Дискретные ортогональные полиномы

В математике последовательность дискретных ортогональных полиномов — это последовательность полиномов, попарно ортогональных относительно дискретной меры.Примеры включают дискретные полиномы Чебышева , полиномы Шарлье , полиномы Кравчука , полиномы Мейкснера , двойственные полиномы Хана , полиномы Хана и полиномы Рака .

Если мера имеет конечный носитель, то соответствующая последовательность дискретных ортогональных многочленов имеет только конечное число элементов. Полиномы Рака дают пример этого.

Определение

Рассмотрим дискретную меру $\mu$ на каком-то наборе $S=\{s_{0},s_{1},\dots \}$ с функцией веса $\omega (x)$.

Семейство ортогональных многочленов $\{p_{n}(x)\}$ называется дискретным, если они ортогональны относительно $\omega$ (соответственно $\mu$), то есть,

$\sum \limits _{x\in S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m},$

где $\delta _{n,m}$ это дельта Кронекера .

Примечание

Любая дискретная мера имеет вид

$\mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}$,

поэтому можно определить весовую функцию по формуле $\omega (s_{i})=a_{i}$.

Литература

• Байк, Джинхо; Крихербауэр, Т.; Маклафлин, КТ-Р.; Миллер, П.Д. (2007), Дискретные ортогональные полиномы. Асимптотика и приложения , Анналы математических исследований, вып. 164, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-12734-7 , МР   2283089