта как дискриминанта к этому случаю требует, чтобы det( S ) было равно нулю, когда существуют векторы X и Y такие, что матричные уравнения SX = 0 и YS = 0 имеют решения для ненулевых X и Y .

При r > 2 существуют гиперопределители разных форматов, удовлетворяющие неравенству формата. Например, гиперопределитель Кэли 2 × 2 × 2 имеет формат (1, 1, 1), а также существует гиперопределитель 2 × 2 × 3 формата (1, 1, 2) . Однако гиперопределитель 2 × 2 × 4 будет иметь формат (1, 1, 3), но 3 > 1 + 1, поэтому он не существует.

Степень

Поскольку гиперопределитель однороден по своим переменным, он имеет четко определенную степень, которая является функцией формата и записывается N ( k ₁ , ..., k _r ). В особых случаях можно записать выражение для степени. Например, говорят, что гипердетерминант имеет граничный формат, если наибольшее число формата является суммой остальных, и в этом случае мы имеем

$N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.$

Для гиперопределителей размерности 2 ^р , удобная формула для получения степеней N _r :

$\sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1-z)^{2}}}.$

В частности, для r = 2,3,4,5,6 степень равна соответственно 2, 4, 24, 128, 880 и затем очень быстро растет.

Три другие специальные формулы для вычисления степени гиперопределителей приведены в

для 2 × m × m используйте N (1, m − 1, m − 1) = 2 m ( m − 1)

для 3 × m × m используйте N (2, m − 1, m − 1) = 3 m ( m − 1) ²

для 4 × m × m используйте N (3, m − 1, m − 1) = (2/3) m ( m − 1)( m − 2)(5 m − 3)

Общий результат, который следует из правила произведения гипердетерминантов и свойств инвариантности, перечисленных ниже, заключается в том, что наименьшее общее кратное размеров векторных пространств, на которых линейное отображение действует , делит степень гипердетерминанта, то есть

lcm( k ₁ + 1, ..., k _r + 1) | Н ( к ₁ , ..., к _р ).

Свойства гипердетерминантов

Гипердетерминанты обобщают многие свойства определителей. Свойство быть дискриминантом является одним из них и используется в приведенном выше определении.

Мультипликативные свойства

Одним из наиболее известных свойств определителей является правило умножения, которое иногда называют формулой Бине-Коши . Для квадратных размера n × n матриц A и B правило гласит, что

оно( AB ) = оно( А ) оно( B )

Это одно из самых сложных правил для обобщения определителей на гипердетерминанты, поскольку обобщение произведений гиперматриц может давать гиперматрицы разных размеров. Полная область случаев, в которых правило произведения может быть обобщено, все еще остается предметом исследования. Однако можно выделить несколько основных примеров.

Учитывая полилинейную форму f ( x ₁ , ..., x _r ), мы можем применить линейное преобразование к последнему аргументу, используя размера n × n матрицу B , y _r = B x _r . Это генерирует новую многолинейную форму того же формата,

грамм ( Икс ₁ , ..., Икс _р ) знак равно ж ( Икс ₁ , ..., y _р )

В терминах гиперматриц это определяет произведение, которое можно записать g = f . Б

Тогда можно использовать определение гипердетерминанта, чтобы показать, что

это ( ж . B ) = это ( ж ) это ( B ) ^{Н / Н}

где n — степень гиперопределителя. Это обобщает правило произведения для матриц.

Дальнейшие обобщения правила произведения были продемонстрированы для соответствующих произведений гиперматриц граничного формата.

Первый гипердетерминант Кэли det ₀ мультипликативен в следующем смысле. Пусть A — r -мерная гиперматрица размера n × ... × n с элементами a _{i , ..., k} , B — s -мерная гиперматрица размера n × ... × n с элементами b _... , а C — ( r + s − 2)-мерная n × ... × n гиперматрица с элементами c _... такая, что (используя обозначения Эйнштейна )

c _{я , ..., j , l , ..., m} знак равно а _{я , ..., j} ^к б _{к , л , ..., м} ,

затем

дет ₀ (С) = дет ₀ (А) дет ₀ (Б).

Свойства инвариантности

Определитель обычно не рассматривается с точки зрения его свойств как алгебраический инвариант , но когда определители обобщаются до гипердетерминантов, инвариантность становится более заметной. Использование приведенного выше правила умножения гиперопределителя гиперматрицы H, умноженного на матрицу S с определителем, равным единице, дает

это( ЧАС ) ЧАС = это ) (

Другими словами, гиперопределитель является алгебраическим инвариантом относительно действия специальной линейной группы SL( n ) на гиперматрицу. Преобразование может быть одинаково хорошо применено к любому векторному пространству, в котором действует полилинейное отображение, чтобы обеспечить еще одну отличную инвариантность. Это приводит к общему результату:

Гипердетерминант формата $(k_{1},\ldots ,k_{r})$ является инвариантом относительно действия группы $\mathrm {SL} (k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes \mathrm {SL} (k_{r}+1)$

Например, определителем матрицы размера n × n является SL( n ) ² инвариант и гиперопределитель Кэли для гиперматрицы 2 × 2 × 2 являются SL(2) ³ инвариант.

Более знакомое свойство определителя заключается в том, что если вы добавите кратное число строки (или столбца) к другой строке (или столбцу) квадратной матрицы, то ее определитель не изменится. Это частный случай его инвариантности в случае, когда специальная матрица линейного преобразования представляет собой единичную матрицу плюс матрицу только с одним ненулевым недиагональным элементом . Это свойство немедленно обобщается на гипердетерминанты, подразумевающие инвариантность, когда вы добавляете кратное одному срезу гиперматрицы к другому параллельному срезу.

Гиперопределитель — не единственный полиномиальный алгебраический инвариант группы, действующей на гиперматрицу. Например, другие алгебраические инварианты можно получить путем сложения и умножения гипердетерминантов. В общем случае инварианты образуют кольцевую следует алгебру, и из базовой теоремы Гильберта , что кольцо конечно порождено. Другими словами, для данного формата гиперматрицы все полиномиальные алгебраические инварианты с целыми коэффициентами могут быть сформированы с помощью сложения, вычитания и умножения, начиная с конечного их числа. В случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 все такие инварианты могут быть сгенерированы таким образом только из второго гипердетерминанта Кэли, но это не типичный результат для других форматов. Например, второй гиперопределитель гиперматрицы формата 2 × 2 × 2 × 2 является алгебраическим инвариантом степени 24, однако все инварианты могут быть сгенерированы из набора из четырех более простых инвариантов степени 6 и меньше.

История и приложения

Второй гипердетерминант был изобретен и назван Артуром Кэли в 1845 году, который смог записать выражение для формата 2 × 2 × 2, но Кэли продолжал использовать этот термин для любого алгебраического инварианта, а позже отказался от этой концепции в пользу общая теория полиномиальных форм, которую он назвал «квантикой». В течение следующих 140 лет в этой теме было мало разработок, и гипердетерминанты были в значительной степени забыты, пока они не были заново открыты Гельфандом, Капрановым и Зелевинским в 1980-х годах как ответвление их работ по обобщенным гипергеометрическим функциям . Это привело к тому, что они написали свой учебник, в котором гипердетерминант вновь введен в качестве дискриминанта. Действительно, первый гипердетерминант Кэли более фундаментален, чем второй, поскольку он представляет собой прямое обобщение обычного определителя и недавно нашел применение в гипотезе Алона-Тарси.

С тех пор гипердетерминант нашел применение в широком спектре дисциплин, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , квантовые вычисления и теорию струн .

В алгебраической геометрии второй гиперопределитель изучается как частный случай X-дискриминанта. Основной результат состоит в том, что существует соответствие между вершинами многогранника Ньютона для гипердетерминантов и «триангуляцией» куба на симплексы .

В квантовых вычислениях инварианты гиперматриц формата 2 ^Н используются для изучения запутанности N кубитов .

В теории струн гипердетерминант впервые появился в связи с дуальностью струн и энтропией черной дыры.

Источники

• Кэли, А. (1849). «К теории определителей» . Пер. Кэмб. Филос. Соц . VIII : 1–16.
• Кэли, А. (1845). «К теории линейных преобразований» . Кембриджская математика. Дж . 4 : 193–209.
• Глинн, Дэвид Г. (1998). «Модульные аналоги гипердетерминантов Кэли» . Бюллетень Австралийского математического общества . 57 (3): 479–492. дои : 10.1017/s0004972700031890 .
• Гельфанд, ИМ; Капранов М.М.; Зелевинский, А.В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители . Бостон: Биркхойзер. ISBN  9780817636609 .
• Диониси, Карла; Оттавиани, Джорджио (2001). «Теорема Бине-Коши для гиперопределителя многомерных матриц граничного формата». arXiv : math/0104281 .
• Люке, JG.; Тибон, JY. (2 апреля 2003 г.). «Полиномиальные инварианты четырех кубитов». Физический обзор А. 67 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0212069 . Бибкод : 2003PhRvA..67d2303L . дои : 10.1103/PhysRevA.67.042303 . S2CID   119446859 .
• Крилли, Тони; Крилли, Эй Джей (2006). Артур Кэли: математик-лауреат викторианской эпохи . Балтимор, Мэриленд: Университет Джонса Хопкинса. ISBN  9780801880117 .
• Мияке, А. (2003). «Классификация многочастных запутанных состояний по многомерным детерминантам». Физический обзор А. 67 : 012108. arXiv : quant-ph/0206111 . Бибкод : 2003PhRvA..67a2108M . дои : 10.1103/PhysRevA.67.012108 . S2CID   119659352 .
• Дафф, М. (2007). «Струнная тройственность, энтропия черной дыры и гипердетерминант Кэли». Физический обзор D . 76 (2): 025017. arXiv : hep-th/0601134 . Бибкод : 2007PhRvD..76b5017D . doi : 10.1103/PhysRevD.76.025017 . S2CID   15829599 .
• Заппа, Паоло (июль 1997 г.). «Определитель Кэли детерминантного тензора и гипотеза Алона – Тарси» . Достижения прикладной математики . 19 (1): 31–44. дои : 10.1006/aama.1996.0522 .
• Глинн, Дэвид Г. (январь 2010 г.). «Гипотезы Алона-Тарси и Роты в измерении «простое минус один». SIAM Journal по дискретной математике . 24 (2): 394–399. дои : 10.1137/090773751 .

Дальнейшее чтение

О других исторических событиях, не содержащихся в книге Гельфанда, Капранова и Зелевинского, см.:

• Лекат, Морис (1910). Уроки теории определителей размерностей . Гент: Объявление.
• Лекат, Морис (1911). История теории определителей с несколькими измерениями . Гент: Объявление.
• Паскаль, Э. (1897). Я детерминант . Милан: Хоепли. (также переведено на немецкий язык: «Die Determinanten», H. Leitzmann, Halle, 1900.) Есть небольшой раздел о гипердетерминантах и ​​их истории до 1900 года.