Положительная функция

В математике функция с положительным определением заключается в зависимости от контекста, любого из двух типов функции .

Определение 1

Позволять $\mathbb {R}$ быть набором реальных чисел и $\mathbb {C}$ быть набором сложных чисел .

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ называется положительным полуопределенным, если для любого ^{[ нужно разъяснения ]} Реальные числа x ₁ ,… x _n n n × Матрица ,

A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})

является положительной полу- определенной матрицей . ^{[ Цитация необходима ]}

По определению положительная полуопределенная матрица, такая как $A$ , это эрмитоан ; Следовательно, f ( - x ) является сложным конъюгатом f ( . x ))

В частности, необходимо (но недостаточно), что

f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)

(Эти неравенства следуют из условия n = 1, 2.)

Функция является отрицательной полуопределенной, если неравенство поменяется. Функция определена , если слабое неравенство заменяется сильным (<,> 0).

Примеры

Если $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ это реальное пространство внутреннего продукта , тогда $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$ , $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ позитивно определен для каждого $y\in X$ : для всех $u\in \mathbb {C} ^{n}$ и все $x_{1},\ldots ,x_{n}$ у нас есть

u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.

Поскольку неотрицательные линейные комбинации положительных определенных функций снова являются положительными определенными, функция косинуса является положительной определенной как неотрицательная линейная комбинация вышеуказанных функций:

\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).

Можно создать положительную определенную функцию $f\colon X\to \mathbb {C}$ легко от положительной определенной функции $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ Для любого векторного пространства $X$ : Выберите линейную функцию $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ и определить $f^{*}:=f\circ \phi$ Полем Затем

u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,

где ${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$ где ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$ отличаются как $\phi$ линейно . ^{[ 1 ]}

Теорема Бохнера

Позитивная определенность возникает естественным образом в теории преобразования Фурье ; Видно непосредственно, что для того, чтобы быть положительным определением, достаточно для F , чтобы F Фурье преобразование функции G на реальной линии с G ( y ) ≥ 0.

Результатом обратного является теоремом Бохнера , утверждая, что любая непрерывная функция положительного определения на реальной линии является преобразование Фурье (положительного) меры . ^{[ 2 ]}

Приложения

В статистике и особенно байесовской статистике теорема обычно применяется к реальным функциям. Как правило, n скалярные измерения некоторого скалярного значения в точках в $R^{d}$ принимаются и точки, которые находятся взаимно близко, должны иметь измерения, которые сильно коррелируют. На практике необходимо быть осторожным, чтобы гарантировать, что полученная ковариационная матрица ( матрица n × n ) всегда была положительной дефицитной. Одна стратегия состоит в том, чтобы определить корреляционную матрицу А , которая затем умножается на скаляр, чтобы дать ковариационную матрицу : это должно быть положительным определением. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию F ), то функция F должна быть положительной дефицитом, чтобы обеспечить ковариационную матрицу A , положительную дефициту. Смотрите Кригинг .

В этом контексте терминология Фурье обычно не используется, и вместо этого утверждается, что ( x ) является характерной функцией симметричной f функции плотности вероятности (PDF) .

Обобщение

Можно определить позитивные функции в любой локально компактной топологической группе авелеров ; Теорема Бохнера распространяется на этот контекст. Позитивные функции в группах встречаются естественным образом в теории представления групп на пространствах Гильберта (то есть теория унитарных представлений ).

Определение 2

В качестве альтернативы функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется положительным определением в районе D происхождения, если $f(0)=0$ и $f(x)>0$ для каждого ненулевого $x\in D$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Обратите внимание, что это определение противоречит определению 1, приведенного выше.

В физике требование, чтобы $f(0)=0$ иногда сбрасывают (см., Например, Корни и Олсен ^{[ 5 ]}).

Смотрите также

Ссылки

Кристиан Берг, Кристенсен, Павел Рессель. Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
Z. Sasvári, Положительные определенные и определенные функции , Akademie Verlag, 1994
Уэллс, JH; Williams, LR Entricdings and Extensions в анализе . Результаты математики и ее пограничных областей, том 84. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Хейдельберг, 1975. VII+108 стр.

Примечания

^ Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс в теории приближения . Американское математическое общество. С. 77–78. ISBN 9780821847985 Полем Получено 3 февраля 2022 года .
^ Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА.
^ Verhulst, Ferdinand (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2 -е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-60934-2 .
^ Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения . Спрингер.
^ Корни, JF; Олсен, MK (19 февраля 2015 г.). «Негауссовые чистые состояния и позитивные функции Wigner». Физический обзор а . 91 (2): 023824. Arxiv : 1412.4868 . BIBCODE : 2015 PHRVA..91B3824C . doi : 10.1103/physreva.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .

Внешние ссылки

«Положительная дефицитная функция» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]

[1] Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс в теории приближения . Американское математическое общество. С. 77–78. ISBN 9780821847985 Полем Получено 3 февраля 2022 года .

[2] Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА.

[3] Verhulst, Ferdinand (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2 -е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-60934-2 .

[4] Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения . Спрингер.

[5] Корни, JF; Олсен, MK (19 февраля 2015 г.). «Негауссовые чистые состояния и позитивные функции Wigner». Физический обзор а . 91 (2): 023824. Arxiv : 1412.4868 . BIBCODE : 2015 PHRVA..91B3824C . doi : 10.1103/physreva.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]