пара картонных коробок

В математических областях теории Ли и алгебраической топологии понятие пары Картана является техническим условием связи между редуктивной алгеброй Ли. ${\mathfrak {g}}$ и подалгебра ${\mathfrak {k}}$ редукционный в ${\mathfrak {g}}$ .

Редуктивная пара $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ называется картановским, если относительные когомологии алгебры Ли

H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})

изоморфна тензорному произведению характеристической подалгебры

\mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}

и внешняя подалгебра $\bigwedge {\hat {P}}$ из $H^{*}({\mathfrak {g}})$ , где

${\hat {P}}$ , подпространство Самельсона , — это примитивные элементы в ядре композиции $P{\overset {\tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})$ ,
$P$ является примитивным подпространством $H^{*}({\mathfrak {g}})$ ,
$\tau$ это преступление ,
и карта $S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})$ симметрических алгебр индуцируется отображением ограничения двойственных векторных пространств ${\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}$ .

На уровне групп Ли , если G — компактная связная группа Ли и K — замкнутая связная подгруппа, существуют естественные расслоения

G\to G_{K}\to BK

,

где $G_{K}:=(EK\times G)/K\simeq G/K$ — гомотопический фактор , здесь гомотопия эквивалентна регулярному фактору, и

G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG

.

Тогда характеристическая алгебра является образом $\chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\to H^{*}(G/K)$ , нарушение $\tau \colon P\to H^{*}(BG)$ из примитивного P подпространства $H^{*}(G)$ возникает из- за отображений ребер в спектральной последовательности Серра универсального расслоения $G\to EG\to BG$ , и подпространство ${\hat {P}}$ из $H^{*}(G/K)$ является ядром $r^{*}\circ \tau$ .

Ссылки

Греуб, Вернер; Гальперин, Стивен; Ванстон, Рэй (1976). «10. Подалгебры §4 Картановские пары» . Когомологии главных расслоений и однородных пространств . Связности, кривизна и когомологии. Том. 3. Академическая пресса. стр. 431–5. ISBN 978-0-08-087927-7 .