Дискретные полиномы Чебышева

Не путать с полиномами Чебышева .

В математике дискретные полиномы Чебышева , или полиномы Грама , — это тип дискретных ортогональных полиномов, используемых в теории приближения , введенный Пафнутием Чебышевым. и вновь открыт Грамом . Позже было обнаружено, что они применимы к различным алгебраическим свойствам спинового углового момента.

Элементарное определение

Дискретный полином Чебышева $t_{n}^{N}(x)$ является многочленом степени n по x , для $n=0,1,2,\ldots ,N-1$, построенный так, что два многочлена неравной степени ортогональны относительно весовой функции $$w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (x-r),$$ с $\delta (\cdot )$ является дельта-функцией Дирака. То есть, $$\int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)\,dx=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.$$

Интеграл слева на самом деле представляет собой сумму из-за дельта-функции, и мы имеем: $$\sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.$$

Таким образом, хотя $t_{n}^{N}(x)$ является полиномом по $x$, только ее значения в дискретном наборе точек, $x=0,1,2,\ldots ,N-1$ имеют какое-либо значение. Тем не менее, поскольку эти полиномы можно определить с точки зрения ортогональности относительно неотрицательной весовой функции, применима вся теория ортогональных полиномов. В частности, полиномы полны в том смысле, что $$\sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\text{ if }}\quad r\neq s.$$

Чебышев выбрал нормировку такую, что $$\sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).$$

Это полностью исправляет полиномы вместе с соглашением о знаках: $t_{n}^{N}(N-1)>0$.

Если независимая переменная линейно масштабируется и смещается так, что конечные точки принимают значения $-1$ и $1$, тогда как $N\to \infty$, $t_{n}^{N}(\cdot )\to P_{n}(\cdot )$ раз на константу, где $P_{n}$ – полином Лежандра.

Расширенное определение

Пусть f — гладкая функция, определенная на отрезке [−1, 1], значения которой явно известны только в точках x _k := −1 + (2 k − 1)/ m , где k и m — целые числа , а 1 ≤ k ≤ м . Задача состоит в том, чтобы аппроксимировать f как многочлен степени n < m . Рассмотрим положительную полуопределенную билинейную форму $$\left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},$$ где g и h непрерывны пусть на [−1, 1], и $$\left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}$$ быть дискретной полунормой . Позволять $\varphi _{k}$ быть семейством многочленов, ортогональных друг другу $$\left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0$$ всякий раз, когда я не равен k . Предположим, что все полиномы $\varphi _{k}$ имеют положительный ведущий коэффициент и нормированы таким образом, что $$\left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.$$

The $\varphi _{k}$ называются дискретными полиномами Чебышева (или Грама).

Связь со спиновой алгеброй

Дискретные полиномы Чебышева удивительным образом связаны с различными алгебраическими свойствами спина: вероятностями спиновых переходов, вероятности наблюдения спина в Бома спиновой версии эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена , и функции Вигнера для различных спиновых состояний.

В частности, полиномы оказываются собственными векторами абсолютного квадрата матрицы вращения ( D-матрицы Вигнера ). Соответствующее собственное значение представляет собой полином Лежандра. $P_{\ell }(\cos \theta )$, где $\theta$ это угол поворота. Другими словами, если $$d_{mm'}=\langle j,m|e^{-i\theta J_{y}}|j,m'\rangle ,$$ где $|j,m\rangle$ являются обычным угловым моментом или собственными состояниями спина, и $$F_{mm'}(\theta )=|d_{mm'}(\theta )|^{2},$$ затем $$\sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\theta )\,f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \theta )f_{\ell }^{j}(m).$$

Собственные векторы $f_{\ell }^{j}(m)$ представляют собой масштабированные и сдвинутые версии полиномов Чебышева. Они сдвинуты так, чтобы иметь опору по точкам $m=-j,-j+1,\ldots ,j$ вместо $r=0,1,\ldots ,N$ для $t_{n}^{N}(r)$ с $N$ соответствующий $2j+1$, и $n$ соответствующий $\ell$. Кроме того, $f_{\ell }^{j}(m)$ может быть масштабирован так, чтобы подчиняться другим условиям нормировки. Например, можно потребовать, чтобы они удовлетворяли $${\frac {1}{2j+1}}\sum _{m=-j}^{j}f_{\ell }^{j}(m)f_{\ell '}^{j}(m)=\delta _{\ell \ell '},$$ вместе с $f_{\ell }^{j}(j)>0$.